17 第十七章 推理与证明

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1、用心 爱心 专心第十七章 推理与证明知识网络推理与证明推理证明合情推理演绎推理归纳类比直接证明间接证明数学归纳法综合法分析法反证法第 1 讲 合情推理和演绎推理 知识梳理1.推理 根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理.从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一部分是由已知推出的判断,叫结论.2、合情推理:根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情推理。合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出

2、一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。3.演绎推理:从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提-已知的一般原理；（2）小前提-所研究的特殊情况；（3）结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断。重难点突破重点:会用合情推理提出猜想,会用演绎推理进行推理论证,明确合情推理与演绎推理的区别与用心 爱心 专心联系难点:发现两

3、类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明1、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性问题 1：观察： ； ； ；.71525.16.2319321对于任意正实数 ，试写出使 成立的一个条件可以是 _.,abab点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为 22，故 ba2、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征问题 2：已知抛物线有性质：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于 、 两点，则当AB与抛物线的对称轴垂直时， 的长度最短；试将上述命题类比到其他曲线，写出相应ABAB的一个真命题为 点拨：圆锥曲线有很多类

4、似性质， “通径”最短是其中之一，答案可以填：过椭圆的焦点作一直线与椭圆交于 、 两点，则当 与椭圆的长轴垂直时， 的长度最短（）2|abAB3、运用演绎推理的推理形式( 三段论)进行推理问题 3：定义x为不超过 x 的最大整数，则-2.1= 点拨：“大前提”是在 找最大整数，所以-2.1=-3,(热点考点题型探析考点 1 合情推理 题型 1 用归纳推理发现规律例 1 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。； ；2315sin7i5sin020202 23150sin9i0sin202；64 862【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律（1）结构的一致性 ,（2 ）

5、观察角的“共性”解析 猜想： 23)60(sini)60(sin222 证明：左边= 20020 )6sinco6s(ini)icoi = =右边23)cos(sin23【名师指引】 （1）先猜后证是一种常见题型（2 ）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型 ”，二是“递推型” ，三是“循环型”（周期性）例 2 (09 深圳九校联考 ) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂用心 爱心 专心巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有 1 个蜂巢，第二个图有 7 个蜂巢，第三个图有 19 个蜂巢，按此规律，以表示第 幅图的蜂巢总数.则 =_; =_. ()

6、fn(4)f()fn【解题思路】找出 的关系式1()nf解析 ,263,2(,1ff 371826f13)(86)( nn【名师指引】处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系【新题导练】1. (2008 佛山二模文、理)对大于或等于 的自然数 的 次方幂有如下分解方式：2mn2132541357579119根据上述分解规律，则 , 若 的分解中最小的数是 73，则2379*()N的值为_ .m解析 的分解中，最小的数依次为 3，7，13， ，3 2由 得7129m2. (2008 惠州调研二理)函数 由下表定义：()fx若 ， ， ，则 4 05a1()nnfa0,12 207a解

7、析 ， ， ， ， ， ，243,5na43207点评：本题为循环型3. (2008 深圳调研 )图（1） 、 （2 ） 、 （3） 、 （4）分别包含 1 个、5 个、13 个、25 个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎” ，按同样的方式构造图形，设第 个图形包含 个“福娃迎n()fn迎” ，则 ； （答案用数字或 的解析式表示）(5)f()1)fn解析 )1(4)(),41)5( nfnfx51用心 爱心 专心4. (2008揭阳一模)设 ,010211(cos,(),(),()nnfxfxfxffxf ,N则 =（ ）28A. B. C. D. incosicos解析 ， ， ， ，

8、，fs)(0fn)(1f)(2xfsi)(3 xfcos)(4， =4xn208xs0题型 2 用类比推理猜想新的命题例 1 (2008 韶关调研)已知正三角形内切圆的半径是高的 ，把这个结论推广到空间正四面13体，类似的结论是_.【解题思路】从方法的类比入手解析 原问题的解法为等面积法，即 ，类比问题的解法应为等hrahS3121体积法， 即正四面体的内切球的半径是高rShV4314 4【名师指引】 （1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比（2 ）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等例 2 在

