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1、、一条直线与两条异面直线中的一条相交, 那么它与另一条之间的位置关系是( ),、平行 、相交 、异面 、可能平行、可能相交、可能异面,、两条异面直线指的是( ),、没有公共点的两条直线,、分别位于两个不同平面的两条直线,、某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线,、不同在任何一个平面内的两条直线,练习:,D,D,3、下列命题中,其中正确的是,()若两条直线没有公共点,则这两条直线互相平行,()若两条直线都和第三条直线相交,那么这两条直线互相平行,()若两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线互相平行,()若两条直线都和第三条直线异面,那么这两条直线互相平行,4. 若两直线a和b没有公共点,
2、则a与b的位置关系_ 5. 直线a和b分别是长方体的两个相邻的面的对角线所在直线,则a和b的位置关系是_ 6如果OAO1A1,OBO1B1,AOB40,则A1O1B1 ,1空间两直线的位置关系,复习回顾:,2平行公理,3空间等角定理,4异面直线,空间内不同在任一平面内的两条直线叫异面直线(不平行也不相交),4.2异面直线的画法,画异面直线一定要依托于平面,4.1定义,对于异面直线,如何判定,又如何进一步刻画呢?,用反证法证明:空间四边形ABCD的对角线AC,BD是异面直线 ,D,A,B,C,在空间四边形中,各边所在直线 异面的共有几对?,练习:,空间里,不在同一个平面上的四个点两两相连, 就是
3、空间四边形,例1求证过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不经过该点的直线是异面直线 已知:A,B,Bl,l 求证:直线AB 和l是异面直线,定理:过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不经过该点的直线是 异面直线,符号表示:若A,B,Bl, l,,则直线AB与l是异面直线, 两点一线一面,判定两条直线是异面直线的常用方法:,反证法,3.已知不共面的三直线a,b,c相交于点O,M,P是a上两点,N,Q分别在b,c上 求证:MN,PQ异面.,法二:(判定定理)ac=O,它们确定一个平面, 设为 ,由已知N平面 ,M平面 , PQ平面 ,MPQ, PQ和MN是异面直线,证明:法一:(反证法)
4、假设PQ和MN共面,所确定的平面为, 那么点P、Q、M、N都在平面内, PM 即a O平面 直线OQ、ON都在平面内,即直线b、c都在平面内 直线a、b、c都在平面内,与已知条件a、b、c不共面矛盾, 假设不成立,AD和BC是异面直线,小结:异面直线的判定: 利用定义; 判定定理:过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不经过 该点的直线是异面直线 符号表示:若A,B,Bl,l,则直线AB与l是异面直线 两点一线一面 常用方法:反证法,定量 异面直线所成的角,一、异面直线所成角的定义:,1.直线a、b是异面直线。经过空间任意一点O,分 别作直线a1a,b1b。我们把直线a1和b1所成的 锐角(
5、或直角)叫做异面直线a和b所成的角。,b,为了简便,点O常取在两条异面直线中的一条上。,2.异面直线a和b所成的角的范围:,如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直。,因此,异面直线所成角的范围是(0, ,3、特例:,空间内O点“任取”,说明角的大小与点O的位置选取无关,只由两直线的相对位置所确定;,a,b,O,a,b,a,思考:异面直线所成角的大小与点O的位置选取有关吗?为什么?,a,b相交,将异面直线转化为平面内两相交直线所成的角进行度量,立体问题平面化;,找异面直线所成的角的关键是什么?,平移转化为平面角,例1.如图,在正方体中,(1)哪些棱所在的直线与直线BA1成异面
6、直线?(2)求直线BA1和CC1所成的角的大小。,四、例题分析:,解:(1)与直线BA1成异面直线有AD、CD、B1C1、C1D1、C1C、D1D,(2)B1BC1C A1B1B是异面直线BA1和CC1所成的角 易求得所成的角为,例2如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,求下列各对异面直线所成的角,O,主要步骤:构造平面角; 证明; 求角计算,(1)AC与B1D1; (2)AC与BC1 (3)A1B与B1D1 (4)BD1与AC,例2.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体,D,C,B,A,A1,D1,C1,B1,异面直线所成角的求法,(2) BC1和AC,新课讲解:,例2如图,
7、在正方体ABCDA1B1C1D1中,求下列各对异面直线所成的角,O,主要步骤:构造平面角; 证明; 求角计算,转化为平面角,(3)A1B与B1D1,D,C,B,A,A1,D1,C1,B1,异面直线所成角的求法,o,E,(4)BD1与AC,D,C,B,A,A1,D1,C1,B1,异面直线所成角的求法,补形法,(4)BD1与AC,练习如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,M,N分别为所在棱的中点,求下列各对异面直线所成的角,O,* 中位线,(1)EF与MN; (2)EF与BD1,例2空间四边形ABCD中,E,F分别是对角线BD,AC的中点, (1)若BCAD2EF,求直线EF与AD所成
8、角的大小 (2)若AB8,CD6,EF5,求AB与CD所成角的大小,B,C,D,A,E,F,求异面直线所成的角的一般步骤是:,根据异面直线所成角的定义,求异面直线所成角,就是要将其变换成相交直线所成的角。其方法为:,平移法:即根据定义,以“运动”的观点,用“平移转化”的方法,使之成为相交直线所成的角。,(1)找出或作出有关的图形; (2)证明它符合定义; (3)计算。,即:一证二作三求,具体地讲是选择“特殊点”作异面直线的平行线,构作含异面直线所成(或其补角)的角的三角形,再求之。,1异面直线的判定,小结:, 利用定义; 判定定理:若A,B,Bl,l,则直线AB与l是异面直线 两点一线一面 常
9、用方法:反证法,2异面直线所成的角,练习: 1.指出下列命题是否正确,并说明理由. 过直线外一点可作无数条直线与已知直线成异面直线. 过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直. 若ab,ca则bc 若ca,bc则ab 分别与两条异面直线a,b都相交的两条直线c,d一定异面.,2如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,与AD1所成角为60的面对角线 有 条,3.已知不共面的三直线a,b,c相交于点O,M,P是a上两点,N,Q分别在b,c上 求证:MN,PQ异面.,法二:(判定定理)ac=O,它们确定一个平面, 设为 ,由已知N平面 ,M平面 , PQ平面 ,MPQ, PQ和MN是异面直线,证明:法一:(反证法) 假设PQ和MN共面,所确定的平面为, 那么点P、Q、M、N都在平面内, PM 即a O平面 直线OQ、ON都在平面内,即直线b、c都在平面内 直线a、b、c都在平面内,与已知条件a、b、c不共面矛盾, 假设不成立,AD和BC是异面直线,4.如图在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点 求证:四边形ABCD是平行四边形; 若ACBD,求证:四边形ABCD是菱形; 当AC与BD满足什么条件时,四边形ABCD是正方形?,A,B,F,C,D,H,E,G,