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1、光学专辑答案第 21 届预赛 2004.9.5一、1. d. 10 192. a正确，b不正确。理由：反射时光频率 不变，这表明每个光子能量h 不变。评分标准：本题15分，第1问10分，每一空2分。第二问5分，其中结论占2分，理由占3分。六、把酒杯放平，分析成像问题。 1未斟酒时，杯底凸球面的两侧介质的折射率分别为n 1和n 01。在图1中，P为画片中心，由P 发出经过球心C的光线 PO经过顶点不变方向进入空气中；由P发出的与PO成 角的另一光线PA 在A 处折射。设 A处入射角为i ，折射角为r，半径CA与PO的夹角为 ，由折射定律和几何关系可得n1sinin 0sinr （1） i+ （2
2、）在PAC中，由正弦定理，有（3）siniRPC考虑近轴光线成像， 、i、r 都是小角度，则有（4）10（5）RiPC由（2）、（4）、（5）式、n 0、n l、R 的数值及 cm可得4.8PCO 1.31i （6）r 1.56i （7）由（6）、（7）式有r （8）由上式及图1可知，折射线将与PO延长线相交于P ，P 即为P点的实像画面将成实像于P 处。在CAP 中，由正弦定理有（9）siniRCPr图 1又有 r + (10)考虑到是近轴光线，由（9）、（l0 ）式可得(11)CPRr又有（12）O由以上各式并代入数据，可得cm （13）7.9P由此可见，未斟酒时，画片上景物所成实像在杯口
3、距O 点7.9 cm处。已知O到杯口平面的距离为8.0cm ，当人眼在杯口处向杯底方向观看时，该实像离人眼太近，所以看不出画片上的景物。2斟酒后，杯底凸球面两侧介质分别为玻璃和酒，折射率分别为n 1和n 2，如图2所示，考虑到近轴光线有（14）12nri代入n 1和n 2的值，可得r1.16i （15）与（6）式比较，可知r （16）由上式及图2可知，折射线将与OP延长线相交于P ，P 即为 P点的虚像。画面将成虚像于P 处。计算可得（17）rCR又有（18）OP由以上各式并代入数据得cm （19）13由此可见，斟酒后画片上景物成虚像于P处，距O点13cm即距杯口21 cm。虽然该虚像还要因酒
4、液平表面的折射而向杯口处拉近一定距离，但仍然离杯口处足够远，所以人眼在杯口处向杯底方向观看时，可以看到画片上景物的虚像。图 2评分标准：本题15分求得（13）式给5分，说明“看不出”再给2分；求出（l9）式，给5分，说明“看到”再给3分。第 21 届复赛四、1考虑到使 3 个点光源的 3 束光分别通过 3 个透镜都成实像于 P 点的要求，组合透镜所在的平面应垂直于 z 轴，三个光心 O1、O 2、O 3 的连线平行于 3 个光源的连线，O 2 位于 z 轴上，如图 1 所示图中表示组合透镜的平面， 、 、 为三个光束M S2中心光线与该平面的交点 u 就是物距根据透镜成像公式(1)fuL1可解
5、得4212fLu因为要保证经透镜折射后的光线都能全部会聚于 P 点，来自各光源的光线在投射到透镜之前不能交叉，必须有 2utan h 即 u2h在上式中取“”号，代入 f 和 L 的值，算得1.757h (2)36(此解满足上面的条件 分别作 3 个点光源与 P 点的连线为使 3 个点光源都能同时成像于 P 点，3 个透镜的光心 O1、O 2、O 3 应分别位于这 3 条连线上（如图 1） 由几何关系知，有(3) hhLuO854.0)24(21 即光心 O1 的位置应在 之下与 的距离为S(4)S16.21同理，O 3 的位置应在 之上与 的距离为 0.146h 处由(3)式可知组合透镜中相
6、邻薄透镜33中心之间距离必须等于 0.854h，才能使 S1、S 2、S 3 都能成像于 P 点2现在讨论如何把三个透镜 L1、L 2、L 3 加工组装成组合透镜因为三个透镜的半径 r = 0.75h，将它们的光心分别放置到 O1、 O2、 O3处时，由于 0.854h2r，透镜必然发生相互重叠，必须对透镜进行加工，各切去一部分，132然后再将它们粘起来，才能满足(3)式的要求由于对称关系，我们只需讨论上半部分的情况图 2 画出了 L1、L 2 放在 平面内时相互交叠的情M况（纸面为 平面） 图中 C1、C 2 表示 L1、L 2 的边缘，、 为光束中心光线与透镜的交点，W 1、W 2 分别为
7、1SC1、C 2 与 O1O2 的交点为圆心的圆 1 和以 （与 O2 重合）为圆心的圆 2 分别 S是光源 S1 和 S2 投射到 L1 和 L2 时产生的光斑的边缘，其半zLS1PS2 hh1SS3O1O2(S2)O3图 1MMu0.146h0.854h0.439h0.439hhS1O2 (S2)O1W1W2Q QN NT TC1C2圆 1圆 2图 2x2x1K径均为(5)hu439.0tan根据题意，圆 1 和圆 2 内的光线必须能全部进入透镜首先，圆 1 的 K 点（见图 2）是否落在 L1 上？由几何关系可知(6)hrSOK75.058.16.1 故从 S1 发出的光束能全部进入 L
