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1、光学专辑答案第 21 届预赛 2004.9.5一、1. d. 10 192. a正确,b不正确。理由:反射时光频率 不变,这表明每个光子能量h 不变。评分标准:本题15分,第1问10分,每一空2分。第二问5分,其中结论占2分,理由占3分。六、把酒杯放平,分析成像问题。 1未斟酒时,杯底凸球面的两侧介质的折射率分别为n 1和n 01。在图1中,P为画片中心,由P 发出经过球心C的光线 PO经过顶点不变方向进入空气中;由P发出的与PO成 角的另一光线PA 在A 处折射。设 A处入射角为i ,折射角为r,半径CA与PO的夹角为 ,由折射定律和几何关系可得n1sinin 0sinr (1) i+ (2
2、)在PAC中,由正弦定理,有(3)siniRPC考虑近轴光线成像, 、i、r 都是小角度,则有(4)10(5)RiPC由(2)、(4)、(5)式、n 0、n l、R 的数值及 cm可得4.8PCO 1.31i (6)r 1.56i (7)由(6)、(7)式有r (8)由上式及图1可知,折射线将与PO延长线相交于P ,P 即为P点的实像画面将成实像于P 处。在CAP 中,由正弦定理有(9)siniRCPr图 1又有 r + (10)考虑到是近轴光线,由(9)、(l0 )式可得(11)CPRr又有(12)O由以上各式并代入数据,可得cm (13)7.9P由此可见,未斟酒时,画片上景物所成实像在杯口
3、距O 点7.9 cm处。已知O到杯口平面的距离为8.0cm ,当人眼在杯口处向杯底方向观看时,该实像离人眼太近,所以看不出画片上的景物。2斟酒后,杯底凸球面两侧介质分别为玻璃和酒,折射率分别为n 1和n 2,如图2所示,考虑到近轴光线有(14)12nri代入n 1和n 2的值,可得r1.16i (15)与(6)式比较,可知r (16)由上式及图2可知,折射线将与OP延长线相交于P ,P 即为 P点的虚像。画面将成虚像于P 处。计算可得(17)rCR又有(18)OP由以上各式并代入数据得cm (19)13由此可见,斟酒后画片上景物成虚像于P处,距O点13cm即距杯口21 cm。虽然该虚像还要因酒
4、液平表面的折射而向杯口处拉近一定距离,但仍然离杯口处足够远,所以人眼在杯口处向杯底方向观看时,可以看到画片上景物的虚像。图 2评分标准:本题15分求得(13)式给5分,说明“看不出”再给2分;求出(l9)式,给5分,说明“看到”再给3分。第 21 届复赛四、1考虑到使 3 个点光源的 3 束光分别通过 3 个透镜都成实像于 P 点的要求,组合透镜所在的平面应垂直于 z 轴,三个光心 O1、O 2、O 3 的连线平行于 3 个光源的连线,O 2 位于 z 轴上,如图 1 所示图中表示组合透镜的平面, 、 、 为三个光束M S2中心光线与该平面的交点 u 就是物距根据透镜成像公式(1)fuL1可解
5、得4212fLu因为要保证经透镜折射后的光线都能全部会聚于 P 点,来自各光源的光线在投射到透镜之前不能交叉,必须有 2utan h 即 u2h在上式中取“”号,代入 f 和 L 的值,算得1.757h (2)36(此解满足上面的条件 分别作 3 个点光源与 P 点的连线为使 3 个点光源都能同时成像于 P 点,3 个透镜的光心 O1、O 2、O 3 应分别位于这 3 条连线上(如图 1) 由几何关系知,有(3) hhLuO854.0)24(21 即光心 O1 的位置应在 之下与 的距离为S(4)S16.21同理,O 3 的位置应在 之上与 的距离为 0.146h 处由(3)式可知组合透镜中相
6、邻薄透镜33中心之间距离必须等于 0.854h,才能使 S1、S 2、S 3 都能成像于 P 点2现在讨论如何把三个透镜 L1、L 2、L 3 加工组装成组合透镜因为三个透镜的半径 r = 0.75h,将它们的光心分别放置到 O1、 O2、 O3处时,由于 0.854h2r,透镜必然发生相互重叠,必须对透镜进行加工,各切去一部分,132然后再将它们粘起来,才能满足(3)式的要求由于对称关系,我们只需讨论上半部分的情况图 2 画出了 L1、L 2 放在 平面内时相互交叠的情M况(纸面为 平面) 图中 C1、C 2 表示 L1、L 2 的边缘,、 为光束中心光线与透镜的交点,W 1、W 2 分别为
7、1SC1、C 2 与 O1O2 的交点为圆心的圆 1 和以 (与 O2 重合)为圆心的圆 2 分别 S是光源 S1 和 S2 投射到 L1 和 L2 时产生的光斑的边缘,其半zLS1PS2 hh1SS3O1O2(S2)O3图 1MMu0.146h0.854h0.439h0.439hhS1O2 (S2)O1W1W2Q QN NT TC1C2圆 1圆 2图 2x2x1K径均为(5)hu439.0tan根据题意,圆 1 和圆 2 内的光线必须能全部进入透镜首先,圆 1 的 K 点(见图 2)是否落在 L1 上?由几何关系可知(6)hrSOK75.058.16.1 故从 S1 发出的光束能全部进入 L
