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1、第12章 电路方程的矩阵形式,在实际工程应用中，电路的规模日益增大，结构日趋复杂。为了便于利用计算机作为辅助手段进行电路分析，有必要研究系统化建立电路方程的方法。计算机辅助分析电路所需的基本知识：电路图论和矩阵代数。 下面主要介绍电路图论基础。,第12章 电路方程的矩阵形式,12.1 电路的图,一、图(Graph),1、图：以线段代替电路中的支路，保留原电路中的节点，所构成的点线图，称为原电路对应的图，用G表示。,12.1 电路的图,图反映了支路和节点关联的情况，而不能反映出各支路的具体元件。,2、画图的目的：表达给定电路的节点和支路的互相连接的约束关系(拓扑性质)。,12.1 电路的图,3、
2、同构电路： 具有相同图的电路。,12.1 电路的图,二、子图(Subgraph)：若图Gi的节点和支路均属于图G，则Gi称为G的子图。,12.1 电路的图,注意：,1、支路必须连在节点间。移支路可保留节点。,如移支路1，2，6，节点可保留。,孤立节点,12.1 电路的图,2、移节点必须移去与之相连的支路。,如移节点，支路1，2，6不能保留。,12.1 电路的图,注意：,3、支路可接在同一节点上。此即为自环。,支路7为自环(self-loop)。,12.1 电路的图,注意：,三、路径：任两节点间支路的集合。,（2，4） （2，3，5） （1，5） （6）,12.1 电路的图,四、连通图：任两节点
3、间至少有一条路径。,G,非连通图,12.1 电路的图,12.2 回路、树、割集,12.2 回路、树、割集,一、回路(Loop),图G中的任一闭合路径,如果每一个节点上仅有两条支路相连，则称其为回路。 特点：各节点关联的支路数为2。,12.2 回路、树、割集,12.2 回路、树、割集,12.2 回路、树、割集,思考,下图构不构成一个回路？,答案：不构成。因为中间节点关联的支路数不等于2。,12.2 回路、树、割集,二、树(Tree),1、树 指图G中的一个连通子图，它包含图G的全部节点而不包含任一回路。,12.2 回路、树、割集,12.2 回路、树、割集,1. 含所有节点,2. 不具有回路,3.
4、 连通的,4. 为G的子图,树的特点：,12.2 回路、树、割集,树,未含所有节点 不是树,12.2 回路、树、割集,出现回路 不是树,不是连通图 不是树,不是图G子图 不是树,2、找树的方法 树的个数:det(AAT) a. 穷举法或枚举法； b. 编程法。,12.2 回路、树、割集,12.2 回路、树、割集,完备图,对一个完备图（每个节点关联n-1条支路）来说，树的总数为nn-2。,12.2 回路、树、割集,12.2 回路、树、割集,树支：属于一棵树的支路称为该树的树支,树支数 = n - 1 = 独立节点数,连支：不属于一棵树的支路称为该树的连支,连支的集合称为余树、补树,连支数 = b
5、 (n 1) = 独立回路数,三、基本回路（单连支回路）,12.2 回路、树、割集,在连通图G中选取一棵树后，由一条连支及相应的树支构成的回路称为该树的基本回路（单连支回路）,基本回路数=连支数,基本回路的KVL方程互相独立,不同的树对应不同的基本回路,（2，1，3） （4，3，5） （6，1，5）,（2，1，3） （4，3，1，6） （5，1，6）,12.2 回路、树、割集,（2，1，3） （4，3，5） （6，1，5）,对某个树而言，全部单连支回路的集合，构成单连支回路组或基本回路组。 基本回路组是独立回路组，但独立回路组不一定是单连支回路组。,（2，1，3） （4，3，5） （6，2，4
6、）,12.2 回路、树、割集,四、基本割集（单树支割集）,1、割集 是一组支路的集合。它必须满足：,把这些支路移去，图就分成两个分离的部分（包括孤立节点）。 少移其中任一条支路，图还是连通的。,12.2 回路、树、割集,12.2 回路、树、割集,把这些支路移去，图就分成两个分离的部分（包括孤立节点）。 少移其中任一条支路，图还是连通的。,四、单树支割集（基本割集）,1、割集 是一组支路的集合。它必须满足：,12.2 回路、树、割集,把这些支路移去，图就分成两个分离的部分（包括孤立节点）。 少移其中任一条支路，图还是连通的。,四、单树支割集（基本割集）Qf,1、割集 是一组支路的集合。它必须满足
7、：,12.2 回路、树、割集,把这些支路移去，图就分成两个分离的部分（包括孤立节点）。 少移其中任一条支路，图还是连通的。,四、单树支割集（基本割集）Qf,1、割集 是一组支路的集合。它必须满足：,12.2 回路、树、割集,把这些支路移去，图就分成两个分离的部分（包括孤立节点）。 少移其中任一条支路，图还是连通的。,四、单树支割集（基本割集）Qf,1、割集 是一组支路的集合。它必须满足：,2、找割集的方法 任作一封闭面，让封闭面包围图G的某些节点。如果把被封闭面切割的支路移去，图G即变为封闭面内外两个分离部分，则这些被封闭面所切割的支路的集合就构成图的一个割集。,Q1(4，5，6),12.2
8、回路、树、割集,Q3(1，2，6),Q2(2，3，4),12.2 回路、树、割集,2、找割集的方法 任作一封闭面，让封闭面包围图G的某些节点。如果把被封闭面切割的支路移去，图G即变为封闭面内外两个分离部分，则这些被封闭面所切割的支路的集合就构成图的一个割集。,试判断图中封闭面所切割的支路是否构成割集？,9,正确！ Q1(1，5，9),12.2 回路、树、割集,Q2,9,正确！ Q2(1，2，3，4),试判断图中封闭面所切割的支路是否构成割集？,12.2 回路、树、割集,错误！ 因为补上支路2仍为两个分离图。,试判断图中封闭面所切割的支路是否构成割集？,12.2 回路、树、割集,错误！ 因为原图
