2.7,角的和与差,第二章 几何图形的初步认识,逐点,导讲练,课堂小结,作业提升,学习目标,课时讲解,1,课时流程,2,角的和、差,角平分线,余角和补角,余角、补角的性质,知,1,讲,感悟新知,知识点,角的和、差,1,1.,角的和与差,(,数,),两个角的度数的和与差叫作这两个角的和与差,.,感悟新知,知,1,讲,特别提醒,1.,两个角的和或差，仍然是一个角，角的和或差的度数，就是它们度数的和或差,.,2.,在计算两个角的和或差时要将度与度、分与分、秒与秒分别相加或相减，分、秒相加时逢,60,要进位，相减时要借,1,当,60.,感悟新知,2.,角的和与差,(,形,),知,1,讲,文字描述,数学语言,图示,角的和,AOC,是,AOB,与,BOC,的和,AOC,=,AOB,+,BOC,角的差,AOB,是,AOC,与,COB,的差,AOB,=,AOC,COB,知,1,练,感悟新知,母题 教材,P87,例题,计算：,(1),27 26,53 48,；,(2),90,79 18 6,；,(3),18 13 5,；,(4),49 28 52 4.,例,1,解题秘方：,利用有理数的运算法则结合角的单位的换算和进制进行计算,.,知,1,练,感悟新知,解,：,27 26+53 48=80 74=81 14.,(1),27 26,53 48,；,(2),90,79 18 6,；,(3),18 13 5,；,(4),49 28 52 4.,90,79 18 6=89 59 60,79 18 6=10 41 54.,18 13 5=90 65=91 5.,49 28 52 4=48 88 52 4=12 22 13.,知,1,练,感悟新知,1-1.,若,1+2=90,，,1=58 25,，则,2,的度数是,(,),A.31 75 B.31 35,C.41 75 D.41 25,B,知,1,练,感悟新知,1-2.,计算：,(1)47 53 43,53 47 42,；,(2)92 56 3,46 57 54.,解：,475343,534742,10010085,1014125.,92563,465754,91,115,63,46,57,54,45,58,9,45589.,知,1,练,感悟新知,如图,2.7-1,，回答下列问题：,(1),AOC,是哪两个角的和？,(2),AOB,是哪两个角的差？,(3),如果,AOB,=,COD,，那么,AOC,与,DOB,相等吗？,例,2,知,1,练,感悟新知,解,：,AOC,=,AOB,+,BOC,.,解题秘方：,根据图中角的位置关系得到角的和差关系,.,AOB,=,AOD,BOD,=,AOC,BOC,.,(1),AOC,是哪两个角的和？,(2),AOB,是哪两个角的差？,知,1,练,感悟新知,解,：,AOC,=,DOB,.,因为,AOB,=,COD,，,所以,AOB,+,BOC,=,COD,+,BOC,，,即,AOC,=,DOB,.,(3),如果,AOB,=,COD,，那么,AOC,与,DOB,相等吗？,在等式的两边分别加上相,等的量，所得结果仍是等式,.,知,1,练,感悟新知,2-1.,在所给的：,15,，,65,，,75,，,135,，,145,角度中，可以用一副三角尺画出来的是,(,),A.B.,C.D.,D,感悟新知,知,2,讲,知识点,角平分线,2,1.,定义 如果从一个角的顶点引出的一条射线把这个角分成的两个角相等，那么这条射线叫作这个角的角平分线,.,感悟新知,知,2,讲,表示方法：如图,2.7-2,，若,OC,平分,AOB,，则,AOC,=,BOC=,AOB,，,2,AOC,=2,BOC,=,AOB,；反之，若,AOC=,BOC,=,AOB,，,2,AOC,=2,BOC,=,AOB,，则,OC,平分,AOB,.,感悟新知,知,2,讲,2.,角的,n,等分线,(,拓展,),类似角的平分线，从角的顶点引出的射线，将角分成相等的,n,个角，叫作角的,n,等分线，例如角的三等分线、四等分线等,.,3.,角的平分线的作法,(1),用量角器来画；,(2),通过折叠，使角的两边重合，沿折痕画射线，这条射线即为这个角的角平分线,.,知,2,讲,感悟新知,特别提醒,1.,角平分线的“三要素”：,(1),是从角的顶点引出的射线；,(2),在角的内部；,(3),将已知角平分,.,2.,角的平分线只有一条,.,感悟新知,知,2,练,期末,石家庄裕华区,如图,2.7-3,，,AOC,=90,，,OC,平分,DOB,，,DOC,=25 