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1、第三章,系统的数学模型,本 章 提 纲,第一节 概述,第二节 系统微分方程的建立,第三节 传递函数,第四节 方块图及动态系统的构成,第五节 信号流图与梅逊公式,第六节 机、电系统的传递函数,第一节 概述,1、为什么要建立数学模型？Why 2、什么是数学模型？What 3、如何建立数学模型？How 4、控制系统数学模型分类,1、建立系统的数学模型Why？,研究与分析一个系统的动态特性，或对系统进 行控制，不仅要定性的了解系统的工作原理， 而且要定量的描述系统的动态性能，揭示系统 的结构、参数与动态性能之间的关系。 这就需要建立系统的数学模型,从定性的认识上升到定量的精确认识,数学模型是系统动态特
2、性的数学表达式。 即描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间的数学表达式。,2、数学模型What？,时域数学模型：微分方程（连续系统） 差分方程（离散系统） 状态方程 复域数学模型：传递函数（连续系统） 脉冲传递函数（离散系统） 频域数学模型：频率特性,建立合理的数学模型，对于系统的分析研究是至关重要的。一般应根据系统的实际结构参数及计算所要求的精度，略去一些次要因素，使模型即能准确的反映系统的动态特性，又能简化分析计算的工作。,试验法,分析法,依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律，列写出变量之间的数学表达式。,3、建立数学模型的方法How？,人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出
3、响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。,线性系统 非线性系统,4、控制系统数学模型分类,系统的数学模型能用线性微分方程描述 1）线性定常系统 微分方程的系数是常数 2）线性时变系统 微分方程的某些系数随时间的变化而变化,线性系统,线性系统的特点：可以运用叠加原理。 叠加原理：系统在几个外加作用下所产生的响应，等于各个外加作用单独作用的响应之和,用非线性方程描述的系统称，它不能使用叠加原理 对于非线性问题通常采用如下的处理途径 1、线性化：在工作点附近将非线性函数用泰勒级数展开，并取一次近似 2、忽略非线性因素，如消除机械间隙，或用补偿反复消除间隙的影响 3、对非线性因素，若
4、不能简化和忽略，就需用非线性系统的分析方法来处理,非线性系统,本课程涉及的数学模型形式 本课程着重于经典控制理论，主要研究对象是线性系统。 时域： 线性常微分方程 复域或频域： 传递函数或频率特性,第二节 系统的微分方程的建立,微分方程是在时域中描述系统动态特性的数学模型。利用数学模型可以得到描述系统动态特性的其他形式的数学模型，因此，要了解系统的动态特性，首先建立微分方程。,1、根据实际工作情况，确定系统和各元件的输入、输出变量。,2、从输入端开始,按照信号的传递顺序,依据各变量所遵循的物理(或化学)定律，列出在变化过程中的动态微分方程组。,3、消去中间变量，得到输入、输出变量的微分方程。,
5、4、整理微分方程,列写微分方程式的方法步骤如下：,基尔霍夫定律，牛顿定律，热力学定律，能量守恒定律,输出在方程左端， 输入在方程右端， 各阶导数按降幂排列,注意：负载效应,例1求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。输入量为外力f，输出量为位移x。,解：图1和图2分别为系统原理结构图和质量块受力分析图。图中，m为质量，B为粘性阻尼系数，k为弹性系数。,控制系统的微分方程,根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下：,阻尼器阻力：方向与运动方向相反，大小与运动速度成比例,弹簧弹力：方向与运动方向相反，大小与位移成比例,B为阻尼比,K为弹性系数,这也是一个二阶定常微分方程。x为输出量，f为输入
6、量。,式中，m、B、K通常均为常数，故机械平移系统可以由二阶常系数微分方程描述。,显然，微分方程的系数取决于系统的结构参数，而阶次等于系统中独立储能元件（惯性质量、弹簧）的数量。,例1求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。,控制系统的微分方程,3、整理,1、明确系统的输入与输出 输入量为外力 f(t) 输出量为位移 x(t),2、列写原始微分方程,弹簧阻尼系统,系统运动方程为一阶常系数微分方程。,基尔霍夫电流定律,若电路有分支，它就有节点，则汇聚到某节点的所有电流的代数和应等于零。,基尔霍夫电压定律,电网络的闭合回路中电势的代数和等于沿回路的电压降的代数和。,电气系统,电阻,电气系统三个
7、基本元件：电阻、电容和电感。,电容,电感,R-L-C无源电路网络,把代入，并进行整理得：,解：(1)确定输入输出量和中间变量,R,C,i,例1：写出图示一阶RC电路的微分方程。,这是一个线性定常一阶微分方程。,(2)列写微分方程,(3)消去中间变量,并进行整理得：,解：(1)确定输入输出量,例2：写出二阶RC网络的微分方程。,这是一个线性定常二阶微分方程。,(2)列写微分方程,(3)消去中间变量,令R1C1=T1， R2C2=T2， R1C2=T3 。,消去中间变量可得：,问题：,例2：写出二阶RC网络的微分方程。,显然，这个结果是错误的。这是为什么呢？,这是一个两级的RC网络，能否先写出两个
8、单级RC网络的微分方程，再消去中间变量，从而得到整个网络的微分方程呢？,我们来试一下，由上例结果可得：,在列写电路的微分方程时，必须考虑到后级电路是否对前级电路产生影响。,这种后一级对前一级的影响称为负载效应。,例2中，只有当后级R2C2网络的输入阻抗很大时，对前级的影响才可以忽略不计。,把代入，并进行整理得：,解：(1)确定输入输出量,例3：写出RLC串联电路的微分方程。,这是一个线性定常二阶微分方程。,(2)列写微分方程,(3)消去中间变量,小结,物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究（信息方法） 。,从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础；,通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等于元件或系统中所包含的独立储能元（惯性质量、弹性要素、电感、电容、液感、液容等）的个数；因为系统每增加一个独立储能元，其内部就多一层能量（信息）的交换。,系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决于系统的结构及其参数。,
