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1、 2018年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷班级：: 姓名： 成绩： 题 号一二三四五合计得 分评卷人复核人考生注意：1、本试卷共五道大题，全卷满分140分；2、用圆珠笔、签字笔或钢笔作答；3、解题书写不要超出装订线；4、不能使用计算器。一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、已知实数a、b满足，则等于（ ） A、 B、2 C、 D、52、如图，点D、E分别在的边AB、AC上，BE、CD相交于点F，设四边形EADF、的面积分别为、，则与的大小关系为（ ）A、 B、F第2题图EDBACO3O1第2题图BACO2C、 D、不能确定3、对于任意实数a，b，c，d，有序实数对（a，b）与（c，d
2、）之间的运算“”定义为： .如果对于任意实数m，n都有，那么为（ ）A、（0，1） B、（1，0） C、（-1，0） D、（0，-1）4、如图，已知三个等圆、有公共点O，点A、B、C是这些圆的其他交点，则点O一定是的（ ）A、外心 B、内心 C、垂心 D、重心5、已知关于x的方程有四个根，则k的范围为（ ）A、 B、 C、 D、6、设在一个宽度为w的小巷内搭梯子，梯子的脚位于P点，小巷两边的墙体垂直于水平的地面。将梯子的顶端放于一堵墙的Q点时，Q离开地面的高度为k，梯子的倾斜角为，将该梯子的顶端放于另一堵墙的R点时，R离开地面的高度为h，梯子的倾斜角为，则小巷的宽度w等于（ ）A、h B、k
3、C、 D、二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）7、化简的值为 8、如果关于x的实系数一元二次方程有两个实数根、，那么的最小值是 9、设四位数满足，则这样的四位数有 个10、如图，MN是O的直径，点A在O上，B为的中点，P是直径MN上一动点，则的最小值为 三、（本大题满分20分）11、设实数a，b，c满足：且，求的值。OMNPA四、（本大题满分25分）12、已知抛物线与x轴相交于两点A、B（点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上），与y轴交于点C.（1）求m的取值范围；（2）若，在该抛物线对称轴右边图像上求一点P的坐标，使得.五、（本大题满分25分）13、如图，等腰三角形ABC中，D，
4、E分别在AB，AC边上，且.P在AB的延长线上，QR分别在线段CE、DB上，且，连结直线PQ与BC交于点L，QR与CD，BE分别交于点M，N.求证：（1）；LQMERNPDBA（2）2018年全国初中数学联赛初赛试卷参考答案一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、C2、C3、D4、C5、B6、A二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）7、8、189、310、三、（本大题满分20分）11、解：由14(a2+b2+c2)=(a+2b+3c)2，得13a2+10b2+5c2-4ab-6ac-12bc=0，（5分）配方得(3a-c)2+(2a-b)2+(3b-2c)2=0，（10分）所以3a-c
5、=0，2a-b=0，3b-2c=0，即c=3a，b=2a（15分）代入得=（20分）解法二：由14(a2+b2+c2)=(a+2b+3c)2，得13a2+10b2+5c2-4ab-6ac-12bc=0，（5分）5c2-2()c+()2+13a2+10b2-4ab -=0，5(c-)2+a2+b2-ab=0，所以5(c-)2+(2a-b)2=0，（10分）由此得，c-=0，2a-b=0，解得b=2a，c=3a（15分）代入得=（20分）四、（本大题满分25分）12、解：（1）由已知得，-x2+2(m+1)x+m+3=0有两个不相同的实数解，所以D=2(m+1)2+4(m+3)= 4m2+12m+
6、16=(2m+3) 2+30，可知m是任意实数（5分）又因为点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上所以方程，-x2+2(m+1)x+m+3=0的两根一正一负，所以- (m+3)0，解得m-3所以所求m的取值范围是m-3（10分）（2）解法一：设点A(a，0)，B(b，0)，a0，b0，则a=-3b，且a+b=2(m+1)，ab=-(m+3)，解得m=0函数解析式为y=-x2+2x +3（15分）所以A(3，0)，B(-1，0)，C(0，3)。由PCO=BCO可知BC与PC关于直线OC对称。作B关于OC的对称点B，则B(1，0)，设直线PC是一次函数y=kx+b的图象，则 ，解得 。即PC是
7、一次函数y=-3x+3的图象。把y=-3x+3代入y=-x2+2x +3，得-3x+3=-x2+2x +3，（20分）解得x=0，x=5，当x=0时，y=3，此时点P与点C重合，不合题意，舍去；当x=5时，y=-12，此时点P的坐标为(5,-12)故抛物线对称轴右边图象上有一点P(5,-12)，使得PCO=BCO（25分）解法二：设点A(a,0)，B(b,0)，a0，b0，则a=-3b，且a+b=2(m+1)，ab=-(m+3)，解得m=0函数解析式为y=-x2+2x +3（15分）所以A(3,0)，B(-1,0)，C(0,3)。设P点的坐标为(c,-c2+2c +3)（c1）当1c2时，PC
8、O90BCO当c2时， tanPCO=，又tanBCO=，由PCO=BCO得tanPCO=tanBCO即=，（20分）解得c=5当x=5时，y=-12，此时点P的坐标为(5,-12)故抛物线对称轴右边图象上有一点P(5，-12)，使得PCO=BCO（25分）五、（本大题满分25分）13、证明：（1）过P作PH平行于AC交直线BC于点H，连结PH，BH。则PHB=ACB=ABC=PBH，所以HP=BP=CQ。（5分）又HLP=CLQ，PHL=QCL，所以HLPCLQ所以PL=LQ（10分）法二：过Q作QXBC交AB于点X，所以AQX=ACB=ABC=AXQ，所以AX=AQ。故BX=CQ=BP。（5分）又因为QXLB，所以PL=LQ（10分）（2）设直线QR交直线DE于点S，交直线BC于点T，则=，=，由DR=CQ，RB=QE，所以=，即=，又=，=，所以=，因此=，即=。由CD=BE得CM=EN（20分）取DB，EB中点F，G，连结FG，分别交BE、CD、QR于U、V、K，因为FR=GQ，由（1）的结论知RK=QK。设BE与CD交于点O，则OUV为等腰三角形。由CM=EN得NU=MV由（1）的结论知NK=MK。所以MQ=NR。（25分）
