磁场,微专题,15,磁场中的“动态圆”模型,模型一处理临界、极值问题的三种方法,动圆放缩,法,适用条件,粒子源发射速度方向一定，大小不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化,轨迹圆,圆心共线,如图所示,(,图中只画出粒子带正电的情景,),，速度,v,越大，运动半径也越大可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线,PP,上,界定方法,以入射点,P,为定点，圆心位于,PP,直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为,“,放缩圆,”,法,典例,1,(2024,南京三校期中,),如图所示，一对长平行栅极板水平放置，极板外存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为,B,的匀强磁场，极板与可调电源相连，正极板上,O,点处的粒子源垂直极板向上发射速度为,v,0,、带正电的粒子束，单个粒子的质量为,m,、电荷量为,q,，一足够长的挡板,OM,与正极板成,37,角倾斜放置，用于吸收打在其上的粒子，,C,、,P,是负极板上的两点，,C,点位于,O,点的正上方，,P,点处放置一粒子靶,(,忽略靶的大小,),，用于接收从上方打入的粒子，,CP,长度为,L,0,，忽略栅极的电场边缘效应、粒子间的相互作用及粒子所受重力，,sin 37,0.6.,(1),若粒子经电场加速一次后正好打在,P,点处的粒子靶上，求可调电源电压,U,0,的大小,(2),调整电压的大小，使粒子不能打在挡板,OM,上，求电压的最小值,U,min,.,【解析】,(1),从,O,点射出的粒子在板间被加速，,则,(2),当电压有最小值时，粒子穿过下方的正极板后，圆轨迹与挡板,OM,相切，此时粒子恰好不能打到挡板上，如图所示,从,O,点射出的粒子在板间被加速，则,粒子在负极板上方的磁场中做匀速圆周运动,(3),设上方半径为,r,，下方半径为,r,0,，如图所示,粒子上下运动,2,个半圆一次会向右平移,l,l,2,r,2,r,0,当粒子打到,P,点时，由几何关系可知,2,r,n,l,L,0,(,n,0,1,2,3,，,),解得,n,3.5,则取,n,0,、,1,、,2,、,3,共,4,种情况打到,P,点，故有,4,种能量的粒子,类题固法,1,1.,如图所示，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，,P,为磁场边界上的一点大量相同的带电粒子以相同的速率经过,P,点，在纸面内沿不同方向射入磁场若粒子射入速率为,v,1,，这些粒子在磁场边界的出射点分布在四分之一圆周上；若粒子射入速率为,v,2,，相应的出射点分布在三分之一圆周上不计重力及带电粒子之间的相互作用则,v,2,v,1,为,(,),D,2.,如图所示，正方形,abcd,区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，,O,点是,cd,边的中点，一个带正电的粒子,(,重力忽略不计,),若从,O,点沿纸面以垂直于,cd,边的速度射入正方形内，经过时间,t,0,刚好从,c,点射出磁场现设法使该带电粒子从,O,点沿纸面以与,Od,成,30,角的方向,(,如图中虚线所示,),，以各种不同的速率射入正方形内下列说法中错误的是,(,),A.,该带电粒子不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场,C.,若该带电粒子从,bc,边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是,t,0,D,模型二磁聚焦与磁发散,磁聚焦,大量同种带正电的粒子，速度大小相等，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等,(,R,r,),，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点,B,点射出,(,会聚,),证明：四边形,OAO,B,为菱形，必是平行四边形，对边平行，,OB,必平行于,AO,(,即竖直方向,),，可知从,A,点发出的带电粒子必然经过,B,点,磁,发散,有界圆形磁场的磁感应强度为,B,，圆心为,O,，从,P,点有大量质量为,m,、电荷量为,q,的正粒子，以大小相等的速度,v,沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行,(,发散,),证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心,O,、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，,O,