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1、2018-20192018-2019 学年度北京师范大学附属实验中学学年度北京师范大学附属实验中学 高二下学期高二下学期 3 3 月考试题月考试题 第第 I I 卷卷 （选择题共（选择题共 3232 分）分） 一选择题：本大题共一选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 3232 分。分。 1.下列求导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用导数的运算，对四个选项中的函数分别求导，由此得出正确选项. 【详解】解：A、 （x）1，故错误； B、 （3x）3xln3，故错误； C、符合对数函数的求导公式，故正确； D、 （x
2、2cosx）2xcosxx2sinx，故错误 故选：C 【点睛】本小题主要考查基本初等函数的导数，考查导数的运算，属于基础题. 2.函数yx2在区间x0, x0+x上的平均变化率为k1，在x0x，x0上的平均变化率为k2，则k1与k2 的大小关系是（ ） A. k1k2 B. k1k2 C. k1k2 D. k1与k2的大小关系不确定 【答案】D 【解析】 由题意结合函数的解析式有： ， ， 则，因为 x 可大于零也可小于零，所以 k1与 k2的大小不确定. 本题选择 D 选项. 3.设函数若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析：利用奇函
3、数偶此项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率 ，进 而求得切线方程. 详解：因为函数是奇函数，所以，解得， 所以， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 化简可得，故选 D. 点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需 要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求 得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果. 4.已知某生产厂家的年利润 （单位：万元）与年产量 （单位：万件）的函数关系式为 ，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 A. 13 万件B
4、. 11 万件 C. 9 万件D. 7 万件 【答案】C 【解析】 解：令导数 y=-x2+810，解得 0x9； 令导数 y=-x2+810，解得 x9， 所以函数 y=- x3+81x-234 在区间（0，9）上是增函数， 在区间（9，+）上是减函数， 所以在 x=9 处取极大值，也是最大值，故选 C 5.函数上的极小值点为（ ） A. 0B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求导后令导数等于零，求得导函数的零点，然后根据单调性求得极小值点. 【详解】解：y12sinx0，得 x或 x， 故 yx+2cosx 在区间0， 上是增函数，在区间 ，上是减函数，在，是增函数 x是函数
5、的极小值点， 故选：C 【点睛】本小题主要考查函数的导数运算，考查求函数的极小值点，属于基础题. 6.设函数在 上可导，其导函数为 ，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成 立的是（ ） A. 函数 有极大值和极小值 B. 函数有极大值 和极小值 C. 函数 有极大值和极小值 D. 函数有极大值和极小值 【答案】D 【解析】 【分析】 根据的图像，按分类，研究函数的单调区间，由此求得函数的极 大值和极小值. 【详解】解：由函数的图象可知，f（2）0，f（2）0， 并且当 x2 时，f（x）0， 当2x1，f（x）0，函数 f（x）有极大值 f（2） 又当 1x2 时，f（x）0， 当 x2
6、时，f（x）0，故函数 f（x）有极小值 f（2） 故选：D 【点睛】本小题主要考查利用函数的图像判断导函数的正负，并由此求得极值，属于基础题. 7.若函数y在（1，+）上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. aB. a-2C. aD. a-1 【答案】A 【解析】 【分析】 先求得函数的导数，根据函数的单调性令导数恒大于零，分离常数后求得 的取值范围. 【详解】依题意，函数在上有，即恒成立，由于，故，所 以.故选 A. 【点睛】本小题主要考查函数的导数，考查已知函数的单调性求参数，考查分离常数法，属于基础题. 8.函数的图象如图所示，且在与处取得极值，给出下列判断： ； ； 函数在区间上是
7、增函数。 其中正确的判断是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析：，由图可知时，为增函数知， 所以有。又由，所以有 ，因为，所以，因为所以有, 所以,开口向上，对称轴为 ，所以函数在区间上是是增函数。 考点：导数在求函数极值及单调性中的应用 第第 IIII 卷卷 （非选择题共（非选择题共 6868 分）分） 二填空题：本大题共二填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 2424 分。分。 9.如果函数f（x）cosx，那么_ 【答案】 【解析】 【分析】 先求得函数的导数，然后令，分别代入原函数和导函数，由此求得表达式的值. 【详解】解：
8、由题意知，f（x）cosx， cos，f（x）sinx， sin ， 故答案为： 【点睛】本小题主要考查基本初等函数的导数，考查特殊角的三角函数，属于基础题. 10.已知f（x）x33x，过点P（2，2）作函数yf（x）图象的切线，则切线方程为_ 【答案】y9x-16 或y2 【解析】 【分析】 当 为切点时，利用导数求得斜率，由此求得切线方程.当 不是切点时，设出切点坐标，求得斜 率，根据点斜式写出切线方程，将点代入切线方程，求得的值，由此求得切线方程. 【详解】解：y-3+3x2 当点 P 为切点时，y|x29，得到切线的斜率为 9， 所求的切线方程为 y9x16， 当 P 点不是切点时，
