《高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2_1_1 椭圆及其标准方程课件3 新人教a版选修1-11》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2_1_1 椭圆及其标准方程课件3 新人教a版选修1-11（62页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章 圆锥曲线与方程 2.1 椭 圆 2.1.1 椭圆及其标准方程,【阅读教材】 根据下面的知识结构图阅读教材，并识记椭圆的定义和标准方程，会求椭圆的标准方程,【知识链接】 1.圆的定义及方程：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆，方程有标准式和一般式 2.待定系数法求曲线方程：已知曲线类型时，先设出曲线方程，再利用条件确定方程的系数，从而得到曲线方程，如已知圆上三点，求圆的方程,主题一：椭圆的定义 【自主认知】 1.将一条细绳的两端用图钉分别固定在平面内的两个定点F1，F2上，用笔尖将细绳拉紧并运动，在纸上能得到怎样的图形？ 提示：得到一个椭圆.,2.如果调整细绳两端点F1，F2的相
2、对位置，细绳的长度不变，猜想椭圆会发生怎样的变化？ 提示：当细绳两端点逐步靠近时，所画的椭圆越接近圆，当细绳两端点逐步远离时，所画的椭圆越扁平. 3.绳长能小于两图钉之间的距离吗？ 提示：不能.否则无法画图.,根据以上探究过程，试着写出椭圆的定义： 平面内与_ _叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的_，两点间的距离叫做 椭圆的_.,两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的,轨迹,焦点,焦距,【合作探究】 1.当动点P与两定点F1，F2的距离和满足|PF1|+|PF2|=|F1F2|时，点P的轨迹是什么？ 提示：如图，当|PF1|+|PF2|=|F1F2|时，点P在线段F1F2上
3、，所以点P的轨迹是线段F1F2.,2.判断一个点的轨迹是否是椭圆，应该满足什么条件？ 提示：需满足两个条件：一是该点到两个定点的距离的和是常数，二是该常数要大于两定点间的距离.,【过关小练】 1.已知命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a，其中a为大于0的常数；命题乙：P点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件,【解析】选B.若P点轨迹是椭圆，则一定有|PA|+|PB|=2a(a0，为常数).所以甲是乙的必要条件.反过来，若|PA|+|PB|=2a(a0，为常数)，当2a|AB|时，P点轨迹
4、是椭圆；当2a=|AB|时，P点轨迹是线段AB；当2a|AB|时，P点的轨迹不存在，所以甲不是乙的充分条件.综上，甲是乙的必要不充分条件.,2.下列说法正确的是 ( ) A.已知F1(-4,0),F2(4,0),到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 B.已知F1(-4,0),F2(4,0),到F1,F2两点的距离之和为6的点的轨迹是椭圆 C.到F1(-4,0),F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1,F2的距离之和的点的轨迹是椭圆 D.到F1(-4,0),F2(4,0)两点距离相等的点的轨迹是椭圆,【解析】选C.A中常数8=|F1F2|,B中常数6|F1F2|,符合椭
5、圆定义,轨迹是椭圆;D 中点的轨迹应该是一条直线.,主题二：椭圆的标准方程 【自主认知】 1.根据椭圆的几何特征，如何建立坐标系才能使椭圆的方程比较简单？ 提示：在求椭圆的标准方程时，选择x轴经过两个定点F1，F2，并且使坐标原点为线段F1F2的中点，这样两个定点的坐标比较简单. 2.在推导椭圆的标准方程的过程中，如何处理等式中的两个根式？ 提示：将其中一个根式移到另一端，两边平方.,根据以上探究过程，试着写出椭圆的标准方程： 1.焦点在x轴上：_(ab0). 2.焦点在y轴上：_(ab0).,【合作探究】 1.在推导椭圆方程时，为何要设|F1F2|=2c，常数为2a？为何令a2-c2=b2？
