专题专题 无刻度直尺作图无刻度直尺作图2021/6/301 类型类型1 1 在三角形、四边形及多边形中作图「 在三角形、四边形及多边形中作图「1717年年1616题 题 1616年年1717题」题」【【解题方法解题方法】】 在基本图形在基本图形( (三角形、特殊四边形等三角形、特殊四边形等) )中构建特中构建特殊图形的位置、形状关系的无刻度直尺作图，一是准确把握背殊图形的位置、形状关系的无刻度直尺作图，一是准确把握背景基本几何图形的形状、大小、位置关系；二是借助于背景图景基本几何图形的形状、大小、位置关系；二是借助于背景图形相关点、线、角及基本图形性质、判定的基础上发现作图途形相关点、线、角及基本图形性质、判定的基础上发现作图途径、作图方法，进而酝酿与构建有关图形的位置、形状、大小径、作图方法，进而酝酿与构建有关图形的位置、形状、大小之间的内在关系、结构关系．之间的内在关系、结构关系．2021/6/302 例例1 1 如图，六个完全相同的小长方形拼成一个大长方形，如图，六个完全相同的小长方形拼成一个大长方形，ABAB是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形中完成下列画是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形中完成下列画图，要求：仅用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹．图，要求：仅用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹．(1)(1)在图在图①①中画出一个中画出一个45°45°角，使点角，使点A A或点或点B B是这个角的顶点，是这个角的顶点，且且ABAB为这个角的一边；为这个角的一边；(2)(2)在图在图②②中画出线段中画出线段ABAB的垂直平分线．的垂直平分线．类型类型1 1 在三角形、四边形及多边形中作图 在三角形、四边形及多边形中作图2021/6/303 解：解：(1)(1)如图所示：如图所示：∠∠ABCABC＝＝45°(AB45°(AB，，ACAC是小长方形的对角线是小长方形的对角线) )，，或或∠∠BACBAC＝＝45°(AB45°(AB，，BCBC是小长方形的对角线是小长方形的对角线) )．．2021/6/304 解解: :（（2 2））线段线段ABAB的垂直平分线如图所示：的垂直平分线如图所示：点点M M是长方形是长方形AFBEAFBE的对角线的交点，点的对角线的交点，点N N是正方形是正方形ABDCABDC的对角的对角线的交点，直线线的交点，直线MNMN就是所求的线段就是所求的线段ABAB的垂直平分线．的垂直平分线．2021/6/305 ( (画法不唯一，以下为其他几种画法，供参考画法不唯一，以下为其他几种画法，供参考) )2021/6/306 | |针对训练针对训练| | 1．在．在▱ ▱ABCD中，点中，点E在在AD上，上，DE＝＝CD，请仅用无刻度的，请仅用无刻度的直尺，按要求作图直尺，按要求作图(保留作图痕迹保留作图痕迹)．．(1)在图在图Z2－－2①①中，画出中，画出∠∠C的平分线；的平分线；(2)在图在图②②中，画出中，画出∠∠A的平分线．的平分线．2021/6/307 2．．【【2015·江西模拟江西模拟】】如图如图Z2－－3，在，在△△ABC和和△△DCB中，中，∠∠A＝＝∠∠D＝＝90°，，AC＝＝BD，，AC与与BD相交于点相交于点O.仅用无刻度的仅用无刻度的直尺完成以下作图．直尺完成以下作图．(1)在图在图①①中作线段中作线段BC的中点的中点P；；(2)在图在图②②中，在中，在OB，，OC上分别上分别取点取点E，，F，使，使EF∥∥BC.图图Z2－－3解：解：(1)如图如图①①所示．所示．解：解： (2)如图如图②②所示．所示． 2021/6/308 3．．