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1、1第一章 波动方程 1 方程的导出。定解条件1细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以 u(x,t)表示静止时在 x 点处的点在时刻 t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明 满足方程),(txuEtt其中 为杆的密度， 为杨氏模量。E证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 与 。现在计算这段杆在时刻 的相对伸长。在时刻 这段杆两端的xtt坐标分别为： ),();,(txuxtu其相对伸长等于 ),(), txut x令 ，取极限得在点 的相对伸长为 。由虎克定律，张力 等于0xxx),(tT),(),(tuEtT其中 是在点 的杨氏模量。)(xE设杆
2、的横截面面积为 则作用在杆段 两端的力分别为),(xS),(xxuS)( xut;,.t于是得运动方程 txs)(ES),( xxESu|)(|)(利用微分中值定理，消去 ，再令 得0tu)(x()若 常量，则得)(xs=2)(tx)(xE即得所证。2在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由， (3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。解：(1)杆的两端被固定在 两点则相应的边界条件为lx,0.),(),0(tlut(2)若 为自由端，则杆在 的张力 | 等于零，因此相应的边界条件为 | =0 lxlxxuEtlT)(,l xul同理，若 为自由端，则相应的
3、边界条件为 0(3)若 端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移由函数 给出，则在 端支承的lx )(tvl伸长为 。由虎克定律有)(,tvluxuE)(,tvlkl其中 为支承的刚度系数。由此得边界条件k 其中)()(tflxEk2特别地，若支承固定于一定点上，则 得边界条件,0)(tv 。(uxlx同理，若 端固定在弹性支承上，则得边界条件0xE)(,0tvkx即 )(u.f3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为 22)1()1(tuhxuhxE其中 为圆锥的高(如图 1)h证：如图，不妨设枢轴底面的半径为 1，则点处截面的半径 为：lhx1所以截面积 。利用第 1
4、 题，得2)()xs)(22xuhExtuhx若 为常量，则得Ex)( 22)1()1(tuhxuhx4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。解：如图 2，设弦长为 ，弦的线密度为 ，则 点处的张力 为l x)(xT)()xgT且 的方向总是沿着弦在 点处的切线方向。仍以 表示弦上各点在时刻 沿垂直于 轴方向的位移，取弦段 则弦)(xT ),(txutx),(x段两端张力在 轴方向的投影分别为u )(sin)();(sin(lgxlg 其中 表示 方向与 轴的夹角)(x)T又 .sixut于是得运动方程 ltux)(2 x
5、ulgxg利用微分中值定理，消去 ，再令 得0。)(2xlgt5. 验证 在锥 0 中都满足波动方程221),(ytyxu2yxt22xt证：函数 在锥 0 内对变量 有221),(ytyu2yxttyx,3二阶连续偏导数。且 tyxtu232)(2532)()( ttyxttu )2()( yxttyxtu32)(25222 xyxttx 5tyt同理 2222 yxxyu所以 .252 tutytx 即得所证。6. 在单性杆纵振动时,若考虑摩阻的影响,并设摩阻力密度涵数(即单位质量所受的摩阻力)与杆件在该点的速度大小成正比(比例系数设为 b), 但方向相反 ,试导出这时位移函数所满足的微分
6、方程.解: 利用第 1 题的推导,由题意知此时尚须考虑杆段 上所受的摩阻力.由题设,单位质量所受摩阻力为 ,故x, tub上所受摩阻力为x,运动方程为: tuxspb tuxsbxuEStEStxx2利用微分中值定理，消去 ,再令 得0x .2 tuxsbxuStusx 若 常数，则得)(xstuxbExtu2若 则 得 方 程令也 是 常 量是 常 量 ,., 2ax .22xutbtu2 达朗贝尔公式、 波的传抪1. 证明方程 常 数011222 htuxaxuhx的通解可以写成4xhatGtFu其中 F,G 为任意的单变量可微函数,并由此求解它的初值问题: .,:0tut解：令 则vux