8、1为了保证全部光束能进入透镜组合，对 L1 和 L2 进行加工时必须保留圆 1 和圆 2 内的透镜部分下面举出一种对透镜进行加工、组装的方法在 O1 和 O2 之间作垂直于 O1O2 且分别与圆 1 和圆 2 相切的切线 和 若沿位于 和 之间且与它们平行的任意直线QNQN对透镜 L1 和 L2 进行切割，去掉两透镜的弓形部分，然后把它们沿此线粘合就得到符T合所需组合透镜的上半部同理，对 L2 的下半部和 L3 进行切割，然后将 L2 的下半部和 L3粘合起来，就得到符合需要的整个组合透镜这个组合透镜可以将 S1、S 2、S 3 发出的全部光线都会聚到 P 点现在计算 和 的位置以及对各个透镜
9、切去部分的大小应符合的条件设透镜L1 被切去部分沿 O1O2 方向的长度为 x1，透镜 L2 被切去部分沿 O1O2 方向的长度为 x2，如图2 所示，则对任意一条切割线 ， x1、x 2 之和为T（7）hrd64.021由于 必须在 和 之间，从图 2 可看出，沿 切割时，x 1 达最大值(x 1M)，x 2 达TQN Q最小值(x 2m)， 11OSrxM代入 r， 和 的值，得1OS(8)h457.0代入(7)式，得(9)xdMm189.2由图 2 可看出，沿 切割时，x 2 达最大值(x 2M)，x 1 达最小值(x 1m)， N r代入 r 和 的值，得(10)h3.02（11）xd
10、Mm51由对称性，对 L3 的加工与对 L1 相同，对 L2 下半部的加工与对上半部的加工相同评分标准：本题 20 分第 1 问 10 分，其中（2）式 5 分， （3）式 5 分，第 2 问 10 分，其中(5)式 3 分，(6)式 3 分，(7) 式 2 分，(8) 式、(9)式共 1 分，(10)式、(11)式共 1 分如果学生解答中没有(7)(11)式，但说了“将图 2 中三个圆锥光束照射到透镜部分全部保留，透镜其它部分可根据需要磨去（或切割掉） ”给 3 分，再说明将加工后的透镜组装成透镜组合时必须保证 O1O2=O1O2=0.854h，再给 1 分，即给(7)(11) 式的全分（4
11、 分） 第 20 届预赛一、参考解答（1） 右 f 实 倒 1 。（2） 左 2f 实 倒 1 。评分标准：本题 20 分，每空 2 分。第 20 届复赛四、参考解答图复解 20-4-1 中画出的是进入玻璃半球的任一光线的光路（图中阴影处是无光线进入的区域） ，光线在球面上的入射角和折射角分别为 和 ，折射光线与坐标轴的交点在 。i P令轴上 的距离为 ， 的距离为 ，根据折射定律，有OPxMPl（1）sin在 中OMP（2）sinlxi（3）22cosRi由式（1）和式（2）得xl再由式（3）得22(cos)nxi设 点到 的距离为 ，有MOxhsiR222coniRh得 22xxn（4）2
12、1()0Rh解式（4）可得（5）2221nnx为排除上式中应舍弃的解，令 ，则 处应为玻璃半球在光轴 上的傍轴焦点，由上0hxOx式 2(1)1nnxRR或由图可知，应有 ，故式（5）中应排除号中的负号，所以 应表示为R x（6）222hhxn上式给出 随 变化的关系。xh因为半球平表面中心有涂黑的面积，所以进入玻璃半球的光线都有 ，其中折射0h光线与 轴交点最远处的坐标为O（7）2220001nRhnhx在轴上 处，无光线通过。0x随 增大，球面上入射角 增大，当 大于临界角 时，即会发生全反射，没有折射光hiiCi线。与临界角 相应的光线有CiC1sinhR这光线的折射线与轴线的交点处于（
13、8）22C11nRxn在轴 上 处没有折射光线通过。OxR由以上分析可知，在轴 上玻璃半球以右Ox（9）C0的一段为有光线段，其它各点属于无光线段。 与 就是所要求的分界点，如图复解 20-0xC4-2 所 示评分标准：本题 20 分。求得式（7）并指出在 轴上 处无光线通过，给 10 分；求得式（8）并指出在 轴Ox0 Ox上 处无光线通过，给 6 分；得到式（9）并指出 上有光线段的位置，给 4 分。0x Ox第 19 届预赛五、参考解答由于光学系统是左右对称的，物、像又是左右对称的，光路一定是左右对称的。该光线在棱镜中的部分与光轴平行。由 射向 光心的光线的光路图如图预解 19-5 所示。由对S1L称性可知12ir由几何关系得 1260ri由图可见1ir又从 的边角关系得1FSOtan/yf代入数值得rct(14.3/0)25.49由、与式得 ，1.i根据折射定律，求得 1sin.65r评分标准：本题 20 分1. 图预解 19-5 的光路图 4 分。未说明这是两个左右对称性的结果只给 2
