《工程力学基础 教学课件 ppt 作者 徐博侯 第9章 弹性杆件的拉格朗日方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《工程力学基础 教学课件 ppt 作者 徐博侯 第9章 弹性杆件的拉格朗日方程（74页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2. 讨论的为连续系统，“下标”变量可以取连续值。 3. 运用微积分中的分割求和求极限的方法，将拉格朗日方程由有限自由度系统推广到连续系统即无限自由度的系统上去。,1. 第8章介绍了有限自由度的拉格朗日方程，本章将介绍无限自由度的力学问题。,本章讨论的内容与第8章的变化：,第9章 弹性杆件的拉格朗日方程,9.1 连续系统的拉格朗日方程,9.1.1 直杆的纵向运动,杆的纵向运动:,将杆近似为 质量一弹簧系统,计算该系统的拉格朗日函数 动能 势能分成两部分： 质点间弹簧的势能 外力势能,第9章,9.1 连续系统的 拉方程,该离散系统的拉格朗日函数为,由第二类拉格朗日方程可得,由x=0处边界条件可得
2、,(9.1),(9.2),第9章,9.1 连续系统的 拉方程,当 时，式(9.1)和(9.2)有,式中,上式代入式（9.1）和式（9.2）,（9.4）中第一式为杆的纵向运动方程, 第二式为x=a处所需满足的条件。,(9.3),(9.4),第9章,9.1 连续系统的 拉方程,式(9.4)通称为拉格朗日函数(9.3)的第二类拉格朗日方程。 由x=0处条件可得 及初值条件 这样式(9.4),式(9.5)和式(9.6)构成直杆纵向运动的完整的定解问题。,(9.5),(9.6),第9章,9.1 连续系统的 拉方程,连续系统的拉格朗日函数式(9.3)可以写为 T 表示动能 V 表示势能,所以对连续系统来说
3、，可以直接从式（9.7）求得系统的拉格朗日函数L 。问题是：如何利用式（9.7），直接导得连续系统的第二类拉格朗日方程（式（9.4）?,(9.7),第9章,9.1 连续系统的 拉方程,将第二类拉格朗日方程(式(8.20)写成等价的变分形式,(9.8）,(9.9),第9章,9.1 连续系统的 拉方程,现在考虑连续系统。 将式(9.3)写成 式中 称为系统的拉格朗日密度函数，从而 相当于式(9.9)中的 。,第9章,9.1 连续系统的 拉方程,假定式(9.9)对连续系统也成立，则可接导出第二类拉格朗日方程,(9.10),第9章,9.1 连续系统的 拉方程,将积分号下的被积函数 中的 均看成是 的函
4、数，从而 这样式中的 同理 类似地，,第9章,9.1 连续系统的 拉方程,代入式(9.10)得,由 在(0, l)上的任意性，立即得到 在 x=a 上的任意性,第9章,9.1 连续系统的 拉方程,从以上可以得到两点重要结论： (1)连续系统的拉格朗日函数可以表示成动能和势能的差； (2)连续系统的第二类拉格朗日方程，可以从与其等价的变分形式 出发导出，式中l是拉格朗日密度函数。,(9.11),第9章,9.1 连续系统的 拉方程,9.1.2 杆的横向运动 考虑欧拉贝努利梁。对于梁的位移 引入如下的假定： (1)梁的中心线上点只有横向运动，从而可 以用挠度函数 来描述； (2)在变形或运动中，垂直
5、于粱中心线的平 面只有刚体运动：即只有沿横向运动的平 动和绕中心的转动，并且转角 。,第9章,9.1 连续系统的 拉方程,在 x=a 处固定，x=0 处作用已知弯矩 和剪力 ；沿着梁的轴线作用密度为 分布力。 由寇尼格定理，长度为a 的梁的动能为 A为横截面积，I为截面关于中心线 z =0 的惯性矩。A , I假定为常数。,按照上述假定，可以计算梁的动能和势能。假定考虑的梁如图所示：,第9章,9.1 连续系统的 拉方程,势能分为两部分，杆的应变能 和外力势能 ： 这里 忽略了剪切应变能，只考虑弯曲应变能，拉格朗日 函数为 这里 l 为拉格朗日密度函数 B为与边界有关力的势能值(负值） 式中,(