【【2016·抚州模拟抚州模拟】】由三个形状大小完全相同的菱形组由三个形状大小完全相同的菱形组成一个正六边形．只用无刻度的直尺按下列要求画图．成一个正六边形．只用无刻度的直尺按下列要求画图．(1)在图在图①①中画一个直角三角形；中画一个直角三角形；(2)在图在图②②中画一个等边三角形．中画一个等边三角形．图图Z2－－4解：解：(1)利用菱形的性质结合利用菱形的性质结合正六边形的性质得出符合题正六边形的性质得出符合题意的答案，如图意的答案，如图①①所示：所示：△△ABC即为所求；即为所求；解：解：(2)利用等边三角形的性质以及利用等边三角形的性质以及菱形的性质得出符合题意的答案，菱形的性质得出符合题意的答案，如图如图②②所示：所示：△△ABC即为所求．即为所求．2021/6/309 4．．【【 2017·江西江西】】如图如图Z2－－5，已知正七边形，已知正七边形ABCDEFG，，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．(1)在图在图①①中，画出一个以中，画出一个以AB为边的平行四边形；为边的平行四边形；(2)在图在图②②中，画出一个以中，画出一个以AF为边的菱形．为边的菱形．图图Z2－－5解：解：(1)如下图．如下图．(画法有多种，正确画出画法有多种，正确画出一种即可，以下几种画法供参考一种即可，以下几种画法供参考)2021/6/3010 4．．【【 2017·江西江西】】如图如图Z2－－5，已知正七边形，已知正七边形ABCDEFG，，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．(2)在图在图②②中，画出一个以中，画出一个以AF为边的菱形．为边的菱形．图图Z2－－5解：解：(2)如下图．如下图．(画法有两种，画法有两种，正确画出其中一种即可正确画出其中一种即可)2021/6/3011 5．．【【 2017·南昌模拟南昌模拟】】请仅用无刻度的直尺在图请仅用无刻度的直尺在图Z2－－6①①和和图图②②中按要求画菱形．中按要求画菱形．(1)图图1是矩形是矩形ABCD，，E，，F分别是分别是AB和和AD的中点，以的中点，以EF为为边画一个菱形；边画一个菱形；(2)图图2是正方形是正方形ABCD，，E是对角线是对角线BD上任意一点上任意一点(BE＞＞DE)，以，以AE为边画一个菱形．为边画一个菱形．图图Z2－－6解：解：(1)如图如图①①所示：所示：四边形四边形EFGH即为所即为所求的菱形；求的菱形；2021/6/3012 5．．【【 2017·南昌模拟南昌模拟】】请仅用无刻度的直尺在图请仅用无刻度的直尺在图Z2－－6①①和和图图②②中按要求画菱形．中按要求画菱形．(2)图图2是正方形是正方形ABCD，，E是对角线是对角线BD上任意一点上任意一点(BE＞＞DE)，以，以AE为边画一个菱形．为边画一个菱形．图图Z2－－6解：解：(2)如图如图②②所示：所示：四边形四边形AECF即为所求的菱形．即为所求的菱形．2021/6/3013 6．．【【2017·赣州模拟赣州模拟】】如图如图Z2－－7，由，由6个形状、大小完全相个形状、大小完全相同的小矩形组成大矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格的同的小矩形组成大矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点，请仅用无刻度直尺在矩形中完成下列画图．格点，请仅用无刻度直尺在矩形中完成下列画图．(1)在图在图①①中画出一个顶点均在格点上的非特殊的平行四边形中画出一个顶点均在格点上的非特殊的平行四边形 (2)在图在图②②中画出一个顶点均在格点上的正方形．中画出一个顶点均在格点上的正方形．图图Z2－－7解：解：(1)如图如图①①所示：平行四边形，所示：平行四边形，即为所求；即为所求；2021/6/3014 6．．