9、设切点为（m，m33m） 则切线的斜率为 3m23，切线方程为 ym3+3m（3m23） （xm） 而切线过（2， 2） ，2m3+3m（3m23） （2m） 解得 m-1 或 2（舍去） 切点为（-1， 2） ，斜率为 0，所求的切线方程为 y2 故答案为：y9x-16 或 y2 【点睛】本小题主要考查过某点的切线方程的求法，考查运算求解能力，属于基础题. 11.已知yf（x）是定义在 R R 上的函数，且f（1）1，f（x）1，则f（x）x的解集是_ 【答案】 （1，+） 【解析】 【分析】 构造函数，利用导数和已知条件判断出为单调递增函数，并由此求得不等式的解集. 【详解】解：设 g（x
10、）f（x）x， 则 g（x）f（x）1， f（1）1，f（x）1， g（x）f（x）10，即 g（x）单调递增， 且 g（1）f（1）10， 当 x1 时，g（x）g（1） ， 即 f（x）x0， 则 f（x）x， 即 f（x）x 的解集是（1，+） ， 故答案为：（1，+） 【点睛】本小题主要考查构造函数法，考查利用导数解不等式，属于基础题. 12.如图，将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的 正六棱柱容器（图）.当这个正六棱柱容器的底面边长为 时，其容积最大. 【答案】 【解析】 试题分析：如图，设底面六边形的边长为 x，高为 d，则 d=
11、（1-x） ； 又底面六边形的面积为： S=6 X2sin60=x2；所以，这个正六棱柱容器的容积为： V=Sd=x2（1-x）= (x2-x3)，则对 V 求导，则 V= （2x-3x2） ，令 V=0，得 x=0 或 x= ， 当 0x 时，V0，V 是增函数；当 x 时，V0，V 是减函数；x= 时，V 有最大值 故答案为 。 考点：本题主要考查导数的应用，几何体的体积公式。 点评：典型题。理解题意，构建函数模型是关键，记牢公式，求导计算。 13.若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值 的和为_ 【答案】. 【解析】 分析：先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件，求
12、出参数 a,再根据单调性确定函 数最值，即得结果. 详解：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以 ，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以 ， 点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件从图象的最高点、最 低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单 调性、周期性等 14.已知函数有两个极值点,则实数 的取值范围是_ 【答案】. 【解析】 ，令函数有两个极值点，则 在区间上有两个实数根，当时，则函数在区间 单调递增，因此在区间上不可能有两个实数根，应舍去，当时，令，解 得，令，解得，此时函数单调递增，令，解
13、得，此时函数单调 递减，当时，函数取得极大值，当 近于 与 近于时，要使在区间 有两个实数根，则，解得实数 的取值范围是，故答案为 . 三解答题：本大题共三解答题：本大题共 4 4 小题，共小题，共 4444 分。解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15.求下列函数的导数： （1） （2）y 【答案】 （1）；（2） 【解析】 【分析】 根据乘法、除法和复合函数的求导法则，对两个函数进行求导. 【详解】 （1）； （2）. 【点睛】本小题主要考查乘法、除法和复合函数的求导法则，考查运算求解能力，属于基础题. 16.已知函数f（x）2lnxx
14、 （I）写出函数f（x）的定义域，并求其单调区间； （II）已知曲线yf（x）在点（x0，f（x0） ）处的切线为l，且l在 y 轴上的截距是2，求x0 【答案】 （）定义域为（0，+）, 单调递增区间是（0，2） ，单调递减区间是（2，+） ；（）1. 【解析】 【分析】 （I）由对数真数大于零求得函数的定义域，利用导数求得函数的单调区间.（2）利用切点的横坐标求得斜 率，由点斜式写出切线方程，令纵截距为列方程，解方程求得的值. 【详解】解：（）函数 yf（x）的定义域为：（0，+） f（x）2lnxx， 令 f（x）0，则 x2 当 x 在（0，+）上变化时，f（x） ，f（x）的变化情况
15、如下表 函数 yf（x）的单调递增区间是（0，2） ，单调递减区间是（2，+） （）由题意可知：f（x0）2lnx0x0， 曲线 yf（x）在点（x0，f（x0） ）处的切线的斜率为 切线方程为： 切线方程为 ykx2， 2lnx022 x01 【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求解有关切线方程的问题，属于中档 题. 17.已知函数f（x）x2exb，其中bR R （）证明：对于任意x1，x2（，0，都有f（x1）f（x2）； （）讨论函数f（x）的零点个数（结论不需要证明） 【答案】 （）详见解析；（）详见解析. 【解析】 【分析】 （I）利用导数求得函数的最大值和最小值，利用最大值减去最小值来证得不等式成立.（II）当和 时，由解析式判断零点的个数.当时，根据最大值进行分类，得出零点个数. 【详解】解：（）f（x）的定义域 R R，且 f（x）x（x+2）ex， 令 f（x）0 则 x10，或 x22， f（x）x（x+2）ex， x （，2） 2 （2，0） f（x） + 0 f（x） 增函数 极大值 减函数 f（x）在区间
