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1、第六节对数与对数函数2019考纲考题考情1对数的概念(1)对数的定义如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。(2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a0，且a1)logaN常用对数底数为10lgN自然对数底数为elnN2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质alogaNN(a0且a1，N0)。logaaNN(a0，且a1)。(2)对数的重要公式换底公式：logbN(a，b均大于零，且不等于1，N0)。logab，推广logablogbclogcdlogad。(3)对数的运算法则如果a0，且a1，M0，N0，那么l
2、oga(MN)logaMlogaN。logalogaMlogaN。logaMnnlogaM(nR)。logamMnlogaM(m，nR)。3对数函数的图象与性质4.yax与ylogax(a0，a1)的关系指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数，它们的图象关于直线yx对称。1指数与对数的等价关系：axNxlogaN。2换底公式的三个重要结论(1)logab；(2)logambnlogab；(3)logablogbclogcdlogad。3对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数。故0cd1abcBacbCcbaDcab解析因为0a1，
3、b1。所以cab。故选D。答案D二、走近高考3(2018全国卷)下列函数中，其图象与函数ylnx的图象关于直线x1对称的是()Ayln(1x)Byln(2x)Cyln(1x)Dyln(2x)解析ylnx图象上的点P(1,0)关于直线x1的对称点是它本身，则点P在ylnx图象关于直线x1对称的图象上，结合选项可知，B项正确。故选B。解析：设Q(x，y)是所求函数图象上任一点，则其关于直线x1的对称点P(2x，y)在函数ylnx图象上，所以yln(2x)。故选B。答案B4(2018全国卷)已知函数f(x) log2(x2a)，若f(3)1，则a_。解析根据题意有f(3)log2(9a)1，可得9a
4、2，所以a7。答案7三、走出误区微提醒：对数的运算性质不熟致误；对数函数的图象特征不熟致误；忽视对底数的讨论致误。5有下列结论：lg(lg10)0；lg(lne)0；若lgx1，则x10；若log22x，则x1；若logmnlog3m2，则n9。其中正确结论的序号是_。解析lg101，则lg(lg10)lg10；lg(lne)lg10；底的对数等于1，则x10；底的对数等于1；logmn，log3m，则2，即log3n2，故n9。答案6已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，且a1)的图象如图，则下列结论成立的是()Aa1，c1Ba1,0c1C0a1D0a1,0c1解析由题图可知，
5、函数在定义域内为减函数，所以0a0，即logac0，所以0c0，a1)在2,4上的最大值与最小值的差是1，则a_。解析分两种情况讨论：当a1时，有loga4loga21，解得a2；当0a2N0。由2loga(M2N)logaMlogaN，得loga(M2N)2loga(MN)，所以(M2N)2MN，所以M25MN4N20，即(M4N)(MN)0，所以M4N或MN(舍去)，所以4。(2)由2a5b10可得a，b，所以2(lg2lg5)2，所以2。答案(1)4(2)21对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因此经常会用到换底公式及其推论，在对含有字母的对数式进行化简时，必须保证恒等变形。2利用对
6、数运算法则，在真数的积、商、幂与对数的和、差、倍之间进行转化，需注意真数大于0。 【变式训练】(1)求值：_。(2)设函数f(x)3x9x，则f(log32)_。解析(1)原式。答案(1)(2)6考点二 对数函数的图象及应用【例2】(1)若函数ya|x|(a0，且a1)的值域为y|y1，则函数yloga|x|的图象大致是() ABCD(2)设实数a，b，c分别满足2a3a2，blog2b1，clog5c1，则a，b，c的大小关系为()AabcBbacCcbaDacb解析(1)由于ya|x|的值域为y|y1，所以a1，则ylogax在(0，)上是增函数，又函数yloga|x|的图象关于y轴对称。
7、因此yloga|x|的图象应大致为选项B。(2)令f(x)2x3x2，则f(x)在R上单调递增，且f(0)f(1)2120，即a(0,1)。在同一坐标系中作出y，ylog2x，ylog5x的图象，由图象得1bba。故选C。答案(1)B(2)C1在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项。2一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解。 【变式训练】(1)函数f(x)loga|x|1(0a0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x1。答案(1)A(2)(1，)考点三 对数函
8、数的性质及应用微点小专题方向1：比较对数值的大小【例3】(2018天津高考)已知alog3，b，clog，则a，b，c的大小关系为()AabcBbacCcbaDcab解析loglog3151log35，因为函数ylog3x为增函数，所以log35log3log331，因为函数yx为减函数，所以ab。故选D。答案D对数值的大小比较方法：化为同底的对数后利用函数的单调性比较；利用作差或作商法比较；利用中间值(0或1)比较；化为同真数的对数后利用图象比较。 方向2：解不等式【例4】(1)已知函数f(x)为奇函数，当x0时，f(x)log3x，则满足不等式f(x)0的x的取值范围是_。(2)设函数f(
9、x)若f(a)0的x的取值范围是(1，0)(1，)。答案(1)(1,0)(1，)(2)(，1)(0,1)解此类不等式的关键是利用函数的单调性脱去函数符号“f”，变原函数不等式为对数不等式，再把对数不等式化为同底的对数不等式，再利用对数函数的单调性进行求解。 方向3：对数性质的综合应用【例5】已知函数f(x)log4(ax22x3)。(1)若f(1)1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。解(1)因为f(1)1，所以log4(a5)1，因此a54，即a1，这时f(x)log4(x22x3)。由x22x30，得1x3，即函数f
10、(x)的定义域为(1,3)。令g(x)x22x3，则g(x)在(1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减。又ylog4x在(0，)上单调递增，所以f(x)的单调递增区间是(1,1)，单调递减区间是(1,3)。(2)假设存在实数a，使f(x)的最小值为0，则h(x)ax22x3应有最小值1，因此应有解得a。故存在实数a，使f(x)的最小值为0。利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的。 【题点对应练】1(方向1)设alog2
11、，be，cln，则()AcabBacbCabcDbac解析易知a0,0b1。故abc。故选C。答案C2(方向2)若loga1时，函数ylogax在(0，)上为增函数，所以logalogaa1总成立。当0a1时，函数ylogax在(0，)上是减函数，由logalogaa得a，所以0a。综上，实数a的取值范围是(1，)。答案(1，)3(方向3)已知函数f(x)log (x22x3)，规定区间E，对任意x1，x2E，当x1x2时，总有f(x1)0，得x3或x1，若x1时，当x增大时，x22x3减小，f(x)log (x22x3)增大，即(，1)为函数f(x)log (x22x3)的单调递增区间，而(3，1
