中考数学复习资料，精心整编吐血推荐, 如若有用请打赏支持，感激不尽！初 中数学竞赛精品标准教程及练习（33）同一法一、内容提要1. “同一法”是一种间接的证明方法它是根据符合“同一法则”的两个互逆命题必等效的原理，当一个命题不易证明时，釆取证明它的逆命题2. 同一法则的定义是：如果一个命题的题设和结论都是唯一的事项时，那么它和它的逆命题同时有效这称为同一法则互逆两个命题一般是不等价的例如原命题：福建是中国的一个省（真命题）逆命题：中国的一个省是福建（假命题）但当一命题的题设和结论都是唯一的事项时，则它们是等效的例如原命题：中国的首都是北京（真命题）逆命题：北京是中国的首都（真命题）因为世界上只有一个中国，而且中国只有一个首都，所以互逆的两个命题是等效的又如原命题：等腰三角形顶角平分线是底边上的高真命题）逆命题：等腰三角形底边上的高是顶角平分线真命题）因为在等腰三角形这一前提下，顶角平分线和底边上的高都是唯一的，所以互逆的两个命题是等效的3. 釆用同一法证明的步骤：如果一个命题直接证明有困难，而它与逆命题符合同一法则，则可釆用同一法，证明它的逆命题，其步骤是： 作出符合命题结论的图形（即假设命题的结论成立） 证明这一图形与命题题设相同（即证明它符合原题设）二、例题例1. 求证三角形的三条中线相交于一点已知： ABC 中，AD ，BE ，CF都是中线求证：AD ，BE ，CF相交于同一点分析：在证明 AD和 BE相交于点 G之后，本应再证明CF经过点 G ，这要证明三点共线，直接证明不易，我们釆用同一法：连结并延长CG交 AB于 F，证明 CF，就是第三条中线（即证明AF，F，B）证明： DAB EBA 180AD和 BE相交，设交点为G F,GABCDEF精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 连结并延长 CG交 AB于 F，连结 DE交 CF，于 M DE AB FAMEFBMDFCCM， 即FAFBMEMDFBMEFAMDFGMG， 即FBFAMEMDFAFBFBFA， AF，BF，AF，是 BC边上的中线，BC边上的中线只有一条，AF，和 AD是同一条中线AD ，BE ，CF相交于一点 G 。
例 2. 已知： ABC中，D在 BC上，AB2AC2BD2DC2 求证： AD是ABC 的高分析：从题设 AB2AC2BD2DC2证明结论不易，因为BC边上的高是唯一的，所以拟用同一法，先作出 AE BC ，证明在题设的条件下AE就是 AD 证明：作 AE BC交 BC于 E A 根据勾股定理AB2AC2（AE2BE2）（AE2EC2）BE2EC2 AB2AC2BD2DC2B E D C BD2DC2BE2EC2（BD DC ） （BD DC ）（ BE EC ） （BE EC ）BD DC BE EC BD DC BE EC ： 2BD 2BE 即点 D和点 E重合，即 AD 是ABC的高例 3 如图已知：四边形ABCD 中， ABD ADB 15CBD 45 ，CDB 30求证： ABC 是等边三角形证明：在 BC或延长线上取点 E，使 BE AB 连结 AE ，DE ，则 ABE是等边三角形AE AB AD ，EAD 150 60 90 ， ADE 4545301515ABDCE精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - ADC 45 ，且 DE ，DC在 DA的同一侧，DE和 DC重合，它们与 BC边的交点 E，C也重合ABC 是等边三角形例 4. 求证：3352521 分析：直接证法，一般是把左边写成3333)5252(再化简为 1，但没有成功。