1,A,、,O,2,B,、,O,3,C,均平行于,PO,，即出射速度方向相同,(,即水平方向,),(1),电子射入磁场时的速度大小,(2),电子打到屏,MN,上的长度,(3),电子从,O,点出发到返回磁场右边界的最短时间,【解析】,(1),当沿,y,轴正方向射入的电子能够垂直打到屏上，可得电子在磁场中的运动轨迹如图所示,由几何知识可得电子在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为,r,R,(2),电子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹的圆心分布在以,O,点为圆心，,R,为半径的圆上电子以任意速度方向射入磁场时，其在磁场中的运动轨迹如图所,示,O,OAB,为棱长为,R,的棱形，故,AB,始终竖直，所以所有电子离开磁场时的速度方向都为水平向右当一电子以与,x,轴成,方向射入磁场，如图所示,其水平射出磁场后打在,MN,屏的纵坐标为,y,R,R,cos,故当,30,时，电子打在,MN,屏的最低点，代入得,当,150,时，电子打在,MN,屏的最高点，代入得,(3),当电子从,O,点到返回磁场右边界的轨迹路程最短时，电子从,O,点出发到返回磁场右边界的时间最短当一电子以与,x,轴成,方向射入磁场到返回到磁场右边界的路程为,对上式求导得,s,R,2,R,cos,故电子从,O,点出发到返回磁场右边界的最短时间,类题固法,2,(1),求圆形区域中磁感应强度,B,的大小,.,【解析】,(1),一个质量为,m,的一价正离子从离子源飘入电场，最后恰好打在,P,点，根据几何关系可知离子圆周运动的轨道半径,r,1,R,由几何关系可知,90,令加速电场电压波动后为,U,1,，由动能定理有,可知，质量,M,为,km,的离子，对应角度,同理，当质量,M,为,(,k,1),m,的离子，对应角度,其中,U,U,U,1,U,U,配套精练,一、,选择题,A.,各离子飞出磁场的速度一定相同,B.,沿,PQ,方向射入的离子运动的轨道半径最长,C.,沿,PQ,方向射入的离子飞出时偏转角最大,D.,在,Q,点飞出的离子在磁场中运动的时间最长,D,2.,(2024,如皋高三期中质量调研,),在,xOy,平面的,0,x,a,的区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，速率相等的大量电子从原点,O,均匀发射到第一象限内，从磁场右边界射出的电子数占电子总数的三分之二，不计电子间相互作用，则电子在磁场中的临界轨迹可能正确的是,(,),D,A.,一定带负电,C.,初速度为,2,v,时，在磁场中运动的时间变短,D.,射入磁场的速度足够大，能从,bc,边的中点射出,B,4.,如图所示，直角三角形,ABC,区域内有磁感应强度大小为,B,，方向垂直纸面向外的匀强磁场，置于,A,点的粒子源能沿,AC,方向向磁场内同时发射比荷相同但速率不同的带正电粒子,.,已知刚好从,B,点射出磁场的粒子在磁场中的运动时间为,t,，,CAB,30,，,AB,L,，不计粒子间的相互作用及重力，下列说法中错误的是,(,),B.,从,AB,边不同位置射出磁场的粒子，运动时间相同,D.,从,BC,边射出的粒子,(,不含,B,点,),，在磁场中的运动时间将大于,t,D,D.,所有从,AC,边射出的电子中，当,30,时，所用的时间最短,B,二、,计算题,6.,(2024,高邮期中,)1897,年，汤姆逊利用电磁偏转的方法，测量了电子的荷质比,.20,世纪初，考夫曼用磁聚焦法也测量出粒子的荷质比，并且该实验还是狭义相对基础实验之一如图所示为磁聚焦法简化原理图电子从电子枪,K,出发，初速度为零虽然由于各种原因在,Q,处会出现散开一个角度，但可以认为经过加速电场,MN,的做功，所有电子均获得相同的轴向速度如图方向的磁场作用下，电子将做螺旋运动，重新会聚在另一点这种发散粒子束会聚到一点的现象与透镜将光束聚焦现象十分相似，因此叫磁聚焦已知加速电压为,U,，磁感应强度为,B,，,Q,处角度为,2,，电子的轴向速度为,v,0,，不计重力以及电子之间的相互作用，求：,(1),电子的比荷,k,.,(2),在磁场中相邻两个会聚点的距离,【解析】,(1),电子经过加速电场加速，由动能定理可得,轴上两个会聚点的距离为,l,，则,l,v,0,T,(1),磁场变化的周期,T,0,.,(2),粒子从,x,轴射出的区域宽度,d,以及从第一象限射出的粒子在磁场中运动的最长时间,t,m,.,如图,2,所示，某时刻进入磁场的粒子恰好从,x,轴上,F,点离开磁场区域，,EF,为粒子从,x,轴射出区域范围,所以粒子在磁场变化的半个周期内圆周运动的圆心角为,240.,由于磁场变化，,240,150(,A,B,),范围内的粒子从,x,轴射出,.120,0(,B,O,),范围内的粒子从,y,轴射出，所以从,x,轴和,y,轴射出的粒子数之比为,90,120,3,4.,谢谢观赏,。