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1、第 1 页 共 9 页华南理工大学基础部关于 10 级微积分 （经管类）第二学期期末统考的通知通知要点考试的重点内容与要求考试的形式与试卷结构题型示例与答案一、考试的重点内容与要求考试的范围是微积分 （第三版赵树嫄主编）第六、七、八、九章，以下按各章顺序分四个部分明确考试的重点与要求：1、 定积分及其应用理解定积分的定义（含两点补充规定：当 时， ；当ab()0bafxd时， ） 。理解定积分的几何意义与定积分的基本性ab()()baabfxdfxd质。掌握变上限的定积分及其导数的定理求函数的导数。掌握牛顿莱布尼茨公式。掌握定积分的第一、二类换元法及分部积分法。会用定积分求平面图形的面积与旋转
2、体的体积。会求无限区间上的广义积分。 2、 无穷级数理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解级数的基本性质（含级数收敛的必要条件） 。熟悉几何级数（即等比级数） （ 叫公比） 、0naq,q调和级数 与 级数 的敛散性，掌握正项级数的比较判别法及1np1(0)pn比值判别法。了解交错级数的莱布尼茨判别法，了解任意项级数的绝对收敛与条件收敛概念，以及绝对收敛与收敛的关系。 了解幂级数 及其收敛域、和函数等概念，掌握幂级数的收敛半径、0nax收敛区间及收敛域的求法，了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会第 2 页 共 9 页利用函数 、 、 等的麦克劳林展开式将一些简单的函数展开成1xeln(
3、1)x的幂级数。x注意到无穷级数的内容不易掌握，因此复习时应有多次反复。还应注意知识间的联系，例如常数项级数与幂级数之间，前者是后者的基础，后者是前者的发展，两者的一些公式与方法是相通的。3、 多元函数微积分（1）了解空间解析几何的一些有关知识，如空间直角坐标系、曲面方程概念，平面、球面、圆柱面、旋转抛物面、马鞍面等的方程及其图形等。（2）了解多元函数的概念，二元函数的定义域、几何意义及极限与连续概念。掌握二元函数的偏导数、全微分的求法，会求简单函数的二阶偏导数。会求复合函数和隐函数的一阶偏导数，如设 ，而 ，(,)zfuv,xy求偏导数；设 ，而 ， 求全导数；由方程,vxy(,)zfuvx
4、确定 ，求 ；由方程 确定 ，求,0F()yxdy,0Fyz(,)zxy等等。,zxy（3）理解二元函数极值与条件极值的概念，会求二元函数的极值，了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些比较简单的最大值与最小值的应用问题。复习这部分内容要与上学期的求导公式与求导法则联系起来，特别是复合函数的求导法则要十分熟练，经验表明，学好这部分内容“基础是一阶、矛盾是高阶、关键是动手” 。（4）二重积分第 3 页 共 9 页理解二重积分的概念、熟悉二重积分的性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标） 。4、 微分方程了解微分方程、阶、解、通解、初始条件和特解等概念。掌握可分离变量方程、一阶线性方程、
5、齐次方程的解法。会用降阶法求解二阶方程：。()yfx最后我们指出，上述四个部分的内容是本次统考的基本内容，考生应结合课本的例题与教师布置的习题抓好落实；同时也要注意各部分知识间的联系与运用，促进自身数学素质的提高。二、考试的形式与试卷结构1、考试形式为闭卷、笔试，满分 100 分，考试时间为 120 分钟。2、试卷内容比例：定积分及其应用约 30%，无穷级数约 23%，多元函数微积分约 30%，微分方程约 17%， 。3、试卷题型比例：填空题 15%，单项选择题 15%，计算题 49%，解答题 21%。三、题型示例与答案第一部分：题型示例（一） 填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共