拟用同一法，可认为要证明的原命题是：有两个数352，352，它们积是 1，则它们的和是 1 那么逆命题是：若 u+v=1,且 uv=1，则 u=352,v=352证明：设u+v=1,且 uv=1，根据韦达定理的逆定理（初三教材）得 u,v 是方程 x2x10 的两个根x=251, 即 u,v 分别等于251，251而 u3=（251）325，v3=（251）325u=352,v=352即3352521 例 5. 已知： ACD是圆的割线，点 B在圆上，且 AB2AC AD 求证： AB是圆的切线证明：过点 B作圆的切线，交 DC于 A1，则CBA1D 由已知 AB2AC AD ，则ABACACAD，AA ACB ABD CBA D ，CBA1CBA BA和 BA1重合，它们与 DC的交点是同一个点即 AB是圆的切线例 6. 以ABC的三个顶点为圆心，作三个圆两两外切，切点分别是D ，E，F，那么过 D ，E，F的圆是lBA1DCA精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - ABC 的内切圆。
分析：用同一法证明，作出ABC 的内切圆，再证明三个切点和D ，E，F 重合证明：作 ABC的内切圆和 AB ，BC ，CA分别切于 D，E，F，根据切线长定理，得AD，AF，2abc，BE，BD，2bca，CF，CE，2cba设A,B，C半径长分别为 x,y,z bxzazycyx, 解得， x=2abc,y=2bca,z=2cbaAD，AD ，BE，BE ，CF，CF 即 D，与 D，E，与 E ， F，与 F 重合ABC的内切圆和各边切于D ，E，F 即过 D ，E，F的圆是 ABC的内切圆三、练习 33 1. 用同一法证明： 三角形的中位线平行于第三边 梯形中位线平行于两底2. 已知 E是正方形 ABCD 内的一点， EAB EBA 15求证 ECD 是等边三角形3. 已知 ABC中，AB AC ，A36 ，在 AC上取点 D ，使 AD BC 求证 BD是ABC 的平分线4. 如果梯形的一条腰等于两底和，那么夹这条腰的两个角的平分线的交点，必是另一腰中点5. ABC 中， CRt，AC BC ，点 D在 AC上，且 CD AB BC 求证 BD平分 ABC 6. 正方形 ABCD 中，M ，N分别是 CD ，BC的中点， DE AM于 E，求证点 N在 DE的延长线上7. 已知：四边形 ABCD 中，E，F和 GH 分别三等分 AB和 CD ，FACBDE精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - M和 N分别是 BC ，AD中点，N D 求证：A MN平分 EH和 FG E H MN被 EH ，FG三等分F G B M C 8. 已知：矩形 ABCD 中，AB 2BC ，点 E在 CD上，且 CBE 15求证： AE AB 9. 已知： AD是四边形 ABCD 外接圆 O的直径， ABC 120 ACB 45点 P在 CB的延长线上，且 PB 2BC 求证： PA是O的切线10.已知： H是ABC的垂心（三条高的交点） ，过 H，B，C三点作 O ，延长 ABC 的中线 AM 交O于 D 求证： AM MD A OO D C B P jMHABCD精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 练习 33 参考答案：1.过一边中点作底边的平行线，证它经过另一边中点2.以 CD为一边向形内作等边 E1CD ，证 E1AB E1BA 153.作ABC 的平分线，证它与BD重合4.取另一腰的中点，5.同 3，作 ABC的平分线，证它与BD重合6.延长 DE交 BC于 N，证明 N，是 BC的中点7.取 EH的中点 P， FG的中点 Q ， 则 PFMG 和 QHNE 都是平行四边形，PM 过 FG中点， QN 过 EH中点， M ，Q ，P，N是同一直线8.作等腰三角形 ABE1交 CD于 E1，证明 E1和 E是同一点。
9.过点 A作O的切线交 CB于 P1，证明这 P1B2BC 设 AD 2R ，可得 AC 3R，AB 2R，P1AB 这 P1CA ，APBP11CPAP113210. 延长 AM到 D，使 MD，AM ，证明点 D，在圆上即 B，H，C，D，四点共圆精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 。