《线性代数 教学课件 ppt 作者 青岛科技大学数学系 编第四章 相似矩阵》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数 教学课件 ppt 作者 青岛科技大学数学系 编第四章 相似矩阵（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四章 相似矩阵,线性代数,矩阵的特征值与特征向量,2,相似矩阵与矩阵的对角化,3,向量的内积、长度及正交性,1,第四章 相似矩阵,实对称矩阵的对角化,4,1 向量的内积、长度及正交性,1,2,内 积,向量的模长和夹角,3,正交向量组和正交化方法,1.1 内积,定义1 对于n维向量 , ， 定义 （1） 称 为向量 的内积.,1.1 内积,性质1 性质2 性质3 性质4 当 时, ； 时,1.2 向量的模长和夹角,定义2 对于n维向量 , 称实数 为向量 的模长.记为 ，即,1.3 正交向量组和正交化方法,定义3 对n维向量 如果 则称向量 与 正交. 定义4 如果一组非零向量两两正交，则称这
2、组向量为正交向量组.,1.3 正交向量组和正交化方法,例1 已知 中两个向量 , 正交,试求一个非零向量 ,使 为正交向量组. 解 设 ,由 ,得方程组 解得 从而有基础解系 .取 ，则 为所求正交向量组.,1.3 正交向量组和正交化方法,定理1 若n维向量组 是正交向量组, 则该向量组线性无关 定义5 如果一个正交向量组中每个向量都是单位向量,则称该向量组为单位正交向量组,简称单位正交组.,1.3 正交向量组和正交化方法,例2 用Schmidt单位正交化方法,试求与已知向量组 , , 等价的单位正交向量组. 解 先正交化. 取 ,1.3 正交向量组和正交化方法,1.3 正交向量组和正交化方法
3、,定义6 如果n阶方阵A满足 , 则称A为一个n阶正交矩阵 例如 都是正交矩阵 正交矩阵具有如下性质： (1) 若A是正交矩阵,则-A也是正交矩阵； (2) 若A是正交矩阵,则 也是正交矩阵； (3) 若A,B都是n阶正交矩阵,则AB也是n阶正交矩阵； (4) 若A是正交矩阵,则,1.3 正交向量组和正交化方法,定理2 A是n阶正交矩阵的充分必要条件是A的列向量组是单位正交向量组. 定义7 若P为正交矩阵，则线性变换Y=PX称为正交变换. 对于正交变换Y=PX,有,矩阵的特征值与特征向量,1,2,特征值与特征向量的概念,特征值与特征向量的求法,3,矩阵的特征值与特征向量的性质,2.1 特征值与
4、特征向量的概念,定义1 设A是n阶方阵, 若存在数 和非零向量 ，使得 成立，则称 为 的一个特征值， 为A的属于特征值 的一个特征向量,2.1 特征值与特征向量的概念,例1 已知 是方阵 的特征向量， 试确定参数 a,b,并求向量 所对应的值特征 . 解 由 ,得 于是 所以,2.1 特征值与特征向量的概念,例2 设 是方阵A的值特征，证明 (1) 是 的一个值特征； (2)当A可逆时， 是 的一个值特征.,2.1 特征值与特征向量的概念,证明 因 是方阵A的特征值，故有向量 使得 . 于是 (1) 所以 是 的一个特征值. (2) 当A可逆时,由 ,有 因 ,知 ,故 .所以 是 的特征值
5、.,2.1 特征值与特征向量的概念,例3 设 是方阵A的一个特征值，证明 (1) 若 是A的属于特征值 的一个特征向量,则对任意常数 向量 也是矩阵A的属于特征值 的特征向量 (2) 若 均为A的属于特征值 的特征向量, 且 则 也是矩阵A的属于特征值 的特征向量.,2.1 特征值与特征向量的概念,证明 (1) 若 ,则 即向量 也是矩阵A的属于特征值 的特征向量. (2) 若 则 即 也是矩阵A的属于特征值 的特征向量.,2.2 特征值与特征向量的求法,设 为n阶方阵，为求A的特征值和特征向量， 将 改写为 (1) (2),2.2 特征值与特征向量的求法,例4 求矩阵 的特征值与特征向量 解
6、 矩阵A的特征多项式为 由 得基础解系 所以，A的属于特征值 的全部特征向量为 ( 为不等于零的任意常数).,2.2 特征值与特征向量的求法,例5 求矩阵 的特征值与特征向量 解 矩A的特征多项式 由 得基础解系 , .所以,A的属于特征值 的全部特征向量为 ( 是不同时为零的任意常数).,2.3 矩阵的特征值与特征向量的性质,定理1 设 是方阵A的m个特征值， 依次是与之对应的特征向量，如果 各不相等，则 线性无关.,2.3 矩阵的特征值与特征向量的性质,定理2 设A为n阶方阵， 是A的m个互不相同的特征值, 是A的对应于特征值 的线性无关的特征向量组，那么向量组 线性无关.,2.3 矩阵的
7、特征值与特征向量的性质,定理3 设n阶方阵A的特征值为 则 (1) (2),2.3 矩阵的特征值与特征向量的性质,例6 设3阶方阵A的特征值为 求 解 设 , 则 的特征值为 由定理3中的(2)知,相似矩阵与矩阵的对角化,1,2,相似矩阵,矩阵的对角化,3.1 相似矩阵,定义1 设A和B都是n阶方阵，若有可逆矩阵P使得 则称矩阵A与B相似, 记作 矩阵间的相互关系具有下列性质 设A,B,C都是n阶方阵，则 (1) 自反性： (2) 对称性： ，则 (3) 传递性： ，则,3.1 相似矩阵,定理1 对于n阶方阵A和B，若 ，则 定理2 对于n阶矩阵A和B，若 ，则 定理3 相似矩阵有相同的特征多
8、项式和完全相同的特征值. 推论1 若n阶矩阵A与对角阵 相似，则 即是A的n个特征值.,3.2 矩阵的对角化,定理4 n阶矩阵A可以对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量. 推论2 如果n阶方阵A的n个特征值互不相等，则A可以对角化. 定理5 设 是n阶矩阵A的k重特征值，则A的属于 的线性无关的特征向量至多有k个.,3.2 矩阵的对角化,例1 设 ，问x为何值时，矩阵A可以对角化？ 并求可逆矩阵P,使 解 矩阵A的特征多项式为 故A的特征值为,3.2 矩阵的对角化,令 , 则P可逆，并有,4 实对称矩阵的对角化,1,2,实对称矩阵的特征值与特征向量,实对称矩阵的对角化,4.1 实对
9、称矩阵的特征值与特征向量,定理1 实对称矩阵的特征值都是实数. 定理2 设 是实对称矩阵A的两个特征值, 分别是 对应的两个特征向量. 若 ，则 与 正交.,4.2 实对称矩阵的对角化,定理3 设A为n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P，使得 AP= AP = , 其中 是A的n个特征值为对角元的对角阵.(证明略) 推论1 设A为n阶实对称矩阵， 是A的特征方程的k重根，则矩阵 的秩 从而对应特征值 恰有k个线性无关的特征向量.,4.2 实对称矩阵的对角化,例1 设A ，求正交矩阵P，使 AP为对角矩阵. 解 矩阵A的特征多项式为 令 ( = ，则P为所求正交矩阵， 它满足 AP=,4.2 实对称矩阵的对角化,例2 设 , 求 (n为正整数). 解 A的特征多项式为 A的特征值为,Thank you,