6、 提示：在求方程时，设椭圆的焦距为2c(c0)，椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为2a(a0)，这是为了使焦点及长轴两个端点的坐标不出现分数形式，以便使推导出的椭圆的方程形式简单.令a2-c2=b2是为了使方程的形式整齐而便于记忆.,2.椭圆的标准方程中，参数a,b(ab0)与c满足的关系能否用图表 示？方程 与 有何不同？,提示：a表示椭圆上的点到两焦点距离和的一半，a,b,c的关系如图 当ab0时，方程 表示焦点在x轴上的椭圆，方程 表示焦点在y轴上的椭圆，即焦点在哪个轴上相应的那个项的分母就 大,【过关小练】 1.已知焦点坐标为(0,-4),(0,4),且a=6的椭圆方程是( ) 【解
7、析】选B.由条件知,椭圆的焦点在y轴上,且c=4,a=6, 所以b2=a2-c2=36-16=20,所以其标准方程为,2.两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26，求椭圆的标准方程. 【解析】因为焦点在y轴上， 所以设其标准方程为 因为2a26,2c10，所以a13，c5所以b2a2c2144 所以所求椭圆标准方程为,【归纳总结】 1.对椭圆定义的理解 椭圆定义中应注意常数大于焦距这个必要条件,即对椭圆上任一点M有|MF1|+|MF2|=2a|F1F2|;否则,若2a=|F1F2|,则轨迹是线段F1F2;若2a|F1F2|,则轨迹不存在.,2.对椭圆标准方
8、程的两点说明 (1)标准的含义: 所谓“标准”,就是椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上. (2)用待定系数法求标准方程时的注意点: 应从“定位”与“定量”两个方面去考虑,首先要“定位”,即确定焦点所在的坐标轴,从而确定椭圆方程的类型;其次是“定量”,即利用条件确定方程中的a,b的值.,类型一：椭圆的定义 【典例1】(1)椭圆 上一点M到一个焦点的距离为4，则M到另一个焦点的距离为 ( ) A.4 B.6 C.8 D.2 (2)已知定点A(0，-1)，点B在圆F：x2+(y-1)2=16上运动，F为圆心，线段AB的垂直平分线交BF于P.则点P的轨迹是_.,【解题指南】(1)根据椭圆方程求出a，利用
9、椭圆定义求点M到另一个焦点的距离. (2)利用线段的垂直平分线的性质，可以判断点P到点A和点F的距离的和为常数.,【解析】(1)选B.设椭圆 的左、右焦点分别为F1，F2，不妨令|MF1|=4， 由|MF1|+|MF2|=2a=10， 得|MF2|=10-|MF1|=10-4=6. (2)由题意得|PA|=|PB|. 所以|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=4|AF|=2， 所以动点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆. 答案：以A，F为焦点的椭圆,【规律总结】椭圆定义的双向运用 (1)判断：符合定义中到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)这一条件的点的轨迹为椭圆. (2)求值：椭圆上的点
10、一定满足定义中的条件即到两定点的距离之和为2a. 提醒：在判断点的轨迹时，易出现只注意到距离之和为常数，而忽视此常数要大于两定点距离的条件作出错误的判断.,【巩固训练】1.(2015衡阳高二检测)设定点F1(0，-3)，F2(0，3), 动点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+ (a0)，则点P的轨迹是 ( ) A.椭圆 B.线段 C.不存在 D.椭圆或线段 【解析】选D.因为a0，所以a+ 6，又F1，F2间的距离为6，所以 当a+ 6时，点P的轨迹为椭圆，当a+ =6时，点P的轨迹是线段.,2.(2015德州高二检测)已知M为椭圆 上一点，F1为椭圆的 一个焦点且|MF1|2，N为MF1
