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1、1.通过例子，掌握求解二阶电路的方法、步骤。,2.通过例子得出二阶电路的一般规律。,* 本节讨论的具体结果只适用于本例，不能套用到 其它电路。但得出的规律具有一般性。,第7章 二阶电路,学习方法,7.1 二阶电路的零输入响应,一.二阶电路,1.定义:用二阶微分方程描述的动态电路称为二阶电路。,2.最简单的二阶电路：RLC串联电路，GLC并联电路。,3.二阶电路中,给定的初始值应有两个,且由储能元件的初始值决定。,二.RLC电路的分析,求 uC(t) , i(t) , uL(t)。,解：,又:,(1),则:,特征根为,根的性质不同，响应的变化规律也不同,分,a.电容电压响应uC:,由初始条件:,
2、1,则,b.电流响应 i:,c.电感电压响应uL :,d.电阻电压响应uR :,由题可知:p1 |p1|，则uC中第一项比第二项衰减的慢。,uC一直单调下降,2,1).,因为 t=0+ ，i=0； t= ，i=0，即在放电过程中，始终有i 0， 故i一定有一个极大值。,设: t = tm 时i 最大。,即,2).,3).,00,t tm i 减小，uL 0,uL(0)=U0,uL()=0,过程中必然有一个uL=0的点,因此也可由 uL= 0 计算 tm：,由 duL / dt =0,则,得,下面求uL取极小值时对应的时间t,即,即,因此 t = 2tm 时 uL 极小； t 2tm 后 uL
3、衰减加快 。,能量转换关系,3,1. 整个过程中uC曲线单调下降，电容一直释放储存的电能。 因此称为非振荡放电过程，又称为过阻尼放电。,2. 电感在ttm时电感释放能量，磁场逐渐衰减，趋向消失。,3. 整个过程完毕，uC=0，i=0，uL=0，电容储藏的能量全部被电阻消耗。,非振荡放电过阻尼:,0 t tm uc减小，i 增加,t tm uc减小， i 减小,例1:,已知Us=10v，C=1F，R=4K，L=1H，在t=0时，开关S由1接至触点2处，求:(1)uC，uR和uL；(2)imax。,解：,1)判断特征方程根:,代入数据:,2).,电容电压:,电路电流:,电阻电压:,电感电压:,3)
4、. 求电流imax的值:,设电流最大值发生在tm时刻,即:, 衰减因子, 固有振荡角频率 （阻尼振荡角频率）,0 无阻尼振荡角频率,特征根为一对共轭复根,1.电容电压uC 响应：,因为p1 ，p2 为共轭复数,虚数,所以,实数,由初始条件,即,2.电容电流 iC 响应 :,3.电感电压uL响应:,因此:,这样,-,2-,2,+,响应曲线:,uL零点： t = ，+，2+n+，亦为iC 极值点。,iC 零点：t =0，2n，亦为uC极值点。,uC零点：t = -，2-n-。,能量转换关系,uC 减小，i 增大,uC 减小，i 减小,|uC |增大，i 减小,特例 R = 0,等幅振荡无阻尼,（三
5、）R0时，特征根为共轭虚根,例2：已知uC(0-)=15kv，C=1700F，R=610-4，L=610-9H。试问: (1) i(t)为多少？(2) i(t)在何时达到最大值?求出imax。,解:,根据已知参数有:,振荡放电过程,由公式:,最大放电电流可达6.36106A.,得,由初始条件,为相等的负实根,小结：,定积分常数,由,本节讨论的具体结果只适用于本例，不能套用到其它电路，而得出的规律具有一般性。但分析方法可推广应用于一般二阶电路。,分析二阶电路的步骤： （1）列写二阶微分方程。RLC串联电路以uC为变量，GLC并联电路以iL为变量。 （2）求解对应的特征根。根据特征根的三种不同情况
6、，对应写出未知变量的通解形式。 （3）用给定的两个初始值来确定待定系数A1、A2或（K、）。不同的电路具有不同的初始值。 （4）把求出的待定系数代入到通解中，即为所求结果。若求其它变量（电流、电压），一般根据元件的的约束关系列写方程求解得到。如i=CduC/dt等。 （5）注意整个求解过程并未涉及如何求解二阶方程。,7. 2 二阶电路的零状态响应和阶跃响应,零状态响应：二阶电路的初始储能为零(即电容两端的电压和 电感中的电流都为零)，仅有外施激励引起的响 应称为零状态响应。,一.二阶电路的零状态响应:,以RLC电路为例:,以uC为未知量,则:,列写KVL列方程,有:,特解为:,*此方程为二阶常
