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1、9.1 直线的方程,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l 之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴 时，规定它的倾斜角为0. (2)范围：直线l倾斜角的范围是 .,1.直线的倾斜角,知识梳理,平行或重合,向上,方向,0，180),2.斜率公式,(1)若直线l的倾斜角90，则斜率k .,tan ,几何画板展示,3.直线方程的五种形式,yy0k(xx0),ykxb,AxByC0(A2B20),判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位
2、置.( ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.( ) (3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.( ) (4)直线的斜率为tan ，则其倾斜角为.( ) (5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( ) (6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示.( ),几何画板展示,1.(2016天津模拟)过点M(2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为 A.1 B.4 C.1或3 D.1或4,考点自测,答案,解析,2.(2016合肥一六八中学检测)直线x(a21)y10的倾斜角的取值范围是,答案,
3、解析,几何画板展示,3.如果AC0且BC0，那么直线AxByC0不通过 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,答案,解析,由已知得直线AxByC0在x轴上的截距 0，在y轴上的截距 0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限.,4.(教材改编)直线l：axy2a0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a .,答案,解析,1或2,令x0，得直线l在y轴上的截距为2a；,5.过点A(2，3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 .,答案,解析,3x2y0或xy50,当直线不过原点时，设直线方程为 1，即xya，将点A(2，3)代入，得a5，即直线方程为xy50.故所求直线的方
4、程为3x2y0或xy50.,题型分类 深度剖析,题型一 直线的倾斜角与斜率,例1 (1)(2016北京东城区期末)已知直线l的倾斜角为，斜率为k，那么 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,答案,解析,(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0， )为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为 .,答案,解析,如图，,几何画板展示,引申探究,1.若将本例(2)中P(1,0)改为P(1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围.,解答,2.若将本例(2)中的B点坐标改为(2，1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的范围.,解答,如图，直
5、线PA的倾斜角为45， 直线PB的倾斜角为135， 由图象知l的倾斜角的范围为 0，45135，180).,思维升华,跟踪训练1 (2017南昌月考)已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y 相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为 A.150 B.135 C.120 D.不存在,答案,解析,几何画板展示,显然直线l的斜率存在， 设过点P(2,0)的直线l为yk(x2)，,当且仅当(2k)222k2，即k2 时等号成立，,题型二 求直线的方程,解答,由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.,即x3y40或x3y40.,(2)经过点P(4,1)，且在两坐标轴
6、上的截距相等；,解答,设直线l在x，y轴上的截距均为a. 若a0，即l过点(0,0)及(4,1)，,a5， l的方程为xy50. 综上可知，直线l的方程为x4y0或xy50.,(3)直线过点(5,10)，到原点的距离为5.,解答,当斜率不存在时，所求直线方程为x50； 当斜率存在时，设其为k， 则所求直线方程为y10k(x5)， 即kxy(105k)0.,故所求直线方程为3x4y250. 综上知，所求直线方程为x50或3x4y250.,思维升华,在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截
7、距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.,跟踪训练2 求适合下列条件的直线方程： (1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等；,解答,设直线l在x，y轴上的截距均为a， 若a0，即l过点(0,0)和(3,2)，,a5，l的方程为xy50， 综上可知，直线l的方程为2x3y0或xy50.,解答,又直线经过点A(1，3)，,即3x4y150.,解答,(3)过点A(1，1)与已知直线l1：2xy60相交于B点且|AB|5.,过点A(1，1)与y轴平行的直线为x1.,求得B点坐标为(1,4)，此
8、时|AB|5， 即x1为所求. 设过A(1，1)且与y轴不平行的直线为y1k(x1)，,即3x4y10. 综上可知，所求直线方程为x1或3x4y10.,题型三 直线方程的综合应用,命题点1 与基本不等式相结合求最值问题,例3 已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.,解答,方法二 依题意知，直线l的斜率k存在且k0. 则直线l的方程为y2k(x3)(k0)，,即ABO的面积的最小值为12. 故所求直线的方程为2x3y120.,例4 已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当0a2时，直线l1，l2
9、与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值.,命题点2 由直线方程解决参数问题,解答,由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2a，直线l2在x轴上的截距为a22，,思维升华,与直线方程有关问题的常见类型及解题策略 (1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值. (2)求直线方程.弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程. (3)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.,跟踪训练3 (2016潍坊模拟)直线l过点P(1,4)，分别
10、交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点，当|OA|OB|最小时，求直线l的方程.,解答,依题意，直线l的斜率存在且斜率为负， 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y4k(x1)(k0).,令x0，可得B(0,4k).,即k2时，|OA|OB|取最小值. 这时直线l的方程为2xy60.,典例 设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR). (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程； (2)若l在两坐标轴上的截距互为相反数，求a.,求与截距有关的直线方程,现场纠错系列11,在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解.
11、,错解展示,现场纠错,纠错心得,返回,解 (1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，a2，方程即为3xy0. 当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.,a0，方程即为xy20. 综上，直线l的方程为3xy0或xy20.,a2或a2.,返回,课时作业,1.(2016北京顺义区检测)若直线y2x3k14与直线x4y3k2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是 A.62,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,因为直线y2x3k14与直线x4y3k2的交点位于第四象限， 所以k60且k20，所以6k2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1
12、2,13,2.(2016威海模拟)过点(2,1)且倾斜角比直线yx1的倾斜角小 的直线方程是 A.x2 B.y1 C.x1 D.y2,答案,解析,斜率不存在，过点(2,1)的所求直线方程为x2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.(2016合肥检测)已知点A在直线x2y10上，点B在直线x2y30上，线段AB的中点为P(x0，y0)，且满足y0x02，则 的取值范围为,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,AB的中点为P(x0，y0)，B(2x0x1,2y0y1). A，B分别在直线x2y10和x2y30上， x12y110,2x
13、0x12(2y0y1)30， 2x04y020，即x02y010.,又y0x02，kx0x02，即(k1)x02，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.已知两点M(2，3)，N(3，2)，直线l过点P(1,1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是,答案,解析,如图所示，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,要使直线l与线段MN相交， 当l的倾斜角小于90时，kkPN； 当l的倾斜角大于90时，kkPM，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.直线axbyc0同时要经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足 A
14、.ab0，bc0，bc0 C.ab0 D.ab0，bc0,答案,解析,由于直线axbyc0经过第一、二、四象限，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则 A.k1k2k3 B.k3k1k2 C.k3k2k1 D.k1k3k2,答案,解析,直线l1的倾斜角1是钝角，故k10，直线l2与l3的倾斜角2与3均为锐角且23，所以0k3k2，因此k1k3k2，故选D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是 .,答案,解析,3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.(2016潍坊模拟)直线l过点(2,2)且与x轴，y轴分别交于点(a,0)，(0，b)，若|a|b|，则直线l的方程为 .,答案,解析,xy0或xy40,若ab0，则直线l过点(0,0)与(2,2)， 直线l的斜率k1，直线l的方程为yx，即xy0.,此时，直线l的方程为xy40.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.设点A(1,0)，B(1,0)，直线2xyb0与线段AB相交，则b的取值范围是 .,
