立体几何练习题1.四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，侧面 SBC 面 ABCD ，已知ABC 45 ，AB 2，BC 2 2，SB SC 3.（ 1）设平面 SCD 与平面 SAB的交线为 l ，求证： l // AB ；（ 2）求证： SA BC ；（ 3）求直线 SD 与面 SAB 所成角的正弦值 .2.如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD是平行四边形， ，AD=AC=1， O为 AC的中点， PO 平面 ABCD， PO=2，M为 PD的中点 1）证明： PB// 平面 ACM；（ 2）证明： AD 平面 PAC（ 3）求直线 AM与平面 ABCD所成角的正切值3.如图，四棱锥 PABCD 中， ABCBAD90 ，BC2AD ，△ PAB与△ PAD 都是等边三角形．（1）证明： CD平面 PBD ；（2）求二面角 CPB D 的平面角的余弦值．4.如图，四棱锥 P﹣ ABCD中， PA⊥底面 ABCD， AC⊥ AD．底面 ABCD为梯形， AB∥ DC， AB⊥ BC， PA=AB=BC=3，点 E 在棱 PB上，且 PE=2EB．（Ⅰ）求证：平面 PAB⊥平面 PCB；（Ⅱ）求证： PD∥平面 EAC；（Ⅲ）求平面 AEC和平面 PBC所成锐二面角的余弦值．5.如图，已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面于直线AB ，平面ABCD平面ABPEAB ，且ABBP2 ，ADAE1 ，AEAB ，且AE / /BP．（ 1）设点M为棱PD 中点，在面ABCD 内是否存在点N ，使得MN平面ABCD ？若存在，请证明；若不存在，请说明理由；（ 2）求二面角DPEA 的余弦值.6.如图，在直三棱柱 ABC﹣ A1B1C1 中，平面 A1BC⊥侧面 A1ABB1，且 AA1=AB=2．（1）求证： AB⊥ BC；（2）若直线 AC与平面 A1BC所成的角为 ，求锐二面角 A﹣ A1C﹣B 的大小．7.在四棱锥 V﹣ ABCD中，底面 ABCD是正方形，侧面 VAD是正三角形，平面 VAD⊥底面 ABCD．（ 1）求证 AB⊥面 VAD；（ 2）求面 VAD与面 VDB所成的二面角的大小．8.如图，在五面体 ABCDEF中，四边形 ABCD为菱形，且∠ BAD= ，对角线 AC与 BD相交于 O， OF⊥平面 ABCD， BC=CE=DE=2EF=2．（Ⅰ） 求证： EF∥ BC；（Ⅱ）求面 AOF与平面 BCEF所成锐二面角的正弦值．9.如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，底面为直角梯形， AD∥ BC，∠ BAD=90°， PA⊥底面 ABCD，且PA=AD=AB=2BC， M、N 分别为 PC、 PB的中点．（Ⅰ）求证： PB⊥ DM；（Ⅱ）求 BD与平面 ADMN所成的角．10.如图，在等腰梯形ABCD中，AB / /CD，ADDCCB1ABC60 ，四边形，ACFE为矩形，平面 ACFE 平面 ABCD ， CF1.（1）求证： BC平面 ACFE ；（2）点 M 段 EF 上运动，设平面MAB 与平面 FCB 二面角的平面角为(90)，试求 cos 的取值范围 .立体几何 试卷答案（2）证明：连接 AC，ABC45 ，AB2，BC 22 ，由余弦定理得 AC2 ，ACAB 6分取 BC 中点 G ，连接 SG, AG ，则 AGBC .SBSC, SGBC,SGAGG ,BC面 SAG,BCSA.8 分（Ⅲ）如图，以射线为 x 轴，以射线为y轴，以射线OS为 z 轴，以O为原点，建OAOB立空间直角坐标系O xyz ,SC B yD A2、试题解析：（ 1）证明： 为 AC的中点，即 O为 BD的中点，且 M 为 PD的中点，又 平面 ACM， 平面 ACM,所以 PB// 平面 ACM。
2）证明：因为 ，AD=AC，所以所以 ,，又 PO 平面 ABCD，所以所以 AD 平面 PAC3）取 OD的中点为 N，因为 所以所以 为直线 AM与平面 ABCD所成角MN平面ABCD，因为AD=AC=1，，所以所以又所以3.（1）证明见解析；（ 2）3 ．．3试题解析：（ 1）证明：过 P 作 PO平面 ABCD 于 O ，连 OA．依题意 PA PB PD ，则 OAOBOD ．又△ ABD 为 Rt ，故 O 为 BD 的中点．∵ PO 面 PBD ，∴面 PBD面 ABCD ．在梯形 ABCD 中， CD 2DB 2CB2 ，4.【解答】（Ⅰ）证明：∵ PA⊥底面 ABCD， BC? 底面 ABCD，∴ PA⊥ BC．又 AB⊥ BC，PA∩AB=A，∴ BC⊥平面 PAB．又 BC? 平面 PCB，∴平面 PAB⊥平面 PCB． （Ⅱ）证明：∵ PC⊥AD，∴在梯形 ABCD中，由 AB⊥ BC，AB=BC，得∠ BAC= ，∴∠ DCA=∠BAC= ，又 AC⊥ AD，故△ DAC为等腰直角三角形，∴DC= AC= （ AB） =2AB．连接 BD，交 AC于点 M，则 = =2．连接 EM，在△ BPD中， = =2，∴ PD∥ EM，又 PD? / 平面 EAC，EM? 平面 EAC，∴ PD∥平面 EAC． （Ⅲ）解：以 A 为坐标原点， AB， AP所在直线分别为 y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则 A（ 0， 0， 0）， B（ 0， 3， 0）， C（ 3， 3， 0）， P（ 0， 0， 3）， E（ 0， 2，1）设=（ x， y，1）为平面AEC的一个法向量，则⊥，⊥，∵=（ 3， 3， 0），=（ 0， 2， 1），∴解得 x=， y=﹣，∴=（，﹣，1）．设=（x′， y′， 1）为平面 PBC的一个法向量，则⊥，⊥，又=（ 3， 0， 0），=（ 0，﹣ 3， 3），∴，解得 x′=0，y′=1，∴=（ 0， 1， 1）．（取 PB中点为 F，连接 AF 可证为平面 PBC的一个法向量．）∵cos ＜，＞ =|=，∴平面 AEC和平面 PBC所成锐二面角的余弦值为..注：以其他方式建系的参照给分．25.（1）详见解析；（ 2） .3试题分析：（1）连接AC， BD 交于点N ，连接MN，证明MN平面ABCD ，从而MN 即为所求；（2）建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量后即可求解.试题解析：（1）连接AC， BD 交于点N ，连接MN，则MN平面ABCD，∵ M为 PD 中点，N 为 BD 中点，∴MN为PDB 的中位线，∴MN / /PB。