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1、经自查我局不存在应列未列单位账户、账簿的各类财政性资金,不存在套取财政性资金设立“小金库”或隐瞒、转移、私分国有资产和财政性资金等问题。3.1.3两个向量的数量积1掌握空间向量的夹角与长度的概念2掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法(重点)3能用向量的数量积解决立体几何问题(难点)基础初探教材整理1空间向量的夹角阅读教材P85P86“两个向量的数量积”上面内容,完成下列问题1夹角的定义已知两个非零向量a,b,在空间中任取一点O,作a,b,则角AOB叫做向量a与b的夹角,记作a,b图31202夹角的范围空间任意两个向量的夹角的取值范围是0,特别地,当0时,两向量同向共线;当_时,两
2、向量反向共线,所以若ab,则a,b0或;当a,b时,两向量_,记作_【答案】垂直ab判断(正确的打“”,错误的打“”)(1)a,b与(a,b)都表示直角坐标系下的点()(2)在ABC中,B.()(3)在正方体ABCDABCD中,与的夹角为45.()【答案】(1)(2)(3)教材整理2空间向量的数量积及其性质阅读教材P86“两个向量的数量积”P87“例2”,以上部分内容,完成下列问题1已知空间中两个非零向量a,b,则_叫做a,b的数量积,记作_规定:零向量与任何向量的数量积为_,即0a_.【答案】|a|b|cosa,bab002空间向量数量积满足下列运算律(1)(a)b(ab);(2)交换律:a
3、bba;(3)分配律:(ab)c_.【答案】abbc3空间向量数量积的性质若a,b是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,是a与e的夹角,则(1)eaae|a| cos ;(2)abab0;(3)aa|a|2或|a|_;(4)若为a,b的夹角,则cos ;(5)|ab|a|b|.【答案】下列式子中正确的是()A|a|aa2B(ab)2a2b2Ca(ab)ba2 D|ab|a|b|【解析】根据数量积的定义知,A,B,C均不正确故选D.【答案】D质疑手记预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1:_解惑:_疑问2:_解惑:_疑问3:_解惑:_小组合作型空间向量数量积的运算(1)
4、如图3121,三棱锥PABC中,PA平面ABC,ABC90,PAAC,则在向量,中,夹角为90的共有()图3121A6对B5对C4对 D3对(2)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则_.图3122(3)如图3122所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,求下列数量积:_;_.【自主解答】(1)与,与,与,与,与夹角为90.(2)a2cos 60a2.(3)1cos 1351;()0.【答案】(1)B(2)a2(3)101求两向量数量积的解题思路(1)解模:解出两向量的模(2)求夹角:根据向量的方向求出两向量的夹角(3)求结果:使用公式a
5、b|a|b|cosa,b得结果2数量积的运算结果是一个数量,正、负、零皆有可能再练一题1已知空间向量a,b满足|a|4,|b|8,a与b的夹角为150,求下列各式的值(1)ab;(2)(a2b)(2a3b)【解】(1)ab|a|b|cosa,b48cos 1504816.(2)(a2b)(2a3b)2a2ab6b22|a|2|a|b|cos 1506|b|22421668235216.求两个空间向量的夹角如图3123,在正方体ABCDA1B1C1D1中,求1与夹角的大小图3123【精彩点拨】(1)怎样用向量,1表示向量1与?(2)求两向量的夹角公式是怎样的?【自主解答】不妨设正方体的棱长为1,
6、1(1)()(1)()211020021,又|1|,|,cos ,.01,180,1,60.1与夹角的大小为60 .1由于向量的夹角的取值范围为0,而异面直线所成的角的取值范围为,因此利用向量数量积求异面直线所成的角时,要注意角度之间的关系当a,b 时,它们相等;而当a,b 时,它们互补2利用数量积求异面直线所成角的余弦值的步骤(1)取向量;(2)求向量夹角余弦cos a,b;(3)定结果cos |cosa,b|.再练一题2.如图3124,已知直三棱柱ABCABC中,ACBCAA,ACB90,D,E分别为AB,BB的中点图3124(1)求证:CEAD;(2)求异面直线CE与AC所成角的余弦值【
7、解】(1)证明:设a,b,c,根据题意,|a|b|c|且abbcca0.bc,cba.c2b20,即CEAD.(2)ac,|a|,|a|,(ac)c2|a|2,cos,.异面直线CE与AC所成角的余弦值为.探究共研型利用数量积求距离探究1已知A(1,2,1),B(2,0,2),求|的值【提示】(1,2,1),|.探究2求两点间距离或线段的长度的方法【提示】利用向量的数量积求两点间的距离,可以转化为求向量的模的问题,其基本思路是先选择以两点为端点的向量,将此向量表示为几个已知向量的和的形式,求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模,利用公式|a|aa求解即可平行四边形ABCD中,AB2AC
8、2且ACD90,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成60角,求点B,D间的距离图3125【精彩点拨】(1)由已知可以得出AC与CD,AC与AB垂直吗?(2)根据AB与CD成60角可建立什么方程?能直接求出|吗?【自主解答】由已知得ACCD,ACAB,折叠后AB与CD所成角为60,于是,0,0,且,60或120.|2()2222222221222222cos,故|213或5,解得|或,即B,D间的距离为或.1利用空间向量的数量积与空间向量模的关系,常把空间两点距离问题转化为空间向量模的大小问题加以计算2用数量积求两点间距离的步骤(1)用向量表示此距离;(2)用其他向量表示此向量;(3)用公式aa
9、|a|2,求|a|;(4)|a|即为所求距离再练一题3.如图3126所示,在空间四边形OABC中,OA,OB,OC两两成60角,且OAOBOC2,E为OA的中点,F为BC的中点,试求E,F间的距离图3126【解】()()(),所以2222222.|,即E,F间的距离为.构建体系1已知e1,e2为单位向量,且e1e2,若a2e13e2,bke14e2,ab,则实数k的值为()A6B6C3 D3【解析】由题意可得ab0,e1e20,|e1|e2|1,(2e13e2)(ke14e2)0,2k120,k6.【答案】B2在空间四边形OABC中,OBOC,AOBAOC,则cos,的值为()A. BC D0
10、【解析】()|cosAOC|cosAOB|0,.cos,0.【答案】D3在空间四边形ABCD中,_. 【导学号:15460065】【解析】原式()()()0.【答案】04.如图3127,四面体ABCD的每条棱长都等于2,点E,F分别为棱AB,AD的中点,则|_,|_,与所成的角为_图3127【解析】|2;,22cos 602,故|22224243.故|.又因为(),故()()0,因为,0,180,所以,90.【答案】2905.如图3128,三棱柱ABCA1B1C1中,M,N分别是A1B,B1C1上的点,且BM2A1M,C1N2B1N.设a,b,c.图3128(1)试用a,b,c表示向量;(2)若BAC90,BAA1CAA160,ABACAA11,求MN的长【解】(1)(ca)a(ba)abc.(2)(abc)2a2b2c22ab2bc2ac11102112115,|abc|,|abc|,即MN.我还有这些不足:(1)_(2)_我的课下提升方案:(1)_