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1、27第四章向量组的线性相关性1设 , 求 及 .TTTvvv )04,3(,)1,0(,)1,(2 21v321v解 2T),0(31 ,2( T)2,102设 其中 , , ,求 .(5()(331 aa T)315,(1Ta)105,(2Ta)1,4(3a解 由 整理得)2(631 ),4(),0(,2(6TTTT),2(3 已知向量组A a1(0 1 2 3)T a2(3 0 1 2)T a3(2 3 0 1)T B b1(2 1 1 2)T b2(0 2 1 1)T b3(4 4 1 3)T 证明 B 组能由 A 组线性表示 但 A 组不能由 B 组线性表示 证明 由312304) ,
2、( 9718205640 r54076 r 0342 r知 R(A)R(A B)3 所以 B 组能由 A 组线性表示 由 0121023214rr知 R(B)2 因为 R(B)R(B A) 所以 A 组不能由 B 组线性表示4 已知向量组A a1(0 1 1)T a2(1 1 0)T 28B b1(1 0 1)T b2(1 2 1)T b3(3 2 1)T 证明 A 组与 B 组等价 证明 由 01231201203) ,( rr知 R(B)R(B A)2 显然在 A 中有二阶非零子式 故 R(A)2 又 R(A)R(B A)2 所以 R(A)2 从而 R(A)R(B)R(A B) 因此 A
3、组与 B 组等价5 已知 R(a1 a2 a3)2 R(a2 a3 a4)3 证明(1) a1能由 a2 a3线性表示 (2) a4不能由 a1 a2 a3线性表示 证明 (1)由 R(a2 a3 a4)3 知 a2 a3 a4线性无关 故 a2 a3也线性无关 又由 R(a1 a2 a3)2 知 a1 a2 a3线性相关 故 a1能由 a2 a3线性表示 (2)假如 a4能由 a1 a2 a3线性表示 则因为 a1能由 a2 a3线性表示 故a4能由 a2 a3线性表示 从而 a2 a3 a4线性相关 矛盾 因此 a4不能由 a1 a2 a3线性表示6 判定下列向量组是线性相关还是线性无关
4、(1) (1 3 1)T (2 1 0)T (1 4 1)T (2) (2 3 0)T (1 4 0)T (0 0 2)T 解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为 A 因为 0120712rrA所以 R(A)2 小于向量的个数 从而所给向量组线性相关 (2)以所给向量为列向量的矩阵记为 B 因为 020431|B29所以 R(B)3 等于向量的个数 从而所给向量组线性相无关7 问 a 取什么值时下列向量组线性相关？a1(a 1 1)T a2(1 a 1)T a3(1 1 a)T 解 以所给向量为列向量的矩阵记为 A 由)(| aA知 当 a1、0、1 时 R (A)3 此时向量组线性相关 8
5、设 a1 a2线性无关 a1b a2b 线性相关 求向量 b 用 a1 a2线性表示的表示式 解 因为 a1b a2b 线性相关 故存在不全为零的数 1 2使1(a1b)2(a2b)0 由此得 2112 )(a设 则1cbca1(1c)a2 cR 9 设 a1 a2线性相关 b 1 b2也线性相关 问 a1b1 a2b2是否一定线性相关？试举例说明之 解 不一定 例如 当 a1(1 2)T, a2(2 4)T, b1(1 1)T, b2(0 0)T时 有a1b1(1 2)Tb1(0 1)T, a2b2(2 4)T(0 0)T(2 4)T 而 a1b1 a2b2的对应分量不成比例 是线性无关的
6、10举例说明下列各命题是错误的:(1) 若向量组 是线性相关的,则 可由 线性表示.ma,21 1a,2m(2) 若有不全为 0 的数 使 成立, 则,21 01mba30ma,1线性相关, 亦线性相关.mb,1(3) 若只有当 全为 0 时,等式 才能成立,则2 011 mmba线性无关, 亦线性无关.,1 1(4) 若 线性相关, 亦线性相关 ,则有不全为 0 的数, 使ma mb, m,21同时成立.0 解 (1) 设 , 满足 线性相关, 但 不能由)0,(1e32a ma,21 a线性表示.,2m(2) 有不全为零的数 使 m,1 01 mb原式可化为 0)()(1bba取 . 其中