7、系数非齐次微分方程。方程的解由非齐次方程的特解和对应的齐次方程的通解构成。,齐次方程的特征方程为:,其特征根为:,分,1.二阶电路的零状态响应仍有非振荡，振荡，临界三种状态。,2.全解由特解和对应的齐次方程的通解组成，即稳态解为特解， 而通解与零输入响应形式相同。,3.根据初始条件确定积分常数，写出全解。,解:,以UC为电路未知量,则:,则,其特解为:,齐次的特征方程为:,其特征根为:,得,*两个根为共轭复数,属于振荡放电过程.,设:,当t=0+时,由初始条件得:,得:,则,二.二阶电路的阶跃响应,求解方法与求零状态响应的方法相同。,阶跃响应:二阶电路在阶跃激励下的 零状态响应称为阶跃响应。,
8、解:,根据KCL定律:,以iL为电路待求变量,可得:,其中:,特征方程为:,代入数据得特征根为:,由于特征根为重根,为临界阻尼情况,其解答为:,特解,通解,特解:,所以通解为：,对应齐次方程的通解：,当t=0+时的初始值为：,代入初始值可求得：,所以求得的阶跃响应为：,三.二阶电路的全响应：,1.全响应:二阶电路具有初始储能，又接入外施激励， 则电路的响应称为二阶电路的全响应。,2.求解全响应的一般方法:,（1）全响应=零输入响应+零状态响应,（2）通过求解二阶电路非齐次方程的方法可求得全响应。,3.以GLC并联电路为例:,4.求解过程与前相同，只是在根据换路定则求初始条件时 uC(0-)，i
9、L(0-)不再为0。,当L、C元件初始储能不为0时，求得的响应则为全响应。,(一) 全响应,(二)全响应的分析,已知：iL(0)=2A，uC(0)=0， R=50，L=0.5H，C=100F。,求：iL(t) 。,解 (1) 列微分方程,(2)求通解(自由分量）,特征根 p= -100 j100,(3)求特解（强制分量，稳态解）,(4)求全解,(4)由初值定积分常数,iL(0+)=2A , uC(0+)=0 （已知）,iL,1. 一阶电路是单调的响应，用时间常数表示过渡过程的时间。,小结,2. 二阶电路用三个参数 ， 和 0来表示动态响应。,5.线性电路古典法解二阶过渡过程包括以下几步： (1
10、)换路后(0+)电路列写微分方程 (2)求特征根，由根的性质写出自由分量（积分常数待定） (3)求强制分量（稳态分量） (4)全解=自由分量+强制分量 (5)将初值f(0+)和f （0+)代入全解，定积分常数求响应 (6)讨论物理过程，画出波形,3.电路是否振荡取决于特征根，特征根仅仅取决于电路的结构 和参数，而与初始条件和激励的大小没有关系。,4.特征方程次数的确定：等于换路后的电路经过尽可能简化而 具有的独立初始值的数目。,i1= i - 0.5 u1,=i - 0.5 2 (2 - i) = 2i - 2,由KVL,整理得：,解：1.列写微分方程,例.求所示电路中电流 i (t)的零状态
11、响应。,选讲,2.求通解i,p1= -2 ，p2 = -6,解答形式为：,3.求特解i,i = 0.5 u1,u1=2(2-0.5u1),u1=2V i()=1A,p2+8p+12=0,选讲,4.求初值,选讲,5.定常数,选讲,t 在0至0+间,t 0+,为零输入响应,7.3 二阶电路的冲激响应,uC(0)=0 , iL(0)=0,选讲,uC(0)=0 , iL(0)=0,uC是跳变和冲激上式都不满足,设uC不跳变，duC/dt 发生跳变,选讲,-电感电流跳变,结论,特征方程,选讲,由初始值,定常数A1 , A2 或 K , ,选讲,t = 0 时打开开关。 求:电容电压uC，并画形图。,解,1. uC(0)=25V iL(0)=5A,例1,2. uC(0+)=25V iC(0+)= -5A,选讲,特征方程为 50p2+2500p+106=0,4.,由,得,选讲,选讲,右图为有源RC振荡电路， 讨论k取不同值时u2的零 输入响应。,例2,uC(0+)=25V,列写节点1的KCL：,KVL有：,整理得：,选讲,特征方程,特征根,（1）,选讲,1 k 3, 0,衰减振荡,k = 3, = 0,等幅振荡,（2）,令,