7、hxvuhxhxv2,)()()()()( 222 xvuhuhx 又 2tv代入原方程，得 221tvxhaxvh即 22t由波动方程通解表达式得 atxGtFtxv,所以 hau为原方程的通解。由初始条件得 )1(1xGFxha/所以 )2(10 cdhxx由 两式解出)2(,122121cdhaxhxFxocxxGxo所以 )()()()()21),( atxthatthtu + atx()(.d即为初值问题的解散。问初始条件 与 满足怎样的条件时，齐次波动方程初值问题的解仅由右传播波组成？)(x解：波动方程的通解为5u=F(x-at)+G(x+at)其中 F，G 由初始条件 与 决定。
8、初值问题的解仅由右传播组成，必须且只须对)(x于任何 有 G(x+at) 常数.tx,即对任何 x, G(x) C 0又 G（x）= xaCda02)(21)(所以 应满足)(,（常数）xx01)(或 (x)+ =01a3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）).(022xutatx)0(解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)令 x-at=0 得 =F（0）+G（2x）)(令 x+at=0 得 =F（2x）+G(0)x所以 F(x)= -G(0).)2(G（x）= -F(0).且 F（0）+G(0)= ).0(所以 u(x,t)= + -()2attx.即为古尔沙问
9、题的解。4对非齐次波动方程的初值问题 )(),(,0,022 xxtut tfxau证明：（1） 如果初始条件在 x 轴的区间x ,x 上发生变化，那末对应的解在区间 ，12 1x的影响区域以外不发生变化；2x（2） 在 x 轴区间 上所给的初始条件唯一地确定区间 的决定区2,1x 21,x域中解的数值。证：（1） 非齐次方程初值问题的解为u(x,t)= atxtxat2)()(2d)(+ ttxadf0)(.,1当初始条件发生变化时，仅仅引起以上表达式的前两项发生变化，即仅仅影晌到相应齐次方程初值的解。6当 在 上发生变化，若对任何 t0,有 x+atx ,则区间x-at,x+at 整个落在
10、区间 之外，由解的表达式知),(x2,1x 12 2,1xu(x,t)不发生变化，即对 t0,当 xx +at,也就是（ x,t）落在区间 的影响域12 1,x)0(2taxatx之外，解 u(x,t)不发生变化。 （1）得证。(2). 区间 的决定区域为 21, atxatxt21,在其中任给（x,t）,则21atxtx故区间x-at,x+at完全落在区间 中。因此 上所给的初绐1,x21,x条件 代入达朗贝尔公式唯一地确定出 u(x,t)的数值。)(,x5. 若电报方程 GRuLCuttx 具体形如为 常 数GRLC,atxftx的解（称为阻碍尼波） ，问此时 之间应成立什么关系？GRLC
11、,解 txftxu,aatxfttxftt atxftut 22代入方程，得 012 atxftGRttLGCRtL tfLCaaxfa由于 是任意函数，故 的系数必需恒为零。即f f,0201tGRtLCRtLa于是得 2atu所以tLGCRaec20代入以上方程组中最后一个方程，得 0422 GRLL又 CRCa221,得即 02G7最后得到 RGLC6利用波的反射法求解一端固定并伸长到无穷远处的弦振动问题 0, 0,02tuxxatt 解：满足方程及初始条件的解，由达朗贝尔公式给出：。atxtdtxattx 2121,由题意知 仅在 上给出，为利用达朗贝尔解，必须将 开拓到 上，为此利用
12、边值条件，得,0 x, 0x。attdat21因此对任何 必须有ttt0attd即 必须接奇函数开拓到 上，记开拓后的函数为 ；x, xx,0,0, xx所以。atxtdtxattxu 2121, 0,2121 ,xatdaxtatx ttttxtatx7求方程 形如 的解（称为球面波）其中 。222zuyxat trf, zyr解： trfu,xrux 32221rr3222yuyu)1(3222rzrzz代入原方程，得)(32222 rzyxruatu即 )(22t令 ，则vru8222, rvurvurtvur ，代入方程，得 v 满足22rvat故得通解 )()(),(atrGtFv所以 1ru8求解波动方程的初值问题xtuttt sin|,02解：由非齐次方程初值问题解的公式得ddtxutxttxt0)()(si21sin21),(= t dtxtxxtx0 )(cos)(cos21co)c( = tdt0)sin(isni = ttxt 0)si(coii =ts即 为所求的解。xtuin),(9求解波动方程的初值问题。 20021|,| )(xutattxt解： tatxatxt ddt 0)()(221)
