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1、第八章 状态空间分析法,8.1 概 述,在经典控制理论中，用传递函数来设计和分析单输入单输出系统。但传递函数只能反映出系统输出变量与输入变量之间的外部关系，而了解不到系统内部的变化情况。此外，传递函数描述又是建立在零初始条件的前提下，故它不能包含系统的全部信息。在设计多变量和时变系统时，采用经典控制理论会遇到很大的困难。,经典控制理论:,以微分方程和传递函数为数学基础 主要研究单输入、单输出的线性定常系统 主要方法是频率特性法和根轨迹法 传递函数对处于系统内部的变量不便描述， 对某些内部变量不能描述 对于时变系统、复杂的非线性、多输入多输 出系统的问题不适用,在现代控制理论中，用状态变量来描述
2、系统。这时系统是用一阶矩阵向量微分方程来描述的，采用矩阵表示法可以使系统的数学表达式简洁明了，并且易于用计算机求解。 状态方程是计算动态特性的线性定常系数矩阵微分方程,输出方程是用来计算所观察参数的线性代数方程。,表 8.1 经典和现代控制理论对比,8.2 动态系统的状态空间分析法,一、基本概念,状态：系统的状态就是系统过去、现在和将来的状况。系统的状态可以定义为信息的集合，表征系统运动的信息。,2.状态变量：指可以完全表征系统状态的最少个数的一组变量 x1、x2、xn ,并且满足下列两个条件: 在任何时刻 t = t0 ,这组变量的值： x1(t0)、x2(t0) 、xn(t0) 都表示系统
3、在该时刻的状态; (2) 当系统在 t t0 的输入和上述初始状态确定的时 候,状态变量应完全能表征系统在将来的行为,3.状态矢量,设一个系统有 n 个状态变量 x1、x2、xn ,用这 n 个状态变量作为分量所构成的矢量 X,称为该系统的状态矢量。,4.状态空间,状态矢量所有可能值的集合称为状态空间。系统在任一时刻的状态都可用状态空间中的一点表示,5.状态方程,描述系统状态变量与系统输入之间关系的一阶方程组,称为状态方程,例1 某机械动力系 统如图所示,质量-弹簧-阻尼系统的微分方程式为：,选择位移 x(t) = x1(t) 和速度 (t) = x2(t) 作为系统的状态变量，可把上述方程化
4、为两个一阶微分方程：,用矩阵的形式表示：,写成矢量矩阵形式的标准型：,系统的状态方程,x(t) = x1(t) (t) = x2(t),6.输出方程,系统输出与状态变量间的函数关系式,称为输出方程,例如：在上述的系统中,指定 x1=x 作为输出,则有 y = x1,写成矢量矩阵形式为:,写成标准式为:,7.状态空间表达式,状态方程和输出方程构成对一个系统性能的完整描述,称为系统的状态空间表达式。,若系统是 rmn 维空间,即,若是线性系统,可写成,A-系数矩阵 nn B-控制矩阵 nr C-输出矩阵 mn D-直接传递矩阵 mr,8.状态空间表达式的系统方框图,二、系统传递函数的状态空间表达式
5、,由系统的高阶微分方程式或传递函数,求出相应的状态空间表达式,这类问题称为实现问题。,nm,若系统的传递函数为：,1.可控标准型实现（写成状态方程和输出方程）,例 已知系统的 传递函数为：,求出其对应的可控标准型,解:,直接写出系统的可控标准型:,2.可观测标准型实现,可控标准型和可观测标准型：其系数矩阵互为转置关系,而前者的 B 为后者的 C T,前者的 C T 为后者的 B。具有这种结构关系的称为互有对偶关系。,可控标准型的 B ,C,可观测标准型的 B ,C,例 已知系统的 传递函数为：,写出其可观测标准型,解:,直接写出系统的可观测标准型:,3.对角阵标准型实现,当G(s)的所有极点为
6、互异的实数时,则得,式中 ci 称为 s = si 极点处的留数：,由上式可求得系统的状态空间表达式为,例：,解：,化成对角阵标准型状态方程,三、由系统状态方程求传递函数(矩阵),对于一个单输入单输出的 n 阶系统,其动态方程为：,根据求传递函数的定义,假设相应变量的初始条件为零,对上式两边进行拉氏变换：,例 已知系统的 动态方程为：,求系统的传递函数,解:,8.3 多输入多输出(MIMO)系统,一、多输入多输出 n 阶线性系统的状态空间表达式,将方程组改成矩阵微分方程的形式：,同理得输出方程,二、传递矩阵,零初始条件时,用拉氏变换的形式表示输出与输入关系如下:,用矩阵方程表示为：,可以写成：
