《2016-2017学年北师大版必修4 从力做的功到向量的数量积 教案》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2016-2017学年北师大版必修4 从力做的功到向量的数量积 教案(12页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、 从力做的功到向量的数量积(铜鼓中学数学组)1.了解向量的夹角、向量垂直、向量投影等概念.(易错点)2.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.(重点)3.能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题.(难点)基础初探教材整理1向量的数量积阅读教材P83的有关内容,完成下列问题.已知两个非零向量a和b,它们的夹角是,我们把数量|a|b|cos 叫做向量a和b的数量积(或内积),记作ab,即ab|a|b|cos .规定:零向量与任一向量的数量积为0.已知|a|3,|b|6,则(1)若a与b夹角为0,则ab_;(2)若a与b的夹角为60,则ab_;(3)若a与b的夹角为90
2、,则ab_.【解析】(1)若ab,则a与b的夹角为0,ab|a|b|cos 0|a|b|18.(2)ab|a|b|cos 60369.(3)ab|a|b|cos 903600.【答案】(1)18(2)9(3)0教材整理2两个向量的夹角阅读教材P83的有关内容,完成下列问题.1.定义:已知两个非零向量a,b,如图241所示.作a,b,则AOB称为向量a与b的夹角.图2412.范围:0180.3.当0时,a与b同向;当180时,a与b反向.4.当90时,则称向量a与b垂直,记作ab.试指出图242中向量的夹角,图中向量与的夹角_;图中向量与的夹角_;图中向量与的夹角_;图中向量与的夹角_.图242
3、【答案】0180教材整理3向量的数量积的运算律及性质阅读教材P84及P85链接完成下列问题.1.向量数量积的运算律:已知向量a,b,c和实数.(1)abba;(2)(a)ba(b)(ab)ab;(3)(ab)cacbc.2.数量积的性质:(1)aa|a|2或|a|;(2)|ab|a|b|;(3)abab0.3.数量积的几何意义:ab的几何意义是数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积.已知|a|3,|b|5,a与b的夹角为45,则a在b上的投影为_;b与a上的投影为_.【解析】a在b上的投影为|a|cos 453;b在a上的投影为|b|cos 455.【答案】小组
4、合作型向量数量积的运算及几何意义已知|a|2,|b|3,a与 b的夹角为120,求:(1)ab;(2)a2b2;(3)(2ab)(a3b).【精彩点拨】借助数量积的定义及运算律求解(1)(2)(3).【自主解答】(1)ab|a|b|cos 120233.(2)a2b2|a|2|b|2495.(3)(2ab)(a3b)2a25ab3b22|a|25|a|b|cos 1203|b|28152734.1.求平面向量数量积的步骤:求a与b的夹角,0,;分别求|a|和|b|;求数量积,即ab|a|b|cos .要特别注意书写时,a与b之间用实心圆点“”连接,而不能用“”连接,也不能省去.2.较复杂的数量
5、积的运算,需先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简.再练一题1.已知正三角形ABC的边长为1,求:(1);(2);(3).【解】(1)与的夹角为60,|cos 6011.(2)与的夹角为120,|cos 12011.(3)与的夹角为60,|cos 6011.求向量的模已知向量a,b,AOB60,且|a|b|4.求|ab|,|ab|,|3ab|.【精彩点拨】根据已知条件将向量的模利用|a|转化为数量积的运算求解.【自主解答】ab|a|b|cosAOB448,|ab|4,|ab|4,|3ab|4.1.求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,要灵活应用a2|a|2,勿忘记开方.2.一些常
6、见的等式应熟记,如(ab)2a22abb2,(ab)(ab)a2b2等.再练一题2.已知向量a与b夹角为45,且|a|1,|2ab|,则|b|_.【解析】因为|2ab|,所以(2ab)210,所以4a24abb210,又因为向量a与b的夹角为45,且|a|1,所以4|a|24|a|b|cos 45|b|210,故41241|b|b|210,整理得|b|22|b|60,解得|b|或|b|3(舍去),故|b|.【答案】求向量的夹角已知a,b都是非零向量,且a3b与7a5b垂直,a4b与7a2b垂直,求a与b的夹角.【精彩点拨】解答本题可由已知中两个条件的垂直得到两个等式,从而得到a,b之间的关系,
7、再由cos 求得夹角.【自主解答】由已知,得(a3b)(7a5b)0,即7a216ab15b20,(a4b)(7a2b)0,即7a230ab8b20,两式相减,得2abb2,abb2,代入中任一式,得a2b2,设a,b的夹角为,则cos ,0180,60. 1.求向量a,b夹角的流程图: 2.若两非零向量a,b的夹角为锐角ab0且ab|a|b|;两非零向量a,b的夹角为钝角ab0且ab|a|b|.再练一题3.已知单位向量e1,e2的夹角为60,求向量ae1e2,be22e1的夹角.【解】e1,e2为单位向量且夹角为60, e1e211cos 60.ab(e1e2 )(e22e1)2e1e212
8、1,|a|,|b|,cos .又0,180,120.探究共研型数量积的几何意义探究1设非零向量a,b,试用数量积“ab”及|a|,|b|表示a在b上的投影.【提示】a在b上的投影为|a|cos , 又cos ,|a|cos .探究2数量积ab|a|b|cos 的几何意义是什么?【提示】数量积ab等于a的模与b在a方向上的投影|b|cos 的乘积,或等于b的模与a在b方向上的投影|a|cos 的乘积.已知ab9,a在b方向上的投影为3,b在a方向上的投影为,求a与b的夹角. 【精彩点拨】分别列出a在b方向上的投影和b在a方向上的投影,解方程组便可.【自主解答】由题意可知|a|6,|b|3,cos
9、 ,又0,.1.投影是个数量,可正、可负、可为零.2.计算投影时要分清“谁是投影线”,即a在b上的投影为|a|cos ;b在a上的投影为|b|cos .再练一题4.在ABC中,已知|5,|4,|3,求:(1);(2)在方向上的投影;(3)在方向上的投影.【解】|5,|4,|3,ABC为直角三角形,且C90,cos A,cos B.(1)5416;1.若|m|4,|n|6,m与n的夹角为135,则mn_.【解析】mn|m|n|cos 1354612.【答案】122.已知|a|3,|b|5,且ab12,则向量a在b方向上的投影为_.【解析】|a|cos .【答案】3.设|a|3,|b|5,且ab与ab垂直,则_.【解析】(ab)(ab)a22b292520,.【答案】4.下面给出的关系式中正确的有_.0a0;abba;a2|a|2;ab|a|b|;(ab)2a2b2.【解析】正确;|a|b|ab,(ab)2a2b2cos2.【答案】5.已知|a|1,ab,(ab)(ab).(1)求a与b的夹角;(2)求|ab|. 【解】(1)(ab)(ab)a2b2,|a|1,b2a21,|b|,cos ,又0,故a与b的夹角为.(2)|ab|.第 12 页 共 12 页