【【2017·赣州模拟赣州模拟】】如图如图Z2－－7，由，由6个形状、大小完全相个形状、大小完全相同的小矩形组成大矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格的同的小矩形组成大矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点，请仅用无刻度直尺在矩形中完成下列画图．格点，请仅用无刻度直尺在矩形中完成下列画图．(2)在图在图②②中画出一个顶点均在格点上的正方形．中画出一个顶点均在格点上的正方形．图图Z2－－7解：解： (2)如图如图②②所示：正方形，所示：正方形，即为所求．即为所求．2021/6/3015 类型类型2 在圆中作图「 在圆中作图「15年年17题 题 13年年16题」题」【【解题方法解题方法】】 立足圆的轴对称性、垂径定理及推论等基本性质，立足圆的轴对称性、垂径定理及推论等基本性质，借助有关圆心角、圆周角、弧之间的关系构建有关点、线、图借助有关圆心角、圆周角、弧之间的关系构建有关点、线、图形之间的特殊形状、位置及大小关系．形之间的特殊形状、位置及大小关系．2021/6/3016 例例2 【【2015·江西江西】】⊙ ⊙O为为△△ABC的外接圆，请仅用无刻度的的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图直尺，根据下列条件分别在图Z2－－8①①，，②②中画出一条弦，使这中画出一条弦，使这条弦将条弦将△△ABC分成面积相等的两部分．分成面积相等的两部分．(保留作图痕迹保留作图痕迹)(1)如图如图①①，，AC＝＝BC；；(2)如图如图②②，直线，直线l与与⊙ ⊙O相切于点相切于点P，且，且l∥∥BC.图图Z2－－8解：解：(1)如图如图①①所示，所示，CD即为所求的弦．即为所求的弦．理由：理由：∵∵AC＝＝BC，，∴∴ ＝＝ ，，∴∴C 是是 的中点．的中点．连接连接CO，交，交AB于点于点E.由垂径定理，知由垂径定理，知E是是AB的中点，延长的中点，延长CO交交⊙ ⊙O于点于点D，，则则CD即为所求作的弦．即为所求作的弦．2021/6/3017 例例2 【【2015·江西江西】】⊙ ⊙O为为△△ABC的外接圆，请仅用无刻度的的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图直尺，根据下列条件分别在图Z2－－8①①，，②②中画出一条弦，使这中画出一条弦，使这条弦将条弦将△△ABC分成面积相等的两部分．分成面积相等的两部分．(保留作图痕迹保留作图痕迹)(2)如图如图②②，直线，直线l与与⊙ ⊙O相切于点相切于点P，且，且l∥∥BC.图图Z2－－8解：解：(2)如图如图②②，，AF即为所求的弦．即为所求的弦．理由：理由：∵∵l切切⊙ ⊙O于点于点P，作射线，作射线PO，，交交BC于点于点E，则，则PO⊥⊥l.∵∵l∥∥BC，，∴∴PO⊥⊥BC.由垂径定理，知由垂径定理，知E是是BC的中点，的中点，延长延长AE交交⊙ ⊙O于点于点F，则，则AF即为所求作的弦．即为所求作的弦．2021/6/3018 【【点拨交流点拨交流 】】1．图形中的圆有哪些基本性质？．图形中的圆有哪些基本性质？2．由．由(1)中的中的AC＝＝BC，你能得到什么？，你能得到什么？3．平分三角形面积的方法有哪些？．平分三角形面积的方法有哪些？2021/6/3019 【【解题思路解题思路】】2021/6/3020 |针对训练针对训练| 1．．【【2013·江西江西】】如图如图Z2－－9，，AB是半圆的直径，图是半圆的直径，图①①中，中，点点C在半圆外；图在半圆外；图②②中，点中，点C在半圆内．请仅用无刻度的直尺按在半圆内．请仅用无刻度的直尺按要求画图．要求画图．(1)在图在图①①中，画出中，画出△△ABC的三条高的交点；的三条高的交点；(2)在图在图②②中，画出中，画出△△ABC中中AB边上的高．