7、,G(s) 即为双输入双输出系统的传递矩阵,r 个输入量和m个输出量的系统传递矩阵G(s)为：,三、系统状态空间表达式与传递矩阵的关系,设系统的状态空间表达式为 ：,对上式进行拉氏变换：,若 X(0) = 0, 则 X(s)=(sI -A)-1BU(s),定义为传递矩阵,所以,特征方程为,因为,例: 设系统的动态方程为：,求系统的传递函数矩阵,解:,例: 设系统的状态方程为,求系统的特征方程和特征值,解: 系统的特征方程为,特征方程的根为-1、-2和-3。矩阵A的特征值也为-1、-2和-3。两者是一样的,四、闭环传递矩阵与开环传递矩阵的关系,多变量控制系统,其前向通道的传递矩阵为Go(s);反
8、馈通道的传递矩阵为H(s); Y(s)和U(s)分别为输出输入矢量:E(s)和B(s)分别为误差和反馈信号矢量。,故得,则得闭环系统的传递矩阵为,若H(s)为单位矩阵,即H(s)=I,则,五、多变量控制系统的解耦问题,多变量系统存在交联现象,输入对输出都会产生影响,通常要求一个输入量只对一个输出量有影响。这就是多变量系统的解耦问题,例如：双变量系统的输出与输入关系,解耦的方法是加入一组补偿器,使最后的闭环传递矩阵成为对角线矩阵,这样可以使n个输入和n个输出互相独立,达到消除相互干扰的目的。 补偿后的系统传递函数矩阵成为对角线矩阵,考虑反馈矩阵H(s)为单位矩阵的情况,于是可得,式中,由 I+G
9、0(s) 左乘上式,得,以 I-G(s)-1 右乘上式的两边,则可得,所以解耦矩阵为,例: 多变量控制系统如图所示,试确定一组补偿器的 传递函数矩阵,使得闭环系统的传递函数矩阵为,解:,由于,解耦后系统前向通道的传递矩阵,所以,由补偿前系统框图得：,因此,8.4 线性系统可控性和可观测性,一、可控性和可观测性的概念,其闭环传递函数为,某一系统的状态方程和输出方程为,二、线性定常系统可控性及其判定准则,1. 可控性定义,设系统为,如果用一个适当的控制信号,在有限的时间内(t0tt1)使初始状态X(0)转移到任一终止状态X(t1),那么 所代表的系统就叫作状态可控的,如果对任意初始状态都可控,这个
10、系统就叫作状态完全可控的,2.可控性判定准则,状态完全可控的充分必要条件是: 矢量 B, AB, A2B, , An-1B 是线性无关的, 或者 nn 矩阵 的秩为 n (即满秩),线性定常系统,解:,所以,因为rank M = 1, 所以该系统是不可控的,解:,所以,因为 rank M = 2,所以该系统是可控的,解:,MMT 非奇异,故 M 满秩,系统是可控的,几点结论:,(1)系统的可控性,取决于状态方程中系数矩阵A和 控制矩阵B。矩阵A是由系统的结构参数决定的, 矩阵B是与控制作用的施加点有关的,因此系统 的可控性完全取决于系统的结构、参数和控制 作用的施加点。,(2)在A为对角矩阵的
11、情况下,如果B矩阵的元素有 为0的(对于多变量系统,B矩阵元素某一行全部 为0的),则与之对应的状态方程必为齐次方程, 即与 u(t) 无关,系统一定是不可控的。,(3)在A矩阵为约当标准型矩阵的情况下,由于前一 个状态总是受下一个状态控制的,故只当B矩阵 的最后一行元素全为0时,系统是不完全可控的。,(4)不可控的状态,在方框图中表现为存在与u(t)无 关的孤立方块。,(5)如果系统的状态方程是可控标准型,则系统一 定是完全可控的。,三、线性定常系统输出的可控性问题,系统输出完全可控的充分必要条件是矩阵,的秩为 m,例： 判断系统,是否具有状态可控性和输出可控性？,解:系统的状态可控矩阵为：
12、,rank M = 1,所以该系统状态不可控,系统的输出可控矩阵为：,rank M = 1 = m,因此系统是输出可控的,四、线性定常系统的可观测性及其判据,如果在有限时间内,每个初始状态x(0)都能由y(t)的观测值确定,那么系统就叫完全可观测的,系统的状态方程和输出方程,X - n 维矢量； Y - m 维矢量； A - nn 矩阵；C - mn 矩阵,线性定常系统完全可观测的充分必要条件是矩阵,的秩为 n,判定系统的可控性和可观测性,例：给定系统的 动态方程为：,解:,已知,矩阵,的秩为1,系统输出可控,矩阵,rank V = 2,系统完全可观测,状态可控,本章小结,正确理解基本概念：状态变量、状态方程、状态空间表达式、传递矩阵、线性定常系统可控性和可观测性等。,2掌握基本方法：当已知系统传递函数时，可求 出其对应的可控标准型和可观测标准型。,3根据线性定常系统能控性判定准则和可观测性 判定准则分别判定系统的可控性和可观测性。,
