等腰三角形一个判定方法的证明及应用 等腰三角形具有“三线合一”的性质: 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合. 如图l，在中，是上一点. (1)如果，那么; (2)如果,那么,;(3)如果，那么,. 图1 上述性质中，共存在4个关系式:.而改写后的每条性质都有两个条件，且都有一个条件是“”. 反过来，在关系式中，如果其中某两条成立，那么能否得到？ 这是一个很有意义的话题，为了便于思考，现将它们罗列如下: 命题 在中，是上一点， (1)如果，那么; (2)如果，那么; (3)如果，那么. 以上三个命题中，命题(1)可表述为:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.证明简单. 命题(2)可通过≌证明. 而命题(3)用文字语言表达就是: 如果三角形一个角的平分线又是其对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形. 这是一个判定等腰三角形方法的真命题，它有多种证法，而且这些证法几乎贯穿于整个初中阶段的几何学习.本文着重研究这个判定方法的证明及应用. 一、证明 证法1 作 // ，交延长线于点(如图2)，则. 在和中， ，≌. 图2 证法2 作//,//，分别交于点(如图3)，则在和中, ≌..图3 证法3 作，垂足分别为(如图4). 在和中， ,,≌,.图4证法4 作，垂足分别为(如图4).证法5 用反证法，假设>.在上取一点，使，连结(如图5).在和中，,≌,, 这与矛盾，假设>不成立.同理，<也不成立.. 图5证法6 延长到点，使，连结(如图6).四边形是平行四边形，∥ . 图6证法7 作中点，连结(如图7).是的中位线，∥.图7证法8 作的外接圆，延长交圆于点，连结( 如图8). 图8二、应用例1 如图9，在中,平分，求证:四边形是菱形.证明 连结，交于点，则.由于平分,由命题(3)，得，是菱形.图9例2 已知:如图l0,是的角平分线，是中点，在上，且,求证:. 证明 取的中点，连结..点是线段的三等分点， 图10是的中点，∥,亦即∥,∽，，,即点是的中点.平分 ,.例3 已知:如图11 , 中，是的三等分线，求证:点不可能同时是边的三等分点. 图11证明 假设点同时是线段的三等分点，则.是的三等分线，.由命题(3)，得,.两式相减，得,.再由，立得，这与条件矛盾.假设不成立，点不可能同时是线段的三等分点.。