边上的高．图图Z2－－9解：解：(1)如图如图①①，点，点P就是所求作的点．就是所求作的点．2021/6/3021 |针对训练针对训练| 1．．【【2013·江西江西】】如图如图Z2－－9，，AB是半圆的直径，图是半圆的直径，图①①中，中，点点C在半圆外；图在半圆外；图②②中，点中，点C在半圆内．请仅用无刻度的直尺按在半圆内．请仅用无刻度的直尺按要求画图．要求画图．(2)在图在图②②中，画出中，画出△△ABC中中AB边上的高．边上的高．图图Z2－－9解：解： (2)如图如图②②，，CD为为AB边上的高．边上的高．2021/6/3022 2．．【【2016·鹰潭联考鹰潭联考】】用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，分别作出图中分别作出图中∠∠AOB的平分线：的平分线：(1)如图如图Z2－－10①①，，∠∠AOB的两边与一圆切于点的两边与一圆切于点A，，B，点，点M，，N是优弧是优弧AB的三等分点；的三等分点；(2)如图如图②②，，∠∠AOB的两边与一圆交于点的两边与一圆交于点A，，B，，M，，N，且，且AM＝＝BN.图图Z2－－10解：如图所示．解：如图所示． 2021/6/3023 3．．【【2014·江西样卷一江西样卷一】】如图如图Z2－－11①①中，弦中，弦AB∥∥CD，，AB＝＝CD，图，图②②中，弦中，弦AB∥∥CD，，AB≠CD，请仅用无刻度的直，请仅用无刻度的直尺按要求画图．尺按要求画图．(1)在图在图①①中，画出中，画出⊙ ⊙O的圆心的圆心O；；(2)在图在图②②中，画出中，画出⊙ ⊙O的一条直径．的一条直径．图图Z2－－11解：解：(1)如图如图①①，点，点O即为即为⊙ ⊙O的圆心．的圆心．2021/6/3024 3．．【【2014·江西样卷一江西样卷一】】如图如图Z2－－11①①中，弦中，弦AB∥∥CD，，AB＝＝CD，图，图②②中，弦中，弦AB∥∥CD，，AB≠CD，请仅用无刻度的直，请仅用无刻度的直尺按要求画图．尺按要求画图．(2)在图在图②②中，画出中，画出⊙ ⊙O的一条直径．的一条直径．图图Z2－－11解：解：(2)如图如图②②，线段，线段EF即为即为⊙ ⊙O的一条直径的一条直径．．2021/6/3025 4．．【【2016·南昌模拟南昌模拟】】作图题：在作图题：在⊙ ⊙O中，点中，点D是劣弧是劣弧AB的中的中点，仅用无刻度的直尺画线的方法，按要求完成下列作图：点，仅用无刻度的直尺画线的方法，按要求完成下列作图：(1)在图在图Z2－－12①①中作出中作出∠∠C的平分线；的平分线；(2)在图在图②②中画一条弦，平分中画一条弦，平分△△ABC的面积．的面积．图图Z2－－12解：解：(1)如图如图①①，，CD为所作；为所作；2021/6/3026 4．．【【2016·南昌模拟南昌模拟】】作图题：在作图题：在⊙ ⊙O中，点中，点D是劣弧是劣弧AB的中的中点，仅用无刻度的直尺画线的方法，按要求完成下列作图：点，仅用无刻度的直尺画线的方法，按要求完成下列作图：(2)在图在图②②中画一条弦，平分中画一条弦，平分△△ABC的面积．的面积．图图Z2－－12解：解：(2)如图如图②②，，CE为所作．为所作． 2021/6/3027 5．．【【2017·吉安模拟吉安模拟】】请仅用无刻度的直尺画图：请仅用无刻度的直尺画图：(1)如图如图Z2－－13①①，，△△ABC与与△△ADE是圆内接三角形，是圆内接三角形，AB＝＝AD，，AE＝＝AC，画出圆的一条直径．，画出圆的一条直径．(2)如图如图②②，，AB，，CD是圆的两条弦，是圆的两条弦，AB＝＝CD且不相互平行，且不相互平行，画出圆的一条直径．画出圆的一条直径．图图Z2－－13解：解：(1)如图如图①①，，以以A为端点，为端点，过过DE与与BC的交点的交点作射线，与圆交于作射线，与圆交于点点F，线段，线段AF即为所求；即为所求；2021/6/3028 5．．