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1、2.4 平面向量的数量积,2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义,一,二,三,四,一、平面向量数量积的定义 【问题思考】 1.如图,一个物体在力F的作用下产生的位移s,那么力F所做的功应当怎样计算?决定功大小的量有哪几个?力、位移及其夹角分别是矢量还是标量?功是矢量还是标量? 提示:由物理知识容易得到W=|F|s|cos ,决定功的大小的量有力、位移及其夹角,其中力、位移是矢量,功是标量.,一,二,三,四,2.填空:(1)两个非零向量的数量积. (2)规定:零向量与任一向量的数量积为零. 3.关于平面向量数量积的说明: (1)“”是数量积的运算符号,既不能省略不写,也不能写成“”; (2
2、)数量积的结果为数量,不再是向量; (3)向量数量积的正负由两个向量的夹角决定:当是锐角时,数量积为正;当是钝角时,数量积为负;当是直角时,数量积等于零.,一,二,三,四,答案:(1)-2 (2)8,一,二,三,四,二、平面向量数量积的几何意义 【问题思考】 1.向量运算中的加法、减法、数乘都有几何意义,数量积运算有没有几何意义?观察下列图形,如何表达OB1?它与数量积的关系是什么? 提示:向量的数量积也有几何意义,题图中OB1=|b|cos ,ab=|a|OB1.,一,二,三,四,2.填空:(1)投影的概念 向量b在a的方向上的投影为|b|cos . 向量a在b的方向上的投影为|a|cos
3、. (2)数量积的几何意义. 数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积. 3.关于投影的说明: (1)向量a在向量b方向上的投影与向量b在向量a方向上的投影是不同的;,一,二,三,四,4.做一做:(1)若|a|=3,|b|=4,a与b的夹角是120,则向量a在向量b方向上的投影等于 . (2)若ab=-6,|a|=8,则向量b在向量a方向上的投影等于 .,一,二,三,四,三、平面向量数量积的运算律 【问题思考】 1.如果根据实数乘法的运算律,类比得出向量数量积的运算律,如下表,这些结果正确吗? 提示:除结合律中的(ab)c=a(bc)是错误的,其他都是正确的.,一
4、,二,三,四,2.填空:向量数量积的运算律,一,二,三,四,四、平面向量数量积的性质 【问题思考】 1.填空:向量数量积的性质 设向量a与b都是非零向量,它们的夹角为. (1)abab=0.,一,二,三,四,答案:30,一,二,三,四,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)0a=0a.( ) (2)若ab=0,则a与b至少有一个为零向量.( ) (3)若ab0,则a与b的夹角为锐角.( ) (4)若ac=bc(c0),则a=b.( ) (5)对于任意向量a,都有aa=|a|2.( ) 答案:(1) (2) (3) (4) (5),探究一,探究二,探究
5、三,【例1】已知|a|=3,|b|=4,|c|=5,向量a,b的夹角是120,a,c的夹角是45.求: (1)ab; (2)(a-2b)(3a+b); (3)a(a-4b+ c). 分析根据向量数量积的定义和性质进行求解.,探究一,探究二,探究三,反思感悟 求向量数量积的一般步骤: (1)运用数量积的运算律展开、化简; (2)确定向量的模与夹角; (3)套用数量积的定义式代入计算即得.,探究一,探究二,探究三,探究一,探究二,探究三,【例2】 如图,已知正方形ABCD的边长为2,E,F分别为BC,CD的中点.试求: 分析对于(1)(2),可根据图形求出各个向量的模及其夹角,然后套用数量积的定义
6、求解;对于(3),可先对向量进行分解,转化为模、夹角已知的向量,再运用运算律展开求解.,探究一,探究二,探究三,探究一,探究二,探究三,反思感悟 在平面图形中求向量的数量积时,如果所给向量的模及其夹角不易或无法求出,应利用平面向量基本定理,选取一组基底(基向量的模和夹角已知),将所给向量用基底表示,然后根据数量积的运算律展开化简,最后代入求解.,探究一,探究二,探究三,探究一,探究二,探究三,【例3】 (1)已知向量a,b满足|a|=|b|=5,且a与b的夹角为60,则|2a+b|= .,探究一,探究二,探究三,反思感悟 根据数量积的定义aa=|a|a|cos 0=|a|2,得 这是求向量的模
7、的一种方法.即要求一个向量的模,先求这个向量与自身的数量积(一定非负),再求它的算术平方根.对于复杂的向量也是如此.例如,求|a+b|,可先求(a+b)2=(a+b)(a+b),再取其算术平方根即为|a+b|.,探究一,探究二,探究三,变式训练3已知向量a,b满足|a|=2,|b|=3,|a+b|=4,求|a-b|. 解:因为|a+b|=4, 所以|a+b|2=42, 所以a2+2ab+b2=16 因为|a|=2,|b|=3, 所以a2=|a|2=4,b2=|b|2=9, 代入式得 4+2ab+9=16,得2ab=3. 又因为(a-b)2=a2-2ab+b2=4-3+9=10,探究一,探究二,
8、探究三,【例4】 (1)若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(2a+b)b,则a与b的夹角为( ) A.30 B.60 C.120 D.150 (2)已知非零向量a,b满足|a|=|b|=|a+b|,求a与a+b的夹角及a与a-b的夹角. 分析(1)将已知条件展开变形后利用数量积的定义求解;(2)可采用数形结合的方法构成平面图形求解.,探究一,探究二,探究三,(1)解析:因为(2a+b)b, 所以2(a+b)b=0, 所以2ab+|b|2=0. 设a,b的夹角为, 则2|a|b|cos +|b|2=0. 又|a|=|b|,所以2|b|2cos +|b|2=0, 答案:C,探究一,探究二,探究
9、三,探究一,探究二,探究三,反思感悟 求平面向量夹角的方法: (1)求向量的夹角,主要是利用公式 求出夹角的余弦值,从而求得夹角.可以直接求出ab的值及|a|,|b|的值,然后代入求解,也可以寻找|a|,|b|,ab三者之间的关系,然后代入求解. (2)求向量的夹角,还可结合向量线性运算、模的几何意义,利用数形结合的方法求解.,探究一,探究二,探究三,本例(1)中,若非零向量a,b的夹角为60,且|a|=|b|,当(a+2b)(ka-b)时,求实数k的值. 解:因为(a+2b)(ka-b), 所以(a+2b)(ka-b)=0, 即k|a|2+(2k-1)ab-2|b|2=0,1,2,3,4,5
10、,答案:B,1,2,3,4,5,答案:C,1,2,3,4,5,答案:B,1,2,3,4,5,4.若向量a与b的夹角为60,|b|=4,(a+2b)(a-3b)=-72,则|a|=( ) A.2 B.4 C.6 D.12 解析:因为(a+2b)(a-3b)=-72, 所以a2-ab-6b2=-72, 即|a|2-|a|b|cos 60-6|b|2=-72, 所以|a|2-2|a|-24=0. 又|a|0,故|a|=6. 答案:C,1,2,3,4,5,5.已知两个单位向量a,b的夹角为60,若(2a+b)(a+b),则= . 解析:(2a+b)(a+b), (2a+b)(a+b)=0, 2a2+2ab+ab+b2=0.,
