《2017-2018学年高中数学 第三章 变化率与导数 1 变化的快慢与变化率学案 北师大版选修1-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学 第三章 变化率与导数 1 变化的快慢与变化率学案 北师大版选修1-1（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 变化的快慢与变化率 平均变化率某病人吃完退烧药，他的体温变化如下：x(min)0102030405060y()3938.738.53837.637.336.8问题1：试比较时间x从0 min到20 min和从20 min到30 min体温变化情况，哪段时间体温变化较快？提示：从20 min到30 min变化快问题2：如何刻画体温变化的快慢？提示：用平均变化率问题3：平均变化率一定为正值吗？提示：不一定可正，可负，可为零平均变化率(1)定义：对一般的函数yf(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率为.其中自变量的变化x2x1称作自变量的改变量，
2、记作x，函数值的变化f(x2)f(x1)称作函数值的改变量，记作y.这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即.(2)作用：刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢.瞬时变化率王先生于近日接到了一份交通违规处罚单，原因是上月某周日在一限速70 km/h的路段超速行驶王先生正上初中的儿子说：“一定是交警叔叔搞错了，那段路正好长60 km，我们用了一个小时，您当时还问我这段路我们的平均速度呢！”问题1：限速70 km/h是指的平均速度不超过70 km/h吗？提示：不是，是指瞬时速度问题2：瞬时速度与平均速度有何区别？提示：瞬时速度刻画的是物体在某一时刻运动的快慢；平均速
3、度刻画的是物体在一段时间内运动的快慢问题3：王先生在该路段平均速度为60 km/h，是否可能超速行驶？提示：有可能瞬时变化率(1)定义：对于一般的函数yf(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，设xx1x0，yf(x1)f(x0)，则函数的平均变化率是.而当x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率(2)作用：刻画函数在一点处变化的快慢1.为平均变化率，其中x可正、可负，不能为零2瞬时变化率的实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于0时的值 求平均变化率例1求函数yx3在x0到x0x之间的平均变化率，并计算当x01，x时平均变化率的值思路点拨直接利用定义求平均变化率，先求出表达式，再
4、代入数据，就可以求出相应平均变化率的值精解详析yf(x0x)f(x0)(x0x)3x3xx3x0(x)2(x)3，函数yx3在x0到x0x之间的平均变化率为：3x3x0x(x)2.当x01，x时，平均变化率的值为31231()2.一点通求平均变化率的步骤是：(1)先计算函数值的改变量yf(x1)f(x0)；(2)再计算自变量的改变量xx1x0；(3)求平均变化率.1在平均变化率的定义中，自变量的增量x满足()Ax0Bx0Cx0 Dx0答案：C2一物体的运动方程是s3t2，则在一小段时间2,2.1内相应的平均速度为()A0.41B3C4D4.1解析：4.1.答案：D3求函数yf(x)2x25在区
5、间2,2x内的平均变化率解：yf(2x)f(2)2(2x)25(2225)8x2(x)2，82x.即平均变化率为82x.求瞬时变化率例2以初速度v0(v00)竖直上抛的物体，t s时的高度s与t的函数关系为sv0tgt2，求物体在时刻t0处的瞬时速度思路点拨本题可先求物体在t0到t0t之间的平均速度，然后求当t趋于0时的瞬时速度精解详析sv0(t0t)g(t0t)2(v0gt0)tg(t)2，v0gt0gt.当t趋于0时，趋于v0gt0，故物体在时刻t0处的瞬时速度为v0gt0.一点通求函数yf(x)在x0处的瞬时变化率，可以先求函数yf(x)在x0到x0x处的平均变化率，再求当x趋于0时平均
6、变化率的值，即为函数yf(x)在x0处的瞬时变化率4一个物体的运动方程为s1t，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是()A1米/秒 B1米/秒C2米/秒 D2米/秒解析：由1，得物体在3秒末的瞬时速度是1米/秒答案：B5求函数f(x)x23在x1处的瞬时变化率解：yf(1x)f(1)(1x)23(123)(x)22x22(x)22x，x2.当x趋于0时，趋于2.所以函数yx23在x1时的瞬时变化率为2.1平均变化率刻画的是函数值在区间x0，x0x上变化的快慢2瞬时变化率刻画的是函数值在某时刻变化的快慢3x趋于0时平均变化率就趋近于函数在某点处的瞬时变化率 1在曲线yx2
7、1上取一点(1,2)及邻近一点(1x，2y)，则()AxBx2Cx2 D2x解析：yf(1x)f(1)(1x)21(121)(x)22x，x2.答案：C2某质点的运动规律为st23，则在时间段(3,3t)内的平均速度等于()A6t B6tC3t D9t解析：6t.答案：A3一块木头沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系式为st2，则t2时，此木头在水平方向的瞬时速度为()A2 B1C. D.解析：因为s(2t)222t(t)2，所以t，当t趋于0时，t趋于，因此t2时，木块在水平方向瞬时速度为. 答案：C4水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的
8、容器中，按顺序与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像相对应的一项是()A BC D解析：以第二个容器为例，由于容器上细下粗，所以水以恒速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快，反映在图像上，符合上述变化情况而第三个容器在开始时高度增加快，后来时高度增加慢，图像适合上述变化情况故应选C.答案：C5函数f(x)ln x1从e到e2的平均变化率为_解析：yf(e2)f(e)(ln e21)(ln e1)1，xe2e，.答案：6质点的运动方程是s(t)，则质点在t2时的速度为_解析：，当t趋于0时，.答案：7设某跳水运动员跳水时，相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单
9、位：s)的函数关系为h(t)5t26t10.(1)求该运动员从时间t1到时间t3的平均速度；(2)求该运动员在时间t1处的瞬时速度解：(1)由h(t)5t26t10，得该运动员从时间t1到时间t3的平均速度：14.故该运动员从时间t1到时间t3的平均速度为14 m/s；(2)5t4，当t趋于0时，趋于4，即该运动员在时间t1处的瞬时速度为4 m/s.8若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：s)s求：(1)物体在t3,5内的平均速度；(2)物体的初速度v0；(3)物体在t1时的瞬时速度解：(1)物体在t3,5内的时间变化量为t532，物体在t3,5内的位移变化量为s3522(3322)3(5232)48，物体在t3,5上的平均速度为24(m/s)(2)求物休的初速度v0即求物体在t0的瞬时速度.物体在t0附近的平均变化率为3t18，当t趋于0时，趋于18，即物体的初速度为18 m/s.(3)物体在t1时瞬时速度即为函数在t1处的瞬时变化率物体在t1附近的平均变化率为3t12.当t趋于0时，趋于12，即物体在t1时的瞬时速度为12 m/s.7