【【2017·吉安模拟吉安模拟】】请仅用无刻度的直尺画图：请仅用无刻度的直尺画图：(2)如图如图②②，，AB，，CD是圆的两条弦，是圆的两条弦，AB＝＝CD且不相互平行，且不相互平行，画出圆的一条直径．画出圆的一条直径．图图Z2－－13解：解：(2)如图如图②②，延长，延长BA，，DC交于一交于一点，连接点，连接BC，，AD交于一点，过这两交于一点，过这两点作直线，点作直线，与圆交于点与圆交于点M，，N，，线段线段MN即为所求．即为所求．2021/6/3029 6．．【【2017·江西样卷江西样卷】】请仅用无刻度的直尺，用连线的方法在请仅用无刻度的直尺，用连线的方法在图图Z2－－14①①，图，图②②中分别过圆外一点中分别过圆外一点A作出直径作出直径BC所在直线的所在直线的垂线．垂线．图图Z2－－14如图如图①①，直线，直线AD即为所求．即为所求． 如图如图②②，直线，直线AE即为所求．即为所求．2021/6/3030 7．弦．弦AB∥∥CD，，AB≠CD，限用无刻度的直尺分别按下列要，限用无刻度的直尺分别按下列要求画图．求画图．(1)在图在图Z2－－15①①中画出中画出∠∠DAC的平分线；的平分线；(2)在图在图②②中画直线中画直线l平分平分△△DAC的面积．的面积．图图Z2－－15解：解：(1)如图如图①①，射线，射线AE即为所求；即为所求；(2)如图如图②②，直线，直线AF即为所求．即为所求．2021/6/3031 类型类型3 在网格中作图「 在网格中作图「14年年17题」题」【【解题方法解题方法】】 此类题通常以网格或坐标为背景，关键是把握网此类题通常以网格或坐标为背景，关键是把握网格或坐标特征：各格点之间的距离可能为正整数，也可能为无格或坐标特征：各格点之间的距离可能为正整数，也可能为无理数，借助勾股定理的逆定理构建直角三角形等，酝酿与构建理数，借助勾股定理的逆定理构建直角三角形等，酝酿与构建相关图形的形状、位置及大小．相关图形的形状、位置及大小．2021/6/3032 例例3【【2014·江西江西】】 已知梯形已知梯形ABCD，请使用无刻度的直尺画图．，请使用无刻度的直尺画图．(1)在图在图Z2－－16①①中画一个与梯形中画一个与梯形ABCD面积相等，且以面积相等，且以CD为边的三角形为边的三角形(2)在图在图②②中画一个与梯形中画一个与梯形ABCD面积相等，且以面积相等，且以AB为边的平行四边形．为边的平行四边形．图图Z2－－16解：解：(1)如图如图①①所示，所示，△△CDE即为所求．即为所求．(2)如图如图②②所示，所示，▱ ▱ABFE即为所求．即为所求．2021/6/3033 【【点拨交流点拨交流】】1．本题考查了哪些知识？解题的关键是什么？．本题考查了哪些知识？解题的关键是什么？2．梯形的面积公式是什么？三角形的面积公式是什么？．梯形的面积公式是什么？三角形的面积公式是什么？3．如何画以．如何画以CD为边，且与梯形为边，且与梯形ABCD面积相等的三角形？面积相等的三角形？4．如何画以．如何画以AB为边，且与梯形为边，且与梯形ABCD面积相等的平行四边形？面积相等的平行四边形？2021/6/3034 【【解题思路解题思路】】2021/6/3035 |针对训练针对训练| 图图Z2－－17解：如图所示．解：如图所示．2021/6/3036 2．如图．如图Z2－－18，线段，线段OB放置在正方形网格中，现请你分别在放置在正方形网格中，现请你分别在图图①②③①②③中添画中添画(工具只能用无刻度直尺工具只能用无刻度直尺)射线射线OA，使，使tan∠∠AOB的值分别为的值分别为1，，2，，3.图图Z2－－182021/6/3037 3．．【【2016·赣州赣州】】适应性考试在适应性考试在10×10的正方形网格中的正方形网格中(每个每个小正方形的边长为小正方形的边长为1)，线段，线段AB在网格中的位置如图在网格中的位置如图Z2－－19所示所示．．请仅用无刻度直尺，按要求分别完成以下画图．