6、15 分。把答案写在横线上。 ）1、 定积分 _.21lnexd解：原式= = = =eI2eI13331InI第 4 页 共 9 页2、 设 是连续函数，且 ，则 _.fx20xftd9f解：两边同时求导得31xtdf12xf由 ,0x3qf61qf3、 设 ，则 _.2ln(1)zyxy2zxy解：由 再次微分得xZ 21 xyZ4、 幂级数 的收敛半径 _.13nR解：由 R= = = 1limna13linlim31nli,0R5、 设区域 ，则 _.(,)1,0DxyyxyDed解： 由题意可知 ,0,即 = = =Dxydedyex110 dxey0110dxe= = =01x10
7、x（二） 单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）1、设 则 （ B ）2,0xf1fxdA B 01d1021C D20x20xdx第 5 页 共 9 页解：因为 =1dxf1001dxff所以由题刻知原式= 022、设级数 收敛，则下列级数中收敛的是（ D ）1nuA B 21n1nuC D10nu10nn解：乘以一个常数不改变其收敛性3、下列级数中收敛的是（ A ）A B 1n1nC D12n 1n解：根据分母最高次幂减去分子最高次幂可以判断4、设区域 D 是单位圆 在第一象限的部分，则二重积分 （ 2xyDxydC ）A B221100yxdy 210ydxC D
8、2y 120sinrd解：确定 则 或者 则1,0x2,x1,0y2,yx5、微分方程 满足初始条件 的特解为是（ A ）y2xA B 2xeyeC D1y1x解：因为 所以有 0ydxd第 6 页 共 9 页则1cxInyxcxcxeCey211 20xy2C（三）计算题（本大题共 7 小题，每小题 7 分，共 49 分）1、计算定积分 。0cos3xd解：原式= = = =0in3103sini1dxx003cos1sin1xx 92-2、计算定积分 。402xd解：令 则t121t则 且4,0x3,tdtx303131 31222 2tdttttt原 式3、求微分方程 的通解。ln0xd
9、yx解：由原式可得 dI两边变形得 yInx1得 即 所以IncxxIccxey4、求方程 满足初始条件 的特解。lxy 12x解：由题意可知 令 21InypInq则 = =cdxeeydx21 cdxI1xcI21则 1xc2Iny5、判定级数 的敛散性。4443!2! 第 7 页 共 9 页解:原式= = =0 所以原级数收敛14!n!14limn431lin6、用间接方法将函数 展开成 的幂级数，并指出展式成立的区间。3x解：利用 由题意可得 bInaIbea33xInIxex由 .21xxex所以 !3.!33 nxIInxIn nnxxI0!37、计算二重积分 ，其中 D 是由圆周
10、 及 轴所围成的右半闭2Dxyd24y区域。解：由题意可得 42yx所以与 y 轴所围成的右半闭区域可以表示为即sinco22rr 4)sin(co22r即4因为原式= =Ddrr2sic drD24sinco= = = = =240insidrd024siin310431r2051364（四）解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）1、设由方程 确定隐函数 ，求全微分 。ln0xzy,zxydz解：令 则 IzFzF1y1 2zFxyx2第 8 页 共 9 页=dxzyxzd2 )(2dyz2、求表面积为 而体积为最大的长方体的体积。2a解：设长方体的长宽高分别为 x、y、
11、z 体积为 v 则2yzx令0vxyzvyzxzyxF2,由 ， ， ，02zyxF0 02 yxFv可得 再由vzyx322ayzx得到 a63max6V3求 的值 ，使两曲线 与 所围成的平面图形的面积等于c02y3cx。2解：令 则32cx1=cds1023ccdxxs0102333注：此试题解答过程全部由陈佳奇同学负责，可能解答过程还不够详细，大家谅解下哈。但希望能够给大家一个参考，最后祝大家考出好成绩。第二部分：答案（一）1. 2. 3. 4. 5.1316212xy3R第 9 页 共 9 页1e（二）1.B 2.D 3.A 4.C 5.A（三）1. 2. 3. 4. 5. 6.收293cxye21lnyx0ln3!x敛 7. 6415（四）1. 2. 正方体棱长为 ， 3. 。zdxy6a3max6V12c