11、中点，O为坐标原点，ON长为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【解析】选B.设椭圆的另一个焦点为F2，由定义可知|MF2|2a|MF1| 1028，,【补偿训练】1.到两定点(2，1)，(-2，-2)距离之和为5的点的轨迹是( ) A.线段 B.椭圆 C.直线 D.不存在 【解析】选A.两定点间的距离为 所以点的轨迹为线段.,2.已知椭圆 的两个焦点为F1,F2，且|F1F2|8，弦AB过点F1，则ABF2的周长为( ) A.10 B.20 C. D. 【解析】选D.由已知得a2b2c2251641， 所以a 而ABF2的周长为,类型二：定义法求椭圆的标准方程 【典例2】已知圆A：(x+
12、3)2+y2=100，圆A内一定点B(3，0)，圆P过B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程. 【解题指南】根据两圆内切的特点，得出|PA|+|PB|=10，根据A，B点的坐标，可以判定点P的轨迹方程是以A，B为焦点的椭圆，这就把求点P的轨迹方程的问题转化成了求a2，b2的问题.,【解析】设圆P的半径为r， 又圆P过点B，所以|PB|=r， 又因为圆P与圆A内切，圆A的半径为10. 所以两圆的圆心距|PA|=10-r， 即|PA|+|PB|=10(大于|AB|).,所以点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆. 所以2a=10，2c=|AB|=6， 所以a=5，c=3. 所以b2=a2-c2=25-9=1
13、6. 即点P的轨迹方程为,【延伸探究】典例中条件改为已知圆A：(x+3)2+y2=100， 圆B：(x-3)2+y2=4，圆P与圆A内切，与圆B外切，求圆心P的轨迹方程.,【解析】设圆P的半径为r， 则 所以|PA|+|PB|=126=|AB|, 故点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆，且 所以a=6,b2=27， 所以点P的轨迹方程是,【规律总结】定义法求椭圆的标准方程 (1)先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两定点间的距离. (2)若符合，则动点的轨迹为椭圆，且两定点间的距离为焦距2c，距离之和是常数2a.从而可以确定椭圆的方
14、程.,【巩固训练】在ABC中，B(-3，0)，C(3，0)，若周长为16，求顶点A的轨迹方程. 【解题指南】由|AB|+|AC|=10可知顶点A的轨迹是椭圆，但要注意检验A，B，C能否构成三角形.,【解析】由|AB|+|AC|=10|BC|，可知点A轨迹为椭圆，其中2a=10，即a=5， 又B(-3，0)，C(3，0)，则c=3，所以b=4. 设A点坐标为(x，y)，则y0， 所以， 即为A的轨迹方程.,【补偿训练】已知三角形ABC的一边BC长为6，周长为16，求顶点A的轨迹方程. 【解析】建立如图坐标系，使x轴经过点B，C，原点O与BC的中点重合，,|BC|=6，|AB|+|AC|=16-6
15、=10， 所以点A的轨迹是椭圆， 2a=16-6=10，2c=6，c=3，a=5， b2=a2-c2=52-32=16. 但当点A在直线BC上，即y=0时，A，B，C三点不能构成三角形，所以点A的轨迹方程是：,类型三：待定系数法求椭圆的标准方程 【典例3】(1)(2015邵阳高二检测)过点(-3，2)且与 有相同焦点的椭圆的方程是( ) (2)求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过 和 两点的椭圆方程,【解题指南】(1)由已知椭圆方程求得焦点坐标得c，设出所求椭圆方程，把点(-3，2)代入求系数. (2)根据条件设出椭圆的标准方程，利用A，B两点求方程中的系数.,【解析】(1)选A.由方程 可知，其焦点的坐标为 设所求椭圆方程为 因为过点(-3，2)，代入方程为 解得a2=15(a2=3舍去). 故方程为,(2)方法一：当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为 依题意，有 解得 所以所求椭圆的方程为,当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为 依题意，有 解得 因为ab，不合题意， 所以所求椭圆的方程为,方法二：设所求椭圆方程为Ax2By21(A0，B0且AB)， 依题意，得 解得 所以所求椭圆方程为,【规律总结】待定系数法求椭圆标准方程的方法 (1)