6、9.12),第9章,9.1 连续系统的 拉方程,设想将连续系统离散化， 用 在 x 方向的差商来代替，则与式(9.9)相当的连续系统的拉格朗日方程的变分形式为 用式(9.13)推导梁横向运动的第二类拉格朗日方程,(9.13),(9.14),第9章,9.1 连续系统的 拉方程,所以运动方程为 边界条件可从下列方程得到,(9.15),(9.16),第9章,9.1 连续系统的 拉方程,方程式(9.15)和式(9.16)具有相当的普遍性，可以包括满足欧拉贝努利假定的各种情况。对于本段一开始提出的问题，把式(9.12)代入式(9.15)和式(9.16)，即得 再加上 x = l 处的边界条件 和相应的初
7、值条件，则构成梁振动的完整的定解问题。,(9.17),(9.18),第9章,9.1 连续系统的 拉方程,9.1.3 连续系统的小结 直接由连续系统的拉格朗日函数求得第二类拉格朗日方程，具体做法： (1)选择广义位移函数。 (2)写出拉格朗日函数。 (3)根据拉格朗日密度函数直接写出拉格朗日方 程的变分形式。,第9章,9.1 连续系统的 拉方程,例9.1 若某杆件 的拉格朗日密度函数具有下列形式 这里 是彼此独立的广义位移。写出相 应的拉格朗日方程的变分形式。 解：与时间导数有关的项为 所以相应的拉格朗日方程的变分形式为,第9章,9.1 连续系统的 拉方程,(4)从拉格朗日方程的变分形式导出第二
8、类拉格朗日方程。 (5)第二类拉格朗日方程所代表的意义第二类拉格朗日方程包括两部分：控制方程(动力学方程)和边界条件，代表某一个广义力的平衡。,第9章,9.1 连续系统的 拉方程,例9.2 为了考虑粱的剪切效应,我们在欧拉一贝努利的假定中修改一点，即直法线在变形后仍是直线，但不一定是变形后中心线的法线。这一假定使得法线的转角 与 是独立的。 推导如图所示梁的第二类拉格朗日方程，假定梁的弯曲刚度为EI，剪切刚度为GA，当 时，弹簧k刚好处在自然状态。,第9章,9.1 连续系统的 拉方程,解： 先计算拉格朗日函数L： 所以,第9章,9.1 连续系统的 拉方程,从而,第9章,9.1 连续系统的 拉方
9、程,= 0,所以 再加上 和四个初始条件，则构成完整的定解问题。,(9.19),(9.20),第9章,9.1 连续系统的 拉方程,9.2 弹性杆件的最小势能原理,当考虑与时间无关的静力平衡问题时，拉格朗日方程变分形式变成 即真实的变形使得势能取驻值，这里推广 到了连续系统。 9.2.1 杆件变形的拉格朗日函数 杆件的基本变形可以分为三类：拉伸(压缩)，扭转和弯曲。假定杆的轴向为 x ,横截面的两个主方向为 y 和 z, 可得杆的应变能为 这里忽略了由横力弯曲引起的剪力应变能。在选取的坐标系下， 和 引起的 应 变能彼此是不耦合的。,(9.21),由式( 4.44 ) 可得 将式(9.22)代入
10、式(5.58)，则,(9.22),(9.23),第9章,9.1 连续系统的 拉方程,9.2 弹性力学 最小势能原理,外力势能 的计算： 对于已知外力均可用式(8.22)计算外力势能。如图所示,杆上作用已知分布的轴向力 p(x) , y 方向和 z方向的横向力 和 ,分布的轴向扭转力偶 。 则,(9.24),如图所示，在杆的 上分别 作用有集中轴力 ，横向力 和 ，扭转 力偶 ，则 若外力为弹性力，则应将弹性变形能作为外力势能 可得 到总势能。,(9.25),(9.26),第9章,9.1 连续系统的 拉方程,9.2 弹性力学 最小势能原理,9.2.2 最小势能原理 在小变形和线性弹性的假定下，杆
