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1、第一节第一节 大数定律大数定律一、问题的引入一、问题的引入二、基本定理二、基本定理一、问题的引入一、问题的引入实例实例2 2频率的稳定性频率的稳定性随着试验次数的增加随着试验次数的增加, 事件发生的频率逐渐稳事件发生的频率逐渐稳定于某个常数定于某个常数.启示启示:从实践中人们发现大量测量值的算术平从实践中人们发现大量测量值的算术平均值有稳定性均值有稳定性.实例实例1 测量一个物体的长度，真实值为测量一个物体的长度，真实值为a，记录，记录下下n次测量结果：次测量结果： ，当，当n很大时，算术很大时，算术平均值平均值 。 二、大数定律二、大数定律辛钦大数定理辛钦大数定理称称分析分析引入随机变量引入
2、随机变量伯努利大数定理伯努利大数定理显然显然所以所以即即亦即亦即 大数定律描述了大数定律描述了n个随机变量的算术平均值个随机变量的算术平均值 在某种条件下在某种条件下依概率收敛依概率收敛到它的数学期望到它的数学期望 ，记作，记作 ，即，即n个个r.v.的算术的算术平均值，它仍是一个平均值，它仍是一个r.v.；但当试验次数；但当试验次数n无限增大无限增大时，此时，此r.v.将趋向于某个常数，即它的数学期望（随将趋向于某个常数，即它的数学期望（随机性消失了）。机性消失了）。第二节第二节 中心极限定理中心极限定理一、基本定理一、基本定理二、典型例题二、典型例题一、基本定理一、基本定理定理一（定理一（
3、独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理）定理一表明定理一表明:定理一也表明：当定理一也表明：当n充分大时充分大时定理二定理二( (李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理) )则随机变量之和的标准化变量则随机变量之和的标准化变量定理二也表明：当定理二也表明：当n充分大时充分大时证明证明定理三定理三( (德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理) )因为因为，所以，所以根据定理一得根据定理一得定理三表明定理三表明: 正态分布是二项分布的极限分布正态分布是二项分布的极限分布, 当当n充分充分大时大时, 可以利用该定理来计算二项分布的概率可以利用该定理来计算二项分布的概率. 中心极限定理表明中心极限定理表
4、明, 在相当一般的条件下在相当一般的条件下, 当当独立独立随机变量的个数随机变量的个数n n增加时增加时, 其和其和 的分布趋于正态分布的分布趋于正态分布 ， 因此，当独立随机变量的个数因此，当独立随机变量的个数n n充分大时充分大时, 不论不论随机变量服从什么分布，只要满足定理的条件，随机变量服从什么分布，只要满足定理的条件，其和近似服从正态分布。其和近似服从正态分布。 三、典型例题三、典型例题解解例例1由中心极限定理知：由中心极限定理知： 将船舶每遭受一次海将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验浪的冲击看作一次试验, 一船舶在某海区航行一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次海浪已知每遭受一次
5、海浪的冲击的冲击, 纵摇角大于纵摇角大于 3 的概率为的概率为1/3, 若船舶遭受若船舶遭受了了90 000次波浪冲击次波浪冲击, 问其中有问其中有29 50030 500次次纵摇角大于纵摇角大于 3 的概率是多少？的概率是多少？分析分析并假设各次试验是独立的并假设各次试验是独立的,在在90 000次波浪冲击中纵摇角大于次波浪冲击中纵摇角大于 3 的次数为的次数为 X,则则 X 是一个随机变量是一个随机变量,例例2所求概率为所求概率为分布律为分布律为直接计算很麻烦，利用直接计算很麻烦，利用德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理由中心极限定理知：由中心极限定理知：设设90 000次波浪冲击中纵摇角
6、大于次波浪冲击中纵摇角大于 3 的次数为的次数为 X,解：解：则则第五章第五章 大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理习习 题题 课课二、主要内容二、主要内容三、典型例题三、典型例题一、重点与难点一、重点与难点一、重点与难点一、重点与难点中心极限定理及其运用中心极限定理及其运用.理解大数定律，记住其结论理解大数定律，记住其结论大数定律大数定律二、主要内容二、主要内容中心极限定理中心极限定理辛辛钦钦大大数数定定律律伯伯努努利利大大数数定定律律定定理理一一定定理理二二定定理理三三辛钦定理辛钦定理伯努利大数定理伯努利大数定理独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理三、典型例题三、典型例题 解解例例1根据根据独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理知知的极限分布是标准正态分布的极限分布是标准正态分布.解解例例2根据题意根据题意, 所求概率为所求概率为由由中心极限定理中心极限定理有有:
