《2016-2017学年人教b版选修4-5 数学归纳法原理 学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016-2017学年人教b版选修4-5 数学归纳法原理 学案（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、课堂导学三点剖析一,归纳法【例1】 已知数列an的通项公式是(nN),记bn=(1-a1)(1-a2)(1-an).(1)写出数列bn的前三项;(2)猜想数列bn的通项公式.解：(1)当n=1时,b1=1-a1=;当n=2时,b2=(1-a1)(1-a2)=;当n=3时,b3=(1-a1)(1-a2)(1-a3)=.(2)猜想.温馨提示猜想通项公式,要根据前几项的结构规律归纳bn与它的项数n之间的关系.二,用数学归纳法证明命题【例2】 用数学归纳法证明1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1).证明：当n=1时,左边=1+2+3=6,右边=23=6.设n=k时,1+2+3+(2k+1)=
2、(k+1)(2k+1)成立.当n=k+1时,左边=1+2+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3)=(k+1)(2k+1)+(2k+2)+(2k+3)=(k+1)+12(k+1)+1,于是当n=k+1时等式也成立.综上,对任意自然数nN*等式成立.温馨提示数学归纳法步骤相对确定,要严格按照步骤来做题,特别是由n=k过渡到n=k+1时,这是数学归纳法运用的难点.三,用数学归纳法验证命题的正确性【例3】 已知数列an:,其中a是大于零的常数,记an的前n项和为Sn,计算S1,S2,S3的值,由此推出计算Sn的公式,并用数学归纳法加以证明.解：S1=a1=;S2=a1+a2=+=;S3=S2+a3=
3、+=.猜想an=.证明:当n=1时显然成立.假设n=k时成立,即Sk=,则n=k+1时,Sk+1=Sk+ak+1=+=.因此,对任意的自然数n,有Sn=.温馨提示数学归纳法的推理证明严格而有序,在证明n=k+1时一定要用到归纳假设.各个击破类题演练1已知数列an满足an+1an,且a1=1,(an+1-an)2-2(an+1+an)+1=0.(1)求a2,a3,a4;(2)猜想an.解:(1)a2=4,a3=( +1）2=9,a4=(+1)2=16.(2)由a1=1,a2=4=22,a3=9=32,a4=42,猜想an=n2.变式提升1已知数列an满足a1=a,an+1=.(1)求a2,a3,
4、a4;(2)推测通项an的表达式.解:由an+1=得a2=,a3=,a4=.(2)推测an=.类题演练2用数学归纳法证明等式:135+357+(2n-1)(2n+1)(2n+3)=n(n+2)(2n2+4n-1)时,先算出n=1时,左边=_,右边=_,等式成立.解析:左边=135=15,右边=1(1+2)(212+41-1)=15.答案:1515变式提升2用数学归纳法证明“56n+5+76n+7能被9整除”的第二步中,为了使用归纳假设,应将56(k+1)+5+76(k+1)+7变形为_.解析:56(k+1)+5+76(k+1)+7=76(56k+5+76k+7)+(56-76)56k+5=76
5、(56k+5+76k+7)-102 02456k+5.答案:76(56k+5+76k+7)-102 02456k+5类题演练3用数学归纳法证明1-2+4-8+(-1)n-12n-1=(-1)n-1+(nN*).证明:(1)当n=1时,等式成立.(2)假设当n=k时,等式成立(k1,kN*),即1-2+4-8+(-1)k-12k-1=(-1)k-1+,则n=k+1时,左边=1-2+4-8+(-1)k-12k-1+(-1)k2k=(-1)k-1+(-1)k2k=(-1)k2k(1-)+=(-1)k+.n为任意正整数时,等式成立.变式提升3用数学归纳法证明1-22+32-42+(-1)n-1n2=(-1)n-1(nN*).证明:当n=1时,显然成立.假设n=k时成立,即1-22+32-42+ (-1)k-1k2=(-1)k-1.当n=k+1时,左边=1-22+32-42+(-1)k-1k2+(-1)k(k+1)2=(-1)k-1+(-1)k(k+1)2=(-1)k-1(k+1)(-k-1)=(-1)k.n为任意正整数时,等式成立.
