上海市各区中考数学二模试卷精选汇编 二次函数专题宝山区、嘉定区24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）已知平面直角坐标系（如图7），直线的经过点和点.（1）求、的值；（2）如果抛物线经过点、，该抛物线的顶点为点，求的值；图7Oxy（3）设点在直线上，且在第一象限内，直线与轴的交点为点，如果，求点的坐标.24.解：（1） ∵直线的经过点∴……………………1分∴………………………………1分∵直线的经过点∴……………………1分∴…………………………………………1分 （2）由可知点的坐标为 ∵抛物线经过点、 ∴∴， ∴抛物线的表达式为…………………1分∴抛物线的顶点坐标为……………1分∴,,∴∴……………………………………1分∴ ∴ …………………………………………1分（3）过点作轴，垂足为点，则∥轴 ∵,∴△∽△ ∴……………1分∵直线与轴的交点为点∴点的坐标为,又，∴，……………1分∵∴,∵∥轴∴∴ ∴ ……………………………………1分即点的纵坐标是又点在直线上点的坐标为……………1分长宁区24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）如图在直角坐标平面内，抛物线与y轴交于点A，与x轴分别交于点B（-1，0）、点C（3，0），点D是抛物线的顶点.（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）联结AD、DC，求的面积；（3）点P在直线DC上，联结OP，若以O、P、C为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标． 备用图第24题图24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）解：（1） 点B（-1，0）、C（3，0）在抛物线上∴，解得 （ 2分）∴抛物线的表达式为，顶点D的坐标是（1，-4） （ 2分）（2）∵A（0，-3），C（3，0），D（1，-4） ∴，，∴ ∴ （ 2分）∴ （1分）（3）∵，，∴△CAD∽△AOB，∴∵OA=OC， ∴∴，即 （ 1分）若以O、P、C为顶点的三角形与△ABC相似 ，且△ABC为锐角三角形 则也为锐角三角形，点P在第四象限由点C（3，0），D（1，-4）得直线CD的表达式是，设（）过P作PH⊥OC，垂足为点H，则，①当时,由得，∴，解得， ∴ （2分）②当时,由得，∴，解得，∴ （ 2分）综上得或崇明区24．（本题满分12分，第(1)、(2)、(3)小题满分各4分）已知抛物线经过点、、．（1）求抛物线的解析式；（2）联结AC、BC、AB，求的正切值；（3）点P是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点P作交轴于点，当点在点的上方，且与相似时，求点P的坐标．（第24题图）yxABCO24．（本题满分12分，每小题4分）解：（1）设所求二次函数的解析式为，………………………1分将（,）、（，）、（,）代入，得 解得 ………2分所以，这个二次函数的解析式为 ……………………………1分（2）∵（,）、（，）、（,） ∴，，∴∴ ………………………………………………………2分∴ ……………………………………………2分（3）过点P作，垂足为H设，则∵（,）∴，∵∴当△APG与△ABC相似时，存在以下两种可能：1° 则即 ∴ 解得 ………………………1分∴点的坐标为 ……………………………………………………1分2° 则即 ∴ 解得 …………………………1分∴点的坐标为 ……………………………………………………1分奉贤区24．（本题满分12分，每小题满分各4分）图811已知平面直角坐标系（如图8），抛物线与轴交于点A、B（点A在点B左侧），与轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线，过点C作直线的垂线，垂足为点E，联结DC、BC． （1）当点C（0，3）时，① 求这条抛物线的表达式和顶点坐标；② 求证：∠DCE=∠BCE； （2）当CB平分∠DCO时，求的值．黄浦区24．（本题满分12分）已知抛物线经过点A（1,0）和B（0,3），其顶点为D.（1）求此抛物线的表达式；（2）求△ABD的面积；（3）设P为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴右侧，作PH⊥对称轴，垂足为H，若△DPH与△AOB相似，求点P的坐标.24. 解：（1）由题意得：，———————————————————（2分） 解得：，—————————————————————————（1分）所以抛物线的表达式为. ——————————————（1分）（2）由（1）得D（2，﹣1），———————————————————（1分）作DT⊥y轴于点T, 则△ABD的面积=.