9、中, 若 ,则 ,用类比的方法,猜想三棱锥的类似性ABC091cos22BA质,并证明你的猜想【解题思路】考虑两条直角边互相垂直如何类比到空间以及两条直角边与斜边所成的角如何类比到空间 解析 由平面类比到空间, 有如下猜想:“在三棱锥 中，三个侧面ABCP两两垂直，且与底面所成的角分别为 ，则PCAB ,”1coscos222证明：设 在平面 的射影为 ，延长 交 于 ，记OMhO由 得 ，从而 ，又, PAB面 PCC， ，ChPsincohcoshcos hPABAVBCP )cos21cos2121(361 即)ss(hcs【名师指引】 （1）找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，

10、圆对应球，面积对应体积，平面上的角对应空间角等等；（2）找对应元素的对应关系，如：两条边（直线）垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等用心 爱心 专心【新题导练】5. (2008 深圳二模文)现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，a则这两个正方形重叠部分的面积恒为 类比到空间，有两个棱长24a均为 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方a体重叠部分的体积恒为解析 解法的类比（特殊化） ，易得两个正方体重叠部分的体积为 83a6. (2008 梅州一模)已知 的三边长为 ，内切圆半径为 （用ABCcba,r

11、） ，则 ；类比这一结论有：若三棱锥的 面 积表 示SABC AS)(21r的内切球半径为 ，则三棱锥体积 DRBCDAV解析 1(3ABCDACBR7. (2008 届广东省东莞市高三理科数学高考模拟题（二）)在平面直角坐标系中，直线一般方程为 ，圆心在 的圆的一般方程0yx),(0yx为 ；则类似的，在空间直角坐标系中，平面的一般方程为2020)()(ryx_,球心在 的球的一般方程为_.),(0zx解析 ；AxByCzD22200()()yzr8. 对于一元二次方程，有以下正确命题：如果系数 和 都是非零实数，方程1,cba2,和 在复数集上的解集分别是 和 ，则“0121cba22cx

12、ba AB”是“ ”的充分必要条件22试对两个一元二次不等式的解集写出类似的结果，并加以证明解：（3）如果系数 和 都是非零实数，不等式 和1,cba2, 0121cxba的解集分别是 和 ，则“ ”是“ ”的既不充分022xbaAB212cbBA也不必要条件可以举反例加以说明9.已知等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起,如果每一项与它的前一项的差都为同一个常数，那么这个数叫做等差数列，这个常数叫做该数列的公差类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义： ；已知数列 是等和数列，且 ，公和为 ，那么 的值为_这个数列na21a518a的前 项和 的计算公式为_S解析 在一个数列中，如果每一

13、项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数叫做等和用心 爱心 专心数列，这个常数叫做该数列的公和； ；318anS为 偶 数为 奇 数y,251考点 2 演绎推理 题型:利用 “三段论”进行推理例 1 （07 启东中学模拟）某校对文明班的评选设计了 五个方面的多元评价指标，edcba,并通过经验公式样 来计算各班的综合得分，S 的值越高则评价效果越好，若edcbaS1某班在自测过程中各项指标显示出 ，则下阶段要把其中一个指标的值ed0增加 1 个单位，而使得 S 的值增加最多，那么该指标应为 （填入 中的edcba,某个字母）【解题思路】从分式的性质中寻找 S 值的变化规律 解析 因 都为正

14、数，故分子越大或分母越小时， S 的值越大，而在分子都增加 1edcba,的前提下，分母越小时，S 的值增长越多， ，所以 c 增大 1 个单位会abedc0使得 S 的值增加最多【名师指引】此题的大前提是隐含的，需要经过思考才能得到例 2 （03 上海）已知集合 M 是满足下列性质的函数 f(x)的全体：存在非零常数 T，对任意xR，有 f(x+T)=T f(x)成立.（1 ）函数 f(x)= x 是否属于集合 M？说明理由；（2 ）设函数 f(x)=ax（a0,且 a1）的图象与 y=x 的图象有公共点，证明： f(x)=axM；（3 ）若函数 f(x)=sinkxM ,求实数 k 的取值范围.【解题思路】函数 f(x)是否属于集合 M，要看 f(x)是否满足集合 M 的“定义” ，解（1）对于非零常数 T，f(x+T)=x+T, Tf(x)=Tx. 因为对任意 xR，x+T= Tx 不能恒成立，所以f(x)= .（2 ）因为函数 f(x)=ax（a0 且 a1 ）的图象与函数 y=x 的图象有公共点，所以方程组： 有解，消去 y 得 ax=x,y显然 x=0 不是方程 ax=x 的解，所以存在非零常数 T，使 aT=T. 于是对于 f(x)=ax 有 故 f(x)=axM.)