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1、厦门市厦门市 2018-2019 学年度第一学期高一年级质量检测学年度第一学期高一年级质量检测 数学试题数学试题 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 个小题个小题,每小题每小题 5 分分,共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1.已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据交集的定义即可求出 AB 【详解】集合 A=-2，-1，0，1，2，集合 B=x|-1x1，AB=-1，0，1 故选 D 【点睛】本题考查交集的求法，是基础题. 2.函数的定义域为（ ）
2、A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 使函数有意义的 x 满足 解不等式组即得解. 【详解】使函数有意义的 x 满足解得即函数的定义域为. 故选 B. 【点睛】本题考查了具体函数定义域，属于基础题. 3.已知角 的终边经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据三角函数定义= 可得结果. 【详解】角 的终边经过点，所以，所以= =.故选 A. 【点睛】本题考查了三角函数定义，已知角的终边上一点的坐标即可求得各种三角函数值，属于基础题. 4.某研究小组在一项实验中获得一组关于之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中最 能近似刻
3、画 与 之间关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据图中的特殊点（2,1） ， （4,2）即可得解. 【详解】根据图中的特殊点（2,1） ， （4,2）,通过选项可知只有 C：满足题意.故选 C. 【点睛】本题考查了由函数图象写解析式，可以进行选项验证，属于基础题. 5.化简的结果为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】 由对数的运算性质即可得解. 【详解】=2-2=0.故选 A. 【点睛】本题考查对数的运算性质，熟记公式是关键，属于基础题. 6.已知是圆 的一条弦，则的值为（ ） A. -2 B. 1 C. 2 D.
4、 与圆 的半径有关 【答案】C 【解析】 【分析】 是圆 的一条弦,所以与共线同向，所以=| |=即可得解. 【详解】是圆 的一条弦,所以与共线同向，所以=| |=2.故选 C. 【点睛】本题考查了数量积的运算，利用定义求解要确定模长及夹角，属于基础题. 7.已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三角函数的诱导公式结合二倍角公式进行化简即可 【详解】可得 cos=1-2,所以= cos=.故选 D. 【点睛】本题主要考查三角函数值的计算，利用三角函数的二倍角公式，诱导公式进行化简是解决本题的 关键，属于基础题 8.函数，若实数满足，且，则下列结论不恒
5、成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 结合函数的图象，逐个进行分析即可得解. 【详解】函数的图象如下： 可得=即=0,所以=0,故 A 对； 可得,即，所以，故 B 对；由图象 可知 ，所以，所以 1 sin = =，所以1,故 m=2,所以点 D（2，-4）.故答案为（2，-4）. 【点睛】本题主要考查幂、指、对函数的图象与性质以及基本运算能力，属于基础题 四、解答题：共四、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知函数的一个对称中心为，其图像上相邻两个最高点间的距离为 . （1）求函
6、数的解析式； （2）用“五点作图法”在给定的坐标系中作出函数在一个周期内的图像，并写出函数的单调递减 区间. 【答案】 （1）；（2） 【解析】 【分析】 (1)因为的图像上相邻两个最高点的距离为 ，所以的最小正周期，由此得因为的 对称中心为，因为的对称中心，求得 ，即可得解；（2）由“五点作图法” 找出函数在一个周期内的五个关键点，列表，描点，作图，即可得出函数的单调递减区间. 【详解】 （1）因为的图像上相邻两个最高点的距离为 ， 所以的最小正周期， 由和，可得 因为的对称中心为， 所以，即， 又因为，所以，所以函数的解析式为. （2）由“五点作图法”找出函数在一个周期内的五个关键点，列表
7、如下： 由，可得， 所以函数的单调递减区间是. 【点睛】本题考查三角函数性质，由周期，对称性得出解析式，考查五点作图法，是中档题 18.已知函数. （1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； （2）函数在区间内是否有零点？若有零点，用“二分法”求零点的近似值（精确 到 0.3） ；若没有零点，说明理由. （参考数据：，） 【答案】 （1）见解析；（2）有， 【解析】 【分析】 （1）由条件利用函数的单调性的定义即可证得函数 f（x）在区间上的单调性 （2）结合函数单调 性，由零点存在性定理得出连续函数在区间上有且仅有一个零点，由二分法即可得出零点的近似值 （精确到 0.3）. 【详解】 （
8、1）函数在区间上是增函数， 设，且， 则， 所以， 故函数在区间上是增函数. （2）是增函数， 又因为， 所以连续函数在区间上有且仅有一个零点 因为， 所以 又因为， 所以 又，所以零点的近似值为. 【点睛】本题考查了用定义证明函数单调性，零点存在性定理的应用，二分法求零点的近似值，属于中档 题. 19.如图，平行四边形中，点分别为边的中点，与相交 于点 ，记，. （1）用表示，并求； （2）若，求实数 的值. 【答案】 （1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）由向量加法表示，平方求得 代入各值即可得解;（2）因为 ，与共线，设，则表示， ，由得出方程，即可解出 . 【详解】 （1）由图形可
9、知 因为 所以 （2）因为，与共线， 设，则 由于 因为，所以 即 则，解得，所以 【点睛】本题考查了向量的加法法则，求向量的模，向量共线定理和平面向量基本定理，属于中档题. 20.如图，点在以原点 为圆心的单位圆上，记锐角，点 从开始，按逆时针方向以角速 度在圆 上做圆周运动，经过到达点，记 的纵坐标关于时间的函数为. （1）求实数 的值； （2）求函数在区间上的值域. 【答案】 （1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）根据题意，结合图象，由任意角的三角函数的定义求得 y=f（t）的表达式,即可求得的值； （2）由（1）知，则，所以化简即可 求得在上的值域. 【详解】 （1）由题意，点
10、是的终边与单位圆的交点，由任意角的三角函数的定义，知 又时，即，得，即,此时. （2）由（1）知，则 所以 由，得，从而 故函数在上的值域为. 【点睛】本题考查了三角函数的应用，求函数 y=Asin（x+ ）的解析式，三角函数定义及两角和的正弦公式， 求三角函数 y=Asin（x+ ）在给定区间的值域，属于中档题. 21.医药公司针对某种疾病开发了一种新型药物，患者单次服用制定规格的该药物后，其体内的药物浓度 随时间的变化情况（如图所示）：当时， 与 的函数关系式为（ 为常数） ；当 时， 与 的函数关系式为（ 为常数）.服药后，患者体内的药物浓度为，这种药物在 患者体内的药物浓度不低于最低有
11、效浓度，才有疗效；而超过最低中毒浓度，患者就会有危险. （1）首次服药后，药物有疗效的时间是多长？ （2）首次服药 1 小时后，可否立即再次服用同种规格的这种药物? （参考数据：，） 【答案】 （1）小时；（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）当时，函数图像过点，求出，进而求出 t=1 时，所以当时， ，函数图像过点，求出 m,解指数不等式求出 t 的范围即可；（2）设再次服用同等规格的 药物 小时后的药物浓度为 ，当时，根据单调性，解得 x=1 即得解. 【详解】 （1）当时，函数图像过点， 所以，得 所以当时， 当时，函数图像过点 所以，所以 由，得，所以 则药物有疗效时间为小时. （2
12、）设再次服用同等规格的药物 小时后的药物浓度为 当时， 因为函数 在内单调递增， 所以当时， 当时， 因为，所以首次服药后 1 小时，可以立即再次服用同等规格的药物. 【点睛】本题考查了函数在实际生活中的应用，给出函数模型进行求解，中间涉及指数方程和指数不等式 解法，利用函数单调性是关键，属于中档题. 22.已知函数是偶函数. （1）求实数 的值； （2）当时，函数存在零点，求实数 的取值范围； （3）设函数，若函数与的图像只有一个公共点，求实数 的取值范围. 【答案】 （1）1；（2）；（3） 【解析】 【分析】 （1）函数是偶函数, 所以得出 值检验即可；（2）因为 时，存在零点，即关于
13、的方程有解，求出 的值域即可；（3）因为函数与的图像只有一个公共点，所以关于 的方程 有且只有一个解，所以，换元，研究二次函数图象及性质 即可得出实数 的取值范围. 【详解】 （1）因为是 上的偶函数， 所以，即 解得，经检验：当时，满足题意. （2）因为，所以 因为时，存在零点， 即关于 的方程有解， 令，则 因为，所以，所以， 所以，实数 的取值范围是. （3）因为函数与的图像只有一个公共点， 所以关于 的方程有且只有一个解， 所以 令，得 （*） ，记， 当时，方程（*）的解为，不满足题意，舍去； 当时，函数图像开口向上，又因为图像恒过点，方程（*）有一正一负两实根，所以 符合题意； 当时，且时，解得， 方程（*）有两个相等的正实根，所以满足题意. 综上， 的取值范围是. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，考查了函数与方程零点问题，通常采用变量分离，或者通过换元转化 为熟悉的二次方程根的分布问题，属于难题.
