线性代数练习册第四章习题及答案

第四章 线性方程组§4-1 克拉默法则一、选择题1．下列说法正确的是（ C ）A. 元齐次线性方程组必有 组解；nnB. 元齐次线性方程组必有 组解；1C. 元齐次线性方程组至少有一组解，即零解；D. 元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解.2．下列说法错误的是（ B ）A.当 时，非齐次线性方程组只有唯一解；0DB.当 时，非齐次线性方程组有无穷多解；C.若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则 ；0DD.若非齐次线性方程组有无解，则 .二、填空题1．已知齐次线性方程组 有非零解，1230x则 1 ， 0 .2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式 ,0D则方程组有唯一解 .ixiD三、用克拉默法则求解下列方程组1． 8326yx解： 20D，135281263所以， 1,Dxy2．12310x解：213501rD，1122001r，2125330Dr3121500r所以， 312,,DDxx3．24832zyx解： 1300142058Dc，1314282c，2320115Dc31304042828c所以， 312,,1DDxyz4．123412345210xx解： 21341213 1235057815742805rDr32141231021585320051287452cDc212341132511073305871032458rDr1234213153128250005829742651cDc124332115152230055271416cDr所以， 32 4,,,1DDxxx§4-2 齐次线性方程组一、选择题1．已知 矩阵 的秩为 ， 是齐次线性方程组mnA1n2,0AX的两个不同的解， 为任意常数，则方程组 的通解为（ D ）. k0AXA. ； B. ； 1k2kC. ； D. .2()1()解：因为 矩阵 的秩为 ，所以方程组 的基础解系mnAn0AX含 1 个向量。

而 是齐次线性方程组 的两个不同的解，12,所以 为 的解，则方程组 的通解为 20X12()k2．设线性方程组 有非零解，则正确的是（ C ）1230kxA. 必定为 0； B. 必定为 1；kkC. 为 0 或 1； D.这样的 值不存在.3． ,且 ， ，1212212nnnababALMO0i(1,2)nL0(1,2)jjnbL则 的基础解系中含有（ A ）个向量.0xA. ； B. ； C. ； D.不确定.解：因为1211222212n nnnnababAbLLMOM所以， ，所以， )0()1RabRA； 又 ()1RA4．设 为 阶方阵， ，且 是 的三个An()3rn123,a0x线性无关的解向量，则 的基础解系为（ A ） ．0xA． ； B． ；1231,,aa213213,,aC． ； D． ．23132a二、填空题1． 元齐次线性方程组 有非零解的充分必要条件是 .n0mnAX()RAn2．当 时，齐次线性方程组 有非零解. 023或 或 123()40()x3．写出一个基础解系由 ， 组成的1,0T23,0T齐次线性方程组___ __ .23x解：方程组可为1233xx即 120x三、求解齐次线性方程组 12345123457065xx解： ²² ²21341323 2421312773082A0615546361704/(/)(/)0160rrr /所以，同解方程组为 ，1523455//3xxx则 为一组基础解系，120/43,1/0所以，通解为 。

12xk四、已知 3 阶非零矩阵 的每一列都是方程组 的解.B1230x①求 的值；② 证明 .0① 解：因为 3 阶非零矩阵 的每一列都是方程组的解，所以方程组有非零解B系数行列式 A1201② 证明：依题意， 假设 ，则 B 可逆，BO，矛盾所以， 1ABA0补充：求证： ， .,mnp0()Rn证明：依题意，矩阵 B 的所有列向量 都是齐次线性方程组1,p的解，而 解空间的维数是 ，0Axx()A所以， ，即 1(),)()pRnR RBn§4-3 非齐次线性方程组一、选择题1．若 ，则 元线性方程组 D .()RArnmnAXbA.有无穷多个解； B.有唯一解； C.无解； D.不一定有解.2．线性方程组 （ A　）.0121xA. 无解； B. 只有 0 解； C. 有唯一解； D. 有无穷多解.3．方程組 有唯一解，则 应满足（ A ）.12321231xxA. ； B. ；,,1C. ； D. .24．设 A＝ ， ， 有解的充分必要条件为（ D ） ．101234abAxbA. ； B. ；1234aa12341aaC. ； D. .0 0二、填空题1． 元非齐次线性方程组 有解的充分必要条件是 .nmnAXb(),)RAb2．若 5 元线性方程组 的基础解系中含有 2 个线性无关的解向量，则 3 .r3．设有一个四元非齐次线性方程组 ， ，又 是它的三个AXb()3R123,解向量，其中 ， ，则非齐次线性方程组的12(,0)T231,0T通解为 .(0,1,k解：因为 是 三个解向量，则123AXb是 的解，1()()(,02)(,3)(0,1)0TTTAX而 ，所以 是 的一组基础解系，R1又 是 的解，12()(,)TAXb所以， 的通解为AXb0,)(1,02)TTk三、求解非齐次线性方程组 234581496xyzz解： 231024518~96rA=同解方程组为2xzy令 为一组基础解系1则通解为21,()0xyccRz四、 取何值时，线性方程组,ab1234xab（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？说明: 对于方程个数与未知量个数相等的含参数的线性方程组,判别其由唯一解,有无穷解或无解时最好用:方程组有唯一解 系数行列式 , 此种方法简单|0A又不容易出错.解: 方程组有唯一解 系数行列式 |0A2131| 01()()0aarAbba而按 第 一 列 展 开 2123323(1)00103,4 1~1~()(,). 3,14rrAb bbRbarAb当 a且 时 ,方 程 组 有 唯 一 解 2当 =时 ,增 广 矩 阵则 此 时 方 程 组 无 解当 =时() 21323141400~~ 14,~00/201~1/()2(,) ,~raarbRAbb 当 /时 ,则 此 时 方 程 组 有 无 穷 多 解 .当 a/时()40102(,)3RAb则 此 时 方 程 组 无 解 .。