7、 为单位向量,则上式成立,而eaeea ,221 me,1, 均线性相关.m, b(3) 由 (仅当 )1m 1线性无关mb,21取 , 取 为线性无关组. 0 ,满足以上条件,但不能说是 线性无关的.m21(4) Ta)0,(1T),(2T)3,(T)4,0(与题设矛盾.21214b2111设 ,证明向量组 线性相关.143, abaa 4321,b证明 设有 使得4321x则043b0)()()()( 14432 xx32141 aaa(1) 若 线性相关,则存在不全为零的数 ,32,a2,k; ; ; ;xk2k3k434x由 不全为零,知 不全为零,即 线性相关.41, 421,x1,
8、b(2) 若 线性无关, 则 4321,a0432x04321x由 知此齐次方程存在非零解. 则 线性相关.014321,b综合得证.12设 ,且向量组 线性无关,证明向量组rraabab 212121, ra,21线性无关.r,证明 设 则0rkk31 prprr akakak )()()( 2211 0rk因向量组 线性无关 ,故r,201rk 01021 rk因为 故方程组只有零解.10 则 . 所以 线性无关21rkk rb,2113求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:(1) , , ;41a0928243a(2) , , .)3(1T )65,1(2T )7,431(T解(1) 线
9、性相关.12由 82409321Ta 029秩为 2,一组最大线性无关组为 .21,a(2) 74316532Ta 105089301893秩为 2,最大线性无关组为 .Ta21,14利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组,并把其余列向量用最大无关组线性表示:(1) ; (2) .482035197 1401325解 (1) 482035197132r5307234r0347所以第 1、2、3 列构成一个最大无关组.(2) ，1401143r20152432r0021532所以第 1、2、3 列构成一个最大无关组15 设向量组(a 3 1)T (2 b 3)T (1 2 1)T (
10、2 3 1)T的秩为 2 求 a b 解 设 a1(a 3 1)T a2(2 b 3)T a3(1 2 1)T a4(2 3 1)T 因为 520161031) ,( 2143 babrr而 R(a1 a2 a3 a4)2 所以 a2 b5 16设 是一组 维向量,已知 维单位坐标向量 能由它们线性表示,证明n, nne,21线性无关.,21证明 维单位向量 线性无关. 不妨设:ne,21 nnn nakkae 212121所以 TnTnTnTakke 212121两边取行列式，得由 TnnTnakke 212121 02121TnTTnae即 维向量组 所构成矩阵的秩为 . 故 线性无关.n
11、a,21 ,2117设 是 一 组 维 向 量 ,证 明 它 们 线 性 无 关 的 充 分 必 要 条 件 是 ： 任 一 维 向 量 都 可 由 它 们 线 性 表na,21示 .证明设 为一组 维单位向量，对于任意 维向量 n则有 即任一 维向量都可由单位向量线性表示.Tnk),(21 kka21线性无关，且 能由单位向量线性表示，即必 要 性a, n, nnnkk 2122121133故 nTTnnTnTkka 21211221两边取行列式，得 TnnTnkka 21212由 00211221 nnTnTkka 令 . 由nnnkkA 211 TnTTnTTnTaAa 2112121即
12、 都能由 线性表示，因为任一 维向量能由单位向量线性表示，故任,21 a,1一维向量都可以由 线性表示.nn,2已知任一 维向量都可由 线性表示，则单位向量组：充 分 性na,21可由 线性表示，由 8 题知 线性无关.n,21 a, na,2118 设向量组 a1 a2 am线性相关 且 a10 证明存在某个向量 ak (2km) 使 ak能由 a1 a2 ak1线性表示 证明 因为 a1 a2 am线性相关 所以存在不全为零的数 1 2 m 使1a12a2 mam0而且 2 3 m不全为零 这是因为 如若不然 则 1a10 由 a10 知10 矛盾 因此存在 k(2km) 使k0 k1k2 m0于是 1a12a2 kak0ak(1/k)(1a12a2 k1ak1)即 ak能由 a1 a2 ak1线性表示3419设向量组 能由向量组 线性表示为:Brb,1 :Asa,1，Kas),()(1 其中 为 矩阵，且 组线性无关。证
