导数的定义及几何意义01．f/ 〔 x 〕limx 0f 〔 x0x〕 fx〔 x0 〕叫函数 yf 〔 x〕 在 xx0 处的导数，记作y / | ；xx0注：①函数应在点 x0 的邻近有定义，否就导数不存在；②在定义导数的极限式中， x 趋近y于 0 可正、 可负、 但不为 0，而 y 可能为 0 ；③是函数 yxf 〔 x〕 对自变量 x 在 x 范畴内的平均变化率，它的几何意义是过曲线y f 〔 x〕 上点（x0 ，f 〔 x0 〕 ）及点（x0 + x ，f 〔 x0 x0 〕 ）的割线斜率； ④导数/f 〔 x0 〕limx 0f 〔x0x〕 fx〔x0 〕是函数 yf 〔 x〕 在点 x0 的处瞬时变化率， 它反映的函数 y f 〔 x〕 在 x0 点处变化的快慢程度， 它的几何意义是曲线 yf 〔 x〕 上点（x0 ，f 〔x0 〕 ）处的切线的斜率； ⑤如极限limx 0f 〔 x0x〕 fx〔 x0 〕不存在，就称函数 yf 〔x〕在点x0 处不行导；⑥假如函数 yf 〔x〕在开区间〔 a, b 〕 内每一点都有导数，就称函数 yf 〔 x〕 在开区间〔a,b 〕 内可导；此时对于每一个 x ∈〔 a, b〕 ，都对应着一个确定的导数f / 〔x〕 ，从而构成了一个新的函数f / 〔 x〕 ，称这个函数f / 〔 x〕为函数y f 〔x〕在开区间 〔 a, b〕 内的导函数， 简称导数； 导数与导函数都称为导数， 这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值；[ 举例 1] 如f / 〔 x 〕2 ，就 limf 〔 x0 k 〕f 〔x0 〕等于：0 k 0 2k〔A〕 -1 〔B〕 -2 〔C〕 1 〔D〕 1/2解析：∵f / 〔 x 〕2 ，即limf [ x0〔 k 〕]f 〔 x0 〕 =2limf 〔 x0 k〕f 〔 x0 〕=-1 ；0 k 0 kk 0 2 k[ 举例 2] 已知 a0, n 为正整数 设 y〔 x a〕n ，证明 y n〔 x a〕 n 1解析：此题可以对y 〔 x a〕n 绽开后“逐项”求导证明；这里用导数的定义证明：y/ lim 〔 xx 0x a〕 nx〔x a 〕n=〔xlimnx 0a 〕nC 1 〔xa 〕 n 1 xC 2 〔 xa〕 n 2 〔 xx〕2C n 〔x〕 n〔 x a〕 n=limx 0n〔 xa 〕n 1 xC 2 〔xa 〕 n 2 〔xx〕2C n 〔x〕 nnn=lim [ n〔xa〕 n 1C 2 〔 xa〕 n 2 xC 3 〔 xa〕 n 3 〔x〕 2C n 〔x〕n1 ] = n〔xa〕n 1 ；x 0 n n n[ 巩固 1] 一质点作曲线运动， 它的位移 S与时间 t 的关系为： S定义求 t =3 时的速度；t 1 2t 2t 2，试用导数的[ 巩固 2] 设 C 是成本， q 是产量，成本与产量的函数关系式为 C＝ C（ q），当产量为q0 时，产量变化 q 对成本的影响可用增量比C C 〔 q0qq 〕 C 〔q 0 〕q刻划 . 假如 q 无限趋近于 0 时，C 无限趋近于常数 A，经济学上称 A 为边际成本 . 它说明当产量为qq0 时，增加单位产量需付出成本 A （这是实际付出成本的一个近似值） ；设生产 x 个单位产品的总成x2本函数是 C〔x〕 ＝ 8＋，就生产 8 个单位产品时，边际成本是： （ ）81 x /A ． 2 B ． 8 C． 10 D ．162． 常用导数公式： c0 , 〔 xn 〕nx n, 〔e 〕ex ， 〔lnx〕 / 1 ；x导数的运算法就：如函数f 〔 x〕 与g 〔 x〕 的导数存在，就[ f 〔 x〕g 〔 x〕]f 〔x〕g 〔x〕 ,[ cf 〔 x〕]c f 〔 x〕 ， [ f/〔x〕g〔 x〕] //f / 〔 x〕g〔 x〕 f 〔x〕g / 〔x〕 ；〔 f 〔 x〕 〕 /f 〔 x〕g 〔 x〕2f 〔 x〕g 〔x〕（这个公式很简洁记错，留意和“积的导数”对比） ；g〔x〕复合函数的导数：由g 〔 x〕y f〔u 〕 与 u =〔x〕 得到复合函数 y f〔 x〕y，就 