9、被分割成五个分离图。,试判断图中封闭面所切割的支路是否构成割集？,12.2 回路、树、割集,3、基本割集（单树支割集）,12.2 回路、树、割集,在连通图G中选取一棵树后，由一条树支及相应的连支构成的割集称为该树的基本割集,基本割集数=树支数=独立节点数,基本割集的KCL方程互相独立,不同的树对应不同的基本割集,基本割集组为独立割集组，但独立割集组不一定为基本割集组。,12.2 回路、树、割集,3、基本割集（单树支割集）,12.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵,12.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵,有向图(Oriented Graph)：若在图中各支路上标上方向（原电路中各支路电流的方向），
10、即形成有向图。,4.4 特勒根定理,一、关联矩阵,1、完全关联矩阵Aa,12.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵,矩阵形式：,12.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵,矩阵形式：,KCL的矩阵形式 Aa为完全关联矩阵,完全关联矩阵反映节点和支路关联的关系。,12.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵,12.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵,矩阵形式：,（降阶） 关联矩阵A (incidence matrix),2、（降阶）关联矩阵A,12.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵,矩阵形式：,2、降阶关联矩阵A,12.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵,特点：某些列只含一个非零元素,矩阵形式：,KCL 的另一种
11、形式,12.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵,3、由降阶关联矩阵A或完全关联矩阵作电路有向图,12.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵,二、回路矩阵 描述有向图中回路和支路关联的性质,1、独立回路矩阵B,12.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵,Bu=0,12.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵,12.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵,2、基本回路矩阵Bf,写Bf步骤： 1、首先选定一棵树； 2、将连支按连支号由小到大的顺序依次排列为1l（ l为连支数）列，将树支号依次排列为l+1b列; 3、将基本回路号与连支的列号对应; 4、取连支方向为基本回路方向。,12.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵,三、
12、割集矩阵 描述有向图中割集和支路关联的性质,1、独立割集矩阵Q:,独立割集的个数为n-1 给割集赋一方向,12.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵,三、割集矩阵 描述有向图中割集和支路关联的性质,1、独立割集矩阵Q:,12.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵,独立割集的个数为n-1 给割集赋一方向,Qi=0 割集意义下的KCL方程,12.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵,12.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵,2、基本割集矩阵Qf,写Qf步骤： 1、首先选定一棵树； 2、将树支按树支号由小到大的顺序依次排列为1n-1列，将连支号依次排列为nb列； 3、将基本割集号与树支的列号对应； 4、取树支方向为基本割集方向。,12.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵,12.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵,12.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵,12.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵,本章要求,1、掌握图、有向图、子图等的概念 2、掌握树、回路、树支、连支、单连支回路、单树支割集的概念 3、熟练掌握关联矩阵A、基本回路矩阵Bf、基本割集矩阵Qf 4、掌握Bf 与Qf的关系,
