第二章 角平分线四大模型模型1 角平分线上的点向两边作垂线 如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B 结论：PB=PA模型分析 利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口模型实例（1）如图①，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6，BD=4，那么点D到直线AB的距离是 ；（2）如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4 求证：AP平分∠BAC热搜精练1．如图，在四边形ABCD中，BC>AB，AD=DC，BD平分∠ABC 求证：∠BAD+∠BCD=180°2．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点 P，若∠BPC=40°，则∠CAP= 模型2 截取构造对称全等 如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB 结论：△OPB≌△OPA模型分析 利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。
利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧模型实例（1）如图①所示，在△ABC中，AD是△ABC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由；（2）如图②所示， AD是△ABC的内角平分线，其他条件不变，试比较 PC-PB与AC-AB的大小，并说明理由热搜精练1．已知，在△ABC中，∠A=2∠B，CD是∠ACB的平分线，AC=16，AD=8 求线段BC的长2．已知，在△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC 求证：BC=AB+CD3．如图所示，在△ABC中，∠A=100°，∠A=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，DE=AD求证：BC=AB+CE模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形 如图，P是∠MO的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP于点B 结论：△AOB是等腰三角形模型分析 构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来模型实例 如图，已知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为E。
求证：BD=2CE热搜精练1．如图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D 求证：∠2=∠1+∠C2．如图，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于点E 求证：BE=（AC-AB）模型4 角平分线+平行线如图，P是∠MO的平分线上一点，过点P作PQ∥ON，交OM于点Q 结论：△POQ是等腰三角形模型分析 有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系模型实例 解答下列问题：（1）如图①所示，在△ABC中，EF∥BC，点D在EF上，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，写出线段EF与BE、CF有什么数量关系；（2）如图②所示，BD平分∠ABC、CD平分∠ACG，DE∥BC交AB于点E，交AC于点F，线段EF与BE、CF有什么数量关系？并说明理由3）如图③所示，BD、CD分别为外角∠CBM、∠BCN的平分线，，DE∥BC交AB延长线于点E，交AC延长线于点F，直接写出线段EF与BE、CF有什么数量关系？ 热搜精练1． 如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB 的平分线交于点E，过点E作EF∥BC，交AB于点M，交AC于点N。
若BM+CN=9，则线段MN的长为 2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E、F分别在BD、AD上，EF∥AB， 且DE=CD求证：EF=AC3． 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在CD上，且AE平分∠BAD，BE平分∠ABC求证：AD=AB-BC。