x= yux. u ；[ 举例 1] 已知f 〔 x〕 x3x 2 f / 〔1〕x ，就f / 〔2〕 = ；解析：f / 〔1〕 是常数，∴f / 〔 x〕3x22xf/ 〔1〕 1f / 〔1〕 =3+2f / 〔1〕 - 1f / 〔1〕 = - 212∴ f / 〔 x〕3x24x 1，故f / 〔2〕 =3；[ 举例 2] nN ， Cn2Cn3CnnCn = ；3nn解析：此题可以用“倒序相加”法，也可以用“通项变化”法（ k C k = nCk 1n 1 ）；这里，我们观看 〔1x〕 n0 C1 xC 2 x2C 3 x 3C n x n①，不难发觉其通项C k xk 求nnCnnnnnn导后的系数正是所求“项” ；故考虑对①式两边同求导数，得：n〔1x〕 n1 2C 2 x3C 3 x2nC n xn，令 x =1 得：Cnnn1Cnnn1 2C 23C 3nC n = n 2 nnn[ 巩固 1] 已知f 〔 x〕x 1 ln 2 x2 alnx〔 x0) ．令F 〔x 〕xf 〔 x〕 ，就F / 〔 x〕 = ；22[ 巩固 2] 已知函数f 〔 x〕〔 x 1〕〔 2 x1〕〔 3 x 1〕〔nx1) ，就f / 〔0〕 的值为：nA． C 2B ． C 2C ． nD ． n 1nAA13．函数f 〔x〕 在 xx0 处的导数f 〔x0 〕 的几何意义： 曲线C : yf 〔 x〕 在其上点P〔 x0 ，y0 〕处的切线的斜率；用导数讨论切线问题， 切点是关键（切点在切线上、切点在曲线上、切点横坐标的导函数值为切线斜率） ；[ 举例 1] 曲线 y1xe2 在点〔4，e2 〕处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）Ａ． 9 e221 xＢ． 4e211 xＣ． 2e2Ｄ． e2（ 07 高考海南理 10）1解析： y e2y/ e 22，就 ]曲线在点〔4，e2 〕处的切线斜率为：e2 ，2∴切线方程为： y e 21 e2 〔 x 24〕 ，它与坐标轴的交点分别为： （ 2， 0），（ 0， -e2 ）；∴切线与坐标轴所围三角形的面积为：e2 ，选 D；[ 举例 2] 函数 yf 〔 x〕 的图象在点 P 处的切线方程是： yx 8 ，如点 P 的横坐标为 5，就 f 〔5〕f / 〔5〕 = ；解析：此题没有函数表达式，但有切线方程y x 8 ，留意到“切点在切线上” ，∴（P5，3）；又“切点在曲线上” ，∴f 〔5〕3 ；而曲线 yf 〔 x〕 在点 P 处的切线斜率为f / 〔5〕 ，即 f / 〔5〕=-1 ，故f 〔5〕f / 〔5〕 =2 ；[ 举例 3] 已知直线 x y1 0 与抛物线y ax2 相切，就 a ./解析：此题当然可以将直线方程带入抛物线方程中，使得到的一元二次方程的判别式 =0， 从而求出 a 的值； 但这种做法只限于二次曲线， 如将抛物线换成其它的非二次曲线， 就此路不通；以下用“导数”求解： “切点”是关键，记切点 P（x0 ，y0 ）， y2ax，就有：x0 y0 10 （切点在切线上）①； y0ax2（切点在曲线上）②02ax0 =1 （切点横坐标的导函数值为切线斜率）③；由①②③解得：[ 巩固 1] 已知函数 y f 〔 x〕 的图象在点 M 〔1， f 〔1〕〕 处的切线方程是a 1 ；4y 1 x 2 ，就2f 〔1〕f 〔1〕＿＿＿＿．（ 07 高考湖北文 13）[ 巩固 2] 点 P 是曲线 yx 3 x2上的动点，设点 P 处切线的倾斜角为 ，就 的取值范3围是 A 、 0,2B、 0, 3 ,2 4C、 3 ,4D、 , 32 4[ 巩固 3] 如直线 y=x 是曲线 y=x 3- 3x 2+ax 的切线，就 a= 4、留意区分“求曲线 yf 〔x〕 上过点 M 的切线”与“求曲线yf 〔x〕 上在点 M 处的切线”；前者只要求切线过 M 点， M 点未必是切点；而后者就很明确，切点就是 M 点；[ 举例 ] 求函数 y=x 3-3x2+x 的图象上过原点的切线方程解析：易见 O（ 0， 0）在函数 y=x 3 -3x2+x 的图象上，’y =3x2－ 6x+1, 但。