§9-6 应力与应变间的关系,（1）符号规定,一、各向同性材料的广义 胡克定律,三个正应力分量：拉应力为正 压应力为负三个剪应力分量: 若正面(外法线与坐标轴正向一致的平面)上剪应力矢的指向与坐标轴正向一致, 或负面(外法线与坐标轴负向一致的平面)上剪应力矢的指向与坐标轴负向一致，则该剪应力为正, 反之为负线应变: 以伸长为正, 缩短为负 剪应变: 使直角减小者为正, 增大者为负分别对应着直角 xoy ， yoz， zox 的变化在x y z 分别单独存在时, x 方向的线应变 x 依次为,（2）各向同性材料的广义胡克定律,在x y z同时存在时, x方向的线应变x为,在x y z同时存在时, y,z方向的线应变为,剪应变 xy , yz ,zx与剪应力xy ,yz ,zx之间的关系为,,（4） 特例: 平面应力状态下线应变与剪应变(假设 Z = 0 ),（5） 广义胡克定律用主应力和主应变表示为,（6）平面应力状态下, 设 3 = 0, 则,***材料的三个弹性常数E, G, 间存在如下关系:,,假设单元体的各边的边长均为a,代入,,有,以平面剪切状态为例验证：,,有,x,,在纯剪切应力状态下，沿与x轴成450和- 450角两方向上分别有主应力1和3。
x,剪应力与剪应变的关系为,所以有,解；,一一对应由于构件自由表面，所以主应力2=0该点为平面应力状态该点处另一主应变2的数值为,2是缩短的主应变，其方向必与1和3垂直，即沿构件的外法线方向三、 各向同性材料的体积应变,（2） 各向同性材料在空间 应力状态下(图9-17)的 体积应变,（1）概念:构件每单位体积 的体积变化, 称为体积 应变用 表示设单元体的三对平面为主平面, 其三个边长为a1, a2, a3变形后的边长分别为 a1(1+ , a2(1+2 , a3(1+3 , 因此变形后单元体的体积为,,体积应变为,,,在平面纯剪切应力状态下：,***可见，材料的体积应变等于零即在小变形下，剪应力不引起各向同性材料的体积改变在任意形式的应力状态下, 各向同性材料内一点处的体积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正应力之和成正比, 而与剪应力无关在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变只与三个线应变x ，y， z有关仿照上述推导有,例题9-7 边长 a = 0.1m 的铜立方块, 无间隙地放入体积较大, 变形可略去不计的钢凹槽中, 如图 a 所示。
已知铜的弹性模量 E=100GPa, 泊松比 =0.34, 当受到P=300kN 的均布压力作用时, 求该铜块的主应力. 体积应变以及最大剪应力解：铜块横截面上的压应力为,,,,,铜块受力如图 b 所示,变形条件为,解得,铜块的主应力为,体积应变和最大剪应力分别为,例题9-8 壁厚 t =10mm , 外径 D=60mm 的薄壁圆筒, 在表面上 k 点处与其轴线成 45° 和135° 角即 x, y 两方向分别贴上应变片,然后在圆筒两端作用矩为 m 的扭转力偶,如图 a 所示已知圆筒材料的弹性常数为 E = 200GPa 和 = 0.3 ,若该圆筒的变形在弹性范围内,且 max = 10MPa , 试求k点处的线应变 x ,y 以及变形后的筒壁厚度D,t,x,y,m,k,可求得,解: 从圆筒表面 k 点处取出单元体, 其各面上的应力分量如图 b所示,k点处的线应变 x , y 为,圆筒表面上k点处沿径向 (z轴) 的应变为,同理可得圆筒中任一点 (该点到圆筒横截面中心的距离为) 处的径向应变为,因此, 该圆筒变形后的厚度并无变化, 仍然为 t =10mm .,,b=50mm,h=100mm,补充题 1 已知矩形外伸梁受力P1，P2作用。
弹性模量 E=200GPa，泊松比 = 0.3 , P1=100KN ， P2=100KN求：（1）A点处的主应变 1， 2 ， 3,（2）A点处的线应变 x ， y ， z,,b=50mm,h=100mm,解：梁为拉伸与弯曲的组合变形A点有拉伸引起的正应力和弯曲引起的剪应力,（拉伸）,（负）,,b=50mm,h=100mm,求：（1）A点处的主应变 1， 2 ， 3,求：（2）A点处的线应变 x， y， z,补充题 2 简支梁由18号工字钢制成其上作用有力P = 15KN ，已知 E=200GPa , v = 0.3求：A 点沿 00 ，450，900 方向的线应变,解：,(-),yA , Iz , d 查表得出,为图示面积对中性轴的静矩,,,。