11、或杆系的真实变形总是使得系统的总势能取严格最小值。 杆的总势能为 当上述广义位移增加虚位移后，杆的总势能为,(9.27),第9章,9.1 连续系统的 拉方程,9.2 弹性力学 最小势能原理,假若没有外施的弹簧力 是由已知外力引起的势能，为线性项。将上式代入式(9.27)可得 显然 。当杆件平衡时 得 证明了杆平衡时，总势能取最小值。,(9.28),第9章,9.1 连续系统的 拉方程,9.2 弹性力学 最小势能原理,再证上式中等号成立的必要条件为 从式(9.28)可知，要使 成立的必要条件为 或,(9.29),(9.30),第9章,9.1 连续系统的 拉方程,9.2 弹性力学 最小势能原理,如果
12、杆本身已没有刚体的自由位移，譬如已消除轴向自由移动，则 同理可得 若已消除刚体绕 z 轴的自由转动，则 同理可得 综上所述，若杆件没有刚体的自由位移，式(9.29)是使得 成立的必要条件。,关于最小势能原理的说明： (1) 如果存在外施弹簧力，原理的结论仍然成立。 (2) 前面考虑的杆弯曲变形满足欧拉贝努利梁的假定。 对于其他梁的假定，最小势能原理也成立。由例9.2得,(9.32),第9章,9.1 连续系统的 拉方程,9.2 弹性力学 最小势能原理,(3)以上对一根杆的情形证明了最小势能原理，这一结果很容易被推广到杆系的情形。 (4)杆或杆系的最小势能原理是更广泛的弹性力学最小势能原理的一个特
13、例。 (5)从最小势能原理出发，可以给出一种称为直接法的近似求解方法，如里兹法，当里兹法中的子集用分块插值函数集合表示，就成了有限元法,例9.3 用最小势能原理求解，如图所示，设1,2杆抗拉强度相等，求A点的位移。 解：利用对称性，设 为广义位移，则 由杆的伸长与所受拉力之间的关系式 每根杆的应变能为,所以系统的总势能,由 可解得,第9章,9.1 连续系统的 拉方程,9.2 弹性力学 最小势能原理,例9.4 用最小势能原理求如图所示的梁 的挠度曲线及右端弹簧力。 解：该梁的总势能为 这里 。由 可以得到挠度曲线 满足的方程，x = l的两个边界条件和 x = a 的连接条件。,解得弹簧力和挠度
14、曲线为,(a),(b),(c),第9章,9.1 连续系统的 拉方程,9.2 弹性力学 最小势能原理,现在用直接法由式(a)直接求得有关结果。 考虑到 ，设 将式(d)代入式(a)得 由 可得,解得,(d),所以,将式（e）与式（c）比较 ，两者不完全相同，但可将式（e）作为式（c）的近似解；式（b）和式（f）则是完全相同的。,(e),(f),第9章,9.1 连续系统的 拉方程,9.2 弹性力学 最小势能原理,若记 是应变能， 是外力所做的功的负值，则由 ,可得 令 时， ，则 即 说明应变能等于外力所做的功。,(9.33),(9.34),第9章,9.1 连续系统的 拉方程,9.2 弹性力学 最
15、小势能原理,例9.5 求如图所示的圆柱形密圈螺旋弹簧 的变形。假定簧丝的直径 d 远小于弹簧的 平均直径D , 从而可以不计簧丝的曲率。此 外，设螺旋角 很小，弹簧共有n 圈。 解：先计算弹簧应变能。弹簧分成两部分， 从而 积分号下第一项为剪切应变能，第二项为扭转应变能。,得,第9章,9.1 连续系统的 拉方程,9.2 弹性力学 最小势能原理,假定外力由零缓慢增加到 ，同时弹簧的压缩量从零至 。 由于问题是线性的，所以 和 之间成正比关系，外的功为 由式(9.34)可得 ，从而解得 即弹簧的刚度系数为,例 9.6 如图所示的直角折杆，假定一端固定, 另一端作用一力 ，垂直于折杆所在平面，此外在长杆段的中点B 有一简支。求自由端 D 的挠度，假定各段杆的弯曲刚度和扭转刚度均为 EI 和 。,第9章,9.1 连续系统的 拉方程,9.2 弹性力学 最小势能原理,解：取坐标系如图所示。设 AB, BC 和 CD 上的挠度函数为 ，而 AB , BC 上的扭转函数为 , 则总应变能为(忽略剪切应变能) 外力 的势能为,第9章,9.1 连续系统的 拉方程,9.2 弹性力学 最小势能原理,根据约束和连接条件： A点： B点：