————————（3分）（3）令P.————————————————（1分）由△DPH与△AOB相似，易知∠AOB=∠PHD=90°，所以或，————————————（2分）解得：或，所以点P的坐标为（5,8），.————————————————（1分）金山区24．（本题满分12分，每小题4分）平面直角坐标系xOy中（如图8），已知抛物线经过点A（1,0）和B（3,0），与y轴相交于点C，顶点为P． 图8（1）求这条抛物线的表达式和顶点P的坐标； （2）点E在抛物线的对称轴上，且EA=EC，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为直线MN，点Q在直线MN右侧的抛物线上，∠MEQ=∠NEB，求点Q的坐标． 24．解：（1）∵二次函数的图像经过点A（1，0）和B（3，0）， ∴，解得：，．……………………………（2分） ∴这条抛物线的表达式是…………………………………（1分）顶点P的坐标是（2，-1）．………………………………………………（1分） （2）抛物线的对称轴是直线，设点E的坐标是（2，m）．…（1分）根据题意得： ，解得：m=2，…（2分）∴点E的坐标为（2，2）．…………………………………………………（1分）（3）解法一：设点Q的坐标为，记MN与x轴相交于点F．作QD⊥MN，垂足为D， 则，………………………（1分）∵∠QDE=∠BFE=90°，∠QED=∠BEF，∴△QDE∽△BFE，…………………（1分）∴，∴，解得（不合题意，舍去），．……………………………（1分）∴，点E的坐标为（5，8）．…………………………………………（1分）解法二：记MN与x轴相交于点F．联结AE，延长AE交抛物线于点Q，∵AE=BE， EF⊥AB，∴∠AEF=∠NEB，又∵∠AEF=∠MEQ，∴∠QEM=∠NEB，………………………………（1分）点Q是所求的点，设点Q的坐标为，作QH⊥x轴，垂足为H，则QH=，OH=t，AH=t-1，∵EF⊥x轴，∴EF ∥QH，∴，∴，………（1分）解得（不合题意，舍去），．……………………………………（1分）∴，点E的坐标为（5，8）．…………………………………………（1分）静安区24．（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分4分）xBC第24题图Oy·在平面直角坐标系xOy中，已知点B（8,0）和点C（9，）．抛物线（a，c是常数，a≠0）经过点B、C，且与x轴的另一交点为A．对称轴上有一点M ，满足MA=MC．（1） 求这条抛物线的表达式； （2） 求四边形ABCM的面积； （3） 如果坐标系内有一点D，满足四边形ABCD是等腰梯形，且AD//BC，求点D的坐标． 24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）解：（1）由题意得：抛物线对称轴，即． …………（1分）点B（8,0）关于对称轴的对称点为点A（0,0）∴， …………（1分）将C（9，-3）代入，得…………………………（1分）∴抛物线的表达式： …………………………（1分）（2）∵点M在对称轴上，∴可设M（4，y）又∵MA=MC，即 ∴, 解得y=-3, ∴M（4，-3） …………………（2分）y∵MC//AB且MC≠AB, ∴四边形ABCM为梯形，, AB=8,MC=5,AB边上的高h = yM = 3∴ …………（2分）xO(3) 将点B（8,0）和点C（9，﹣3）代入 可得MACB，解得由题意得，∵AD//BC, ∴ ，…（1分）又∵AD过（0,0），DC=AB=8，设D(x,-3x) , …………………………（1分）解得(不合题意，舍去)， …………………………（1分）∴∴点D的坐标．……………………（1分）闵行区24．（本题满分12分，其中每小题各4分）ABOCxy（第24题图）D如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）求证：∠DAB=∠ACB；（3）点Q在抛物线上，且△ADQ是以AD为底的等腰三角形，求Q点的坐标．24．解：（1）把B（1，0）和C（0，3）代入中，得，解得．……………………………………（2分）∴抛物线的解析式是：．……………………………（1分）∴顶点坐标D（－1，4）．……………………………………………（1分）（2）令，则，，，∴A（－3，0）∴，∴∠CAO=∠OCA．…………………………………（1分）在中，．………………………………（1分）∵，，，∴，；∴，是直角三角形且，∴，又∵∠DAC和∠OCB都是锐角，∴∠DAC=∠OCB．…………………（1分）∴，即．……………………………………………………（1分）（3）令，且满足，,0)，，4）∵是以AD为底的等腰三角形，∴，即， 。