35,，求,BOA,的度数,例,3,知,2,练,感悟新知,解题秘方：,先利用角平分线的定义求出,BOC,的度数，再求,BOA,的度数,解,：因为,OC,平分,DOB,，,所以,BOC,=,DOC,=25 35,又因为,AOC,=90,，,所以,BOA,=,AOC,BOC,=90,25 35=64 25,知,2,练,感悟新知,3-1.,期末,廊坊,如图，,OC,是,AOD,的 平分线，,OE,是,BOD,的平分线，,AOB=,130.,(1),若,BOE,=45,，求,AOC,的度数；,知,2,练,感悟新知,(2),求,COE,的度数,.,感悟新知,知,2,练,母题 教材,P89,习题,T6,如图,2.7-4,，,O,为直线,AB,上 一点，,AOC,=50,，,OD,平分,AOC,，,EOD,=90.,(1),求,BOD,的度数；,(2),小明发现,OE,平分,BOC,，请你通过计算说明理由,.,例,4,知,2,练,感悟新知,(1),求,BOD,的度数；,解,：因为,AOC,=50,，,OD,平分,AOC,，,所以,DOC,=,AOC,=25,，,BOC,=180,AOC,=180,50=130.,所以,BOD=,BOC,+,DOC,=130+25=155.,解题秘方：,利用,BOD,=,BOC,+,DOC,求解即可；,知,2,练,感悟新知,(2),小明发现,OE,平分,BOC,，请你通过计算说明理由,.,解,：因为,DOE,=90,，,DOC,=25,，,所以,COE,=,DOE,DOC,=90,25=65.,又因为,BOE,=,BOD,DOE,=155,90=65,，,所以,COE,=,BOE,，即,OE,平分,BOC,.,解题秘方：,分别求出,COE,和,BOE,的度数即可,.,知,2,练,感悟新知,4-1.,如图，点,A,，,O,，,B,在同一条直线上，,BOC=,78,，,DOE,=77,，,OD,是,BOC,的一条靠近,OC,边的三等分线,(1),求,COE,的度数,知,2,练,感悟新知,知,2,练,感悟新知,(2),OE,是,AOC,的平分线吗？说明你的理由,.,解：,OE,是,AOC,的平分线,理由：因为,COE,51,，,BOC,78,，,所以,AOE,180,COE,BOC,180,51,78,51.,所以,AOE,COE,，,所以,OE,是,AOC,的平分线,感悟新知,知,3,讲,知识点,余角和补角,3,1.,余角 如果,+,=90,，那么我们就称,与,互为余角，简称互余,.,其中，,(,),叫作,(,),的余角,.,数学语言：如图,2.7-5,，如果,1+2=90,，就 说,1,是,2,的余角，或,1,与,2,互为余角,.,感悟新知,知,3,讲,2.,补角 如果,+,=180,，那么我们就称,与,互为补角，简称互补,.,其中，,(,),叫作,(,),的补角,.,数学语言：如图,2.7-6,，如 果,3+4=180,，就 说,3,是,4,的补角，或,3,与,4,互为补角,.,感悟新知,知,3,讲,3.,邻补角 两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角称为邻补角,.,如图,2.7-7,，,AOB,与,BOC,互为邻补角,.,知,3,讲,感悟新知,特别解读,1.,互余、互补是指,两个角之间的数量关系,，它们是,成对出现,的,.,2.,若两个角互余，则两个角都是锐角；若两个角互补，则两个角可能都是直角，也可能一个角是锐角，另 一个角是钝角,.,3.,互余、互补只,与数量有关，与位置无关,，若将直角分成两个角，则这两个角互余，若将平角分成两个角，则这两个角互补,.,知,3,练,感悟新知,一个角的补角为,138,，则这个角的余角为,(),A.38 B.42 C.48 D.132,例,5,知,3,练,感悟新知,解题秘方：,紧扣余角和补角的定义进行角的和差的计算即可,解,：这个角是,180,138=42,，,所以这个角的余角是,90,42=48,答案：,C,知,3,练,感悟新知,5-1.,期 末,邯 郸,如果一个角与它的余角的度数之比为,1 2,，则这个角是,_,度，这个角的补角与它的余角的差等于,_,度,30,90,知,3,练,感悟新知,如图,2.7-8,，点,O,为直线,AB,上一点，,AOC,=,DOE,=90.,(1),图中互余的角有几对？各是哪些？,(2),图中互补的角有几对？各是哪些？,例,6,解题秘方：,紧扣余角、补角的定义解答,.,知,3,练,感悟新知,(1),图中互余的角有几对？各是哪些？,解,：因为点,O,为直线,AB,上一点，,所以,BOC,+,AOC,=180(,平角的定义,),.,因为,AOC,=90,，所以,BOC,=180,AOC,=90,，又因为,DOE,=90,，,所 以,1+2=90,，,2+3=90,，,3+4=90,，,1+4=90,，,所以图中互余的角有,4,对，分别是,1,和,2,，,2,和,3,，,3,和,4,，,1,和,4.,知,3,练,感悟新知,(2),图中互补的角有几对？各是哪些？,解,：由题意得,1+,BOD,=180,，,4+,AOE,=180,，由,(1),易知,1=3,，,2=4,，,所以,3+,BOD,=180,，,2+,AOE,=180.,又因为,AOC,+,BOC,=180,，,AOC,+,DOE,=180,，,DOE,+,BOC,=180,，,所以图中互补的角有,7,对，分别是,1,和,BOD,，,4,和,AOE,，,3,和,BOD,，,2,和,AOE,，,AOC,和,BOC,，,AOC,和,DOE,，,DOE,和,BOC,.,知,3,练,感悟新知,6-1.,如图，直线,AB,，,CD,相交于点,O,，,AOE,=,COF,=90,，则 图中 与,BOC,互补的角有,(,),A.1,个,B.2,个,C.3,个,D.4,个,C,知,3,练,感悟新知,6-2.,如图，点,O,为 直线,BE,上一点，,AOE,=,COD,=90,，则图中与,BOC,互余的角有,(,),A.1,个,B.2,个,C.3,个,D.4,个,B,感悟新知,知,4,讲,知识点,余角、补角的性质,4,1.,余角的性质,(1),同角的余角相等,.,如果,1+2=90,，,1+3=90,，那么,2=3.,(2),等角的余角相等,.,如果,1+2=90,，,3+4=90,，且,1=3,，,那么,2=4.,同一个角,.,度数相等的角,.,感悟新知,知,4,讲,2.,补角的性质,(1),同角的补角,相等,.,如果,1+2=180,，,1+3=180,，那么,2=3.,(2),等角的补角,相等,.,如果,1+2=180,，,3+4=180,，且,1=3,，,那么,2=4.,知,4,讲,感悟新知,特别提醒,如果互补的两个角相等，那么这两个角都是直角,.,余角、补角的性质是说明两个角相等的重要依据,.,感悟新知,知,4,练,如图,2.7-9,，已知,O,是直线,AB,上的一点，,OC,是一条射线，,OD,平分,AOC,，,DOE,=90,，则,OE,平分,BOC,吗？为什么？,例,7,知,4,练,感悟新知,解题秘方：,紧扣角平分线的定义，利用余角的性质说明两个角相等,.,知,4,练,感悟新知,解,：,OE,平分,BOC,.,理由如下：,因为,DOE,=90,，所以,DOC,+,COE,=90.,又因为,AOB,=180,，所以。