请仅用无刻度直尺，按要求分别完成以下画图．(1)在图在图①①中，画出一个以中，画出一个以AB为边，另两个顶点为边，另两个顶点C，，D也在格也在格点上的菱形点上的菱形ABCD.(2)在图在图②②中，画出一个以中，画出一个以A，，B为顶点，另两个顶点为顶点，另两个顶点C，，D也也在格点上的菱形，且使这个菱形的面积最大或最小在格点上的菱形，且使这个菱形的面积最大或最小(仅选其一即仅选其一即可可)．其面积值是．其面积值是________．．图图Z2－－192021/6/3038 解：解：(1)以以AB为边，另两个顶点为边，另两个顶点C，，D也在格点上的菱形也在格点上的菱形ABCD有多种画法，如下图所示．有多种画法，如下图所示．2021/6/3039 3．．【【2016·赣州赣州】】适应性考试在适应性考试在10×10的正方形网格中的正方形网格中(每个每个小正方形的边长为小正方形的边长为1)，线段，线段AB在网格中的位置如图在网格中的位置如图Z2－－19所示所示．．请仅用无刻度直尺，按要求分别完成以下画图．请仅用无刻度直尺，按要求分别完成以下画图．(2)在图在图②②中，画出一个以中，画出一个以A，，B为顶点，另两个顶点为顶点，另两个顶点C，，D也也在格点上的菱形，且使这个菱形的面积最大或最小在格点上的菱形，且使这个菱形的面积最大或最小(仅选其一即仅选其一即可可)．其面积值是．其面积值是________．．图图Z2－－192021/6/3040 解：解：(2)以以A，，B为顶点，另两个顶点为顶点，另两个顶点C，，D也在格点上的菱形，也在格点上的菱形，且使这个菱形的面积最大或最小的图形如下：且使这个菱形的面积最大或最小的图形如下：最大为最大为15，最小为，最小为5.2021/6/3041 4．如图．如图Z2－－20所示，在所示，在8×8的网格中，我们把的网格中，我们把△△ABC在图在图①①中作中作轴对称变换，在图轴对称变换，在图②②中作旋转变换．已知网格中的线段中作旋转变换．已知网格中的线段DE、线段、线段MN分别是边分别是边AB经两种不同变换后所得的图像，请在两图中分别经两种不同变换后所得的图像，请在两图中分别画出画出△△ABC经各自变换后的图像，并标出对称轴和旋转中心经各自变换后的图像，并标出对称轴和旋转中心(要求：要求：不写作法，作图工具不限，但要保留作图痕迹不写作法，作图工具不限，但要保留作图痕迹)．．图图Z2－－20解：如图所示．解：如图所示．图图①①中直线中直线GH为轴对称变换的对称轴，为轴对称变换的对称轴，△△DEF与与△△BAC关于直线关于直线GH对称；对称；图图②②中点中点O为旋转变换的旋转中心，为旋转变换的旋转中心，△△MNP由由△△ABC以点以点O为旋转中心，顺时针旋为旋转中心，顺时针旋转转90°得到．得到．2021/6/3042 5．在如图．在如图Z2－－21三个网格中，限用无刻度的直尺分别画出与三个网格中，限用无刻度的直尺分别画出与△△DEF相似，但不全等的三个相似，但不全等的三个△△ABC.图图Z2－－21解：答案如下图．解：答案如下图． 2021/6/3043 6．．【【2017·鹰潭模拟鹰潭模拟】】已知图已知图Z2－－22是是3个个5×5的正方形网格，的正方形网格，小正方形边长都为小正方形边长都为1.A，，B两点在小网格的顶点上，位置如图所两点在小网格的顶点上，位置如图所示．现请你分别在三个网格中各画一个示．现请你分别在三个网格中各画一个△△ABC.要求：要求：(1)顶点顶点C在网格的顶点上；在网格的顶点上；(2)工具只用无刻度的直尺；工具只用无刻度的直尺；(3)所画的所画的3个三个三角形互不全等，但面积都为角形互不全等，但面积都为2.图图Z2－－22解：如图所示，所画三角形的解：如图所示，所画三角形的位置不唯一．位置不唯一．2021/6/3044 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！ 。