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1、第四节 一阶线性微分方程,一、一阶线性微分方程,二、一阶线性方程的解法,三、一阶线性方程的解法小结,华南理工大学数学科学学院 杨立洪 博士,一、一阶线性微分方程,的微分方程叫做一阶线性微分方程。,一阶线性微分方程的标准式：,（2）,是一阶非齐次线性方程,不是线性方程。,例如：,是一阶齐次线性方程,（1）,（3）,（2）,二、一阶线性方程的解法,1一阶齐次线性方程的求解：,（3）,讨论：这也是一个可分离变量的方程。,分离变量：,两边积分：,一阶齐次线性方程（3）的通解为：,（4）,2一阶非齐次线性方程的求解：,（5）,原方程可化为,两边积分得:,记,讨论：,这就是一阶非齐次线性方程得通解形式，,
2、与相对应的齐次线性方程的通解相比：,则,即把对应的齐次线性方程通解中的常数变为,待定函数的方法。,设,是一阶非齐次线性方程的通解，,常数变化法：,则,得,积分得：,一阶非齐次线性方程的通解为：,三、一阶线性方程的解法小结,1一阶齐次线性方程的求解,方法一：直接用分式,方法二：采用分离变量法,2一阶非齐次线性方程的求解,方法一：直接用公式,注：常用到换底公式,方法三：解的结构法,方法二： 采用常数变易法,先求：,再设：,代入方程，求出C(x)即可。,先介绍一阶线性方程求解之例。,解一：（公式法）这是标准的一阶线性,四、例题（）,微分方程形式,所以，原方程的通解为：,则,代入得：,所以，通解为：,
3、所以,进而，我们有,解：原方程化为,视,故其通解为：,解：由题设有,即,这是一阶线性方程，其通解为：,故所求曲线为：,五、贝努利方程及其求解,伯努利（Bernoulli）方程的标准形式,当n0，1时，方程为线性微分方程；,当n0，1时，方程为非线性微分方程。,代入得,这是一阶线性微分方程，求出通解后，再将,代回即可。,解法：当n0，1时，需经过变量代换化为,一阶线性微分方程求解；,为此，两端除以,得,六、例题（）,下面介绍贝努利方程的求解之例。,解：这是贝努利方程，n2；,方程变形为,代入并整理，得,故该一阶线性方程的通解为：,原方程的通解为:,解：原方程化为,代入并整理，得,七例题（）,下面
4、我们再举几个有关变量代换的例题。,例6 解方程,分离变量，并两边积分，,得,解二：原方程化为,例7 解方程,，即,由分离变量法，得, 所求通解为,八、小结,本节内容有：,1、一阶线性方程的求解：,（1）公式法：通解,（2）常数变易法。,2、贝努利方程的求解法：作变换：,3、一些常见的变量代换：根据方程的特点，,灵活地作变量代换去求解一阶线性微分方,程。,九、重点,一阶非齐次线性方程的求解。,十、难点,贝努利方程求解。,十一、主要题型,1、一阶齐次线性方程求解；,2、一阶非齐次线性方程求解；,3、贝努利方程求解；,4、常见简单的变量代换。,1、熟记一阶线性方程的通解公式，也要,了解常数变量法；,
5、2、记住贝努利方程化为一阶线性方程的,十二、学习方法建议,变量代换 ：,十三、课堂练习题,1、解方程,2、解方程,十四、课堂练习题解,1、解一（公式法）这是一阶线性方程，,其通解为：,先解对应的齐次线性方程,其通解为,则,代入得, 原方程通解为：,解二（常数变易法）,所以,2、解 此为贝努利方程，,代入得,原方程化为, 原方程通解为,十五、自测题,1、解方程,3、解方程,4、解方程,5、解方程,求特解,2、解方程,1、解 将方程标准化,十六、自测题解,2、解：将方程标准化,故所求特解为,3、解 ： 视,原方程化为,4、解 原方程化为,这是贝努利方程，进一步化为：,代入得,变量还原后，得原方程通解为,变量还原后，得原方程通解为：,代入得,