8、1为了保证全部光束能进入透镜组合,对 L1 和 L2 进行加工时必须保留圆 1 和圆 2 内的透镜部分下面举出一种对透镜进行加工、组装的方法在 O1 和 O2 之间作垂直于 O1O2 且分别与圆 1 和圆 2 相切的切线 和 若沿位于 和 之间且与它们平行的任意直线QNQN对透镜 L1 和 L2 进行切割,去掉两透镜的弓形部分,然后把它们沿此线粘合就得到符T合所需组合透镜的上半部同理,对 L2 的下半部和 L3 进行切割,然后将 L2 的下半部和 L3粘合起来,就得到符合需要的整个组合透镜这个组合透镜可以将 S1、S 2、S 3 发出的全部光线都会聚到 P 点现在计算 和 的位置以及对各个透镜
9、切去部分的大小应符合的条件设透镜L1 被切去部分沿 O1O2 方向的长度为 x1,透镜 L2 被切去部分沿 O1O2 方向的长度为 x2,如图2 所示,则对任意一条切割线 , x1、x 2 之和为T(7)hrd64.021由于 必须在 和 之间,从图 2 可看出,沿 切割时,x 1 达最大值(x 1M),x 2 达TQN Q最小值(x 2m), 11OSrxM代入 r, 和 的值,得1OS(8)h457.0代入(7)式,得(9)xdMm189.2由图 2 可看出,沿 切割时,x 2 达最大值(x 2M),x 1 达最小值(x 1m), N r代入 r 和 的值,得(10)h3.02(11)xd
10、Mm51由对称性,对 L3 的加工与对 L1 相同,对 L2 下半部的加工与对上半部的加工相同评分标准:本题 20 分第 1 问 10 分,其中(2)式 5 分, (3)式 5 分,第 2 问 10 分,其中(5)式 3 分,(6)式 3 分,(7) 式 2 分,(8) 式、(9)式共 1 分,(10)式、(11)式共 1 分如果学生解答中没有(7)(11)式,但说了“将图 2 中三个圆锥光束照射到透镜部分全部保留,透镜其它部分可根据需要磨去(或切割掉) ”给 3 分,再说明将加工后的透镜组装成透镜组合时必须保证 O1O2=O1O2=0.854h,再给 1 分,即给(7)(11) 式的全分(4
11、 分) 第 20 届预赛一、参考解答(1) 右 f 实 倒 1 。(2) 左 2f 实 倒 1 。评分标准:本题 20 分,每空 2 分。第 20 届复赛四、参考解答图复解 20-4-1 中画出的是进入玻璃半球的任一光线的光路(图中阴影处是无光线进入的区域) ,光线在球面上的入射角和折射角分别为 和 ,折射光线与坐标轴的交点在 。i P令轴上 的距离为 , 的距离为 ,根据折射定律,有OPxMPl(1)sin在 中OMP(2)sinlxi(3)22cosRi由式(1)和式(2)得xl再由式(3)得22(cos)nxi设 点到 的距离为 ,有MOxhsiR222coniRh得 22xxn(4)2
12、1()0Rh解式(4)可得(5)2221nnx为排除上式中应舍弃的解,令 ,则 处应为玻璃半球在光轴 上的傍轴焦点,由上0hxOx式 2(1)1nnxRR或由图可知,应有 ,故式(5)中应排除号中的负号,所以 应表示为R x(6)222hhxn上式给出 随 变化的关系。xh因为半球平表面中心有涂黑的面积,所以进入玻璃半球的光线都有 ,其中折射0h光线与 轴交点最远处的坐标为O(7)2220001nRhnhx在轴上 处,无光线通过。0x随 增大,球面上入射角 增大,当 大于临界角 时,即会发生全反射,没有折射光hiiCi线。与临界角 相应的光线有CiC1sinhR这光线的折射线与轴线的交点处于(
13、8)22C11nRxn在轴 上 处没有折射光线通过。OxR由以上分析可知,在轴 上玻璃半球以右Ox(9)C0的一段为有光线段,其它各点属于无光线段。 与 就是所要求的分界点,如图复解 20-0xC4-2 所 示评分标准:本题 20 分。求得式(7)并指出在 轴上 处无光线通过,给 10 分;求得式(8)并指出在 轴Ox0 Ox上 处无光线通过,给 6 分;得到式(9)并指出 上有光线段的位置,给 4 分。0x Ox第 19 届预赛五、参考解答由于光学系统是左右对称的,物、像又是左右对称的,光路一定是左右对称的。该光线在棱镜中的部分与光轴平行。由 射向 光心的光线的光路图如图预解 19-5 所示。由对S1L称性可知12ir由几何关系得 1260ri由图可见1ir又从 的边角关系得1FSOtan/yf代入数值得rct(14.3/0)25.49由、与式得 ,1.i根据折射定律,求得 1sin.65r评分标准:本题 20 分1. 图预解 19-5 的光路图 4 分。未说明这是两个左右对称性的结果只给 2