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1、应用马尔科夫模型 评估电力变压器可靠性,双控（1）班 2111503049 温峰,关于可靠性,绪论,可靠性是一门新兴学科,它包括可靠性数学、可靠性物理(失效物理)及可靠性工程。系统的可靠性,一般是指系统的功能在时间上具有稳定性的程度或性质,具体的可用可靠度来衡量;而可靠度是指系统在规定的时间内,并在一定的条件下,维持规定功能的概率。,可修系统在使用过程中, 一般是从正常工作状态转移到失效状态 ,然后经过维修回复到正常状态 ,如此往复循环下去, 这 2 种状态相互转移的过程,可以用概率方法来描述。,正常,失效,故障,维修,目录,马尔可夫过程,1,串联可维修系统,2,马尔科夫模型的建立,3,可靠性
2、模型的建立,4,5,模型对比,第,1,章,马尔可夫过程,马尔科夫过程是一种基于概率统计的特殊随机过程,它能很好地描述可修复系统在投入使用后处于某种状态的概率 ,分析系统可靠性 。作为可靠性工程中非常重要的理论工具 ,马尔科夫过程现已广泛应用于金融、地产 、网络 、电力电子等多个领域, 其中在电力系统中 ,主要用于输电线路、配电系统及继电保护装置的可靠性研究。,马尔可夫过程,设 X( t) 表示系统状态的随机变量, 或者说系统状态是 t 的随机函数, 随机变量 X( t) 可能取值的全体范围称为状态空间 ,当状态有限时,常用 S = 0 , 1 , . . . , N 表示 。系统状态 X( t
3、) 对任意时间集合 t 1 t2 . . . tn 和 n 个未知数 x1 , x2 , . . . , xn ( n N) 有下列关系PX(t)=x|X(tn)=xn=PX(t)=x=PX(t)=x|X(t1)=x1,X(t2)=x2,X(tn)=xn式中 x1 , x2 , . . . , xn S这种随机过程 X( t) 为连续时间 、有限状态空间的马尔可夫过程。在可修系统中, 系统状态的转移概率只与现时刻所处的状态有关, 而与以前或有限次以前所处的状态无关,这符合马尔可夫过程的条件。,马尔可夫过程,如果 X( t) 在起始时刻 t0 处于状态 i ,在 t 0 +t 时刻转移至状态 j
4、 的转移概率与 t0 无关 ,即其中这种仅与终止时刻和起始时间之差有关的状态转移过程是齐次马尔可夫过程。在可修系统中, 如果失效率 和修复率 都是常数,我们就假设系统寿命和修复都是指数分布, 其状态转移过程是齐次马尔可夫过程 。,马尔可夫过程,现用一个极小的时间间隔 t ，并假定在 t 时间内状态转移概率为aij为常数，表示系统从i状态转移到j状态的速率; o(t) 为 t 的高阶无穷小量，表示t 期间内两次以上转移的概率。,马尔可夫过程,令 由全概率公式可得：,进入j状态,离开j状态,马尔可夫过程,写成矩阵形式为这样 ,在给定起始状态概率的条件下,从式( 3) 可以解出P0( t), P1(
5、 t), , PN( t)。 在实际问题中, 可以判定哪些是工作状态,哪些是失效状态 。假定其中 Pi( t) ( i =0 , 1 , 2 , , k) 是系统工作状态的概率, 而 Pi( t) ( i =k +1 , ,N) 是系统失效状态的概率,可得系统的瞬时可用度为,马尔可夫过程,在工程问题中, 人们特别感兴趣的是稳态解, 也就是在 时 的稳态解。令 ( j =0 , 1 , , N)；在稳态下 。同时约束条件为解上述线性方程组, 则可得稳态解 Pj ,于是系统的稳态可用度为,第,2,章,串联可维修系统,多部件串联的可修系统是常见的控制系统 ,它有 2 种情况 ,一是多个相同部件组成的
6、串联系统, 二是多个不同部件组成的串联系统。由于前一系统是后一系统的特殊形式 ,因此只讨论多个不同部件组成的串联系统。,串联可维修系统,多部件串联的可修系统是常见的控制系统。 假定每个部件的失效率和维修率分别为 i , i( i =1 , 2 , , n) 都是常数，且各部件故障后修复如新 假定各部件状态相互独立, 且不会有两个或多个部件同时失效 则系统状态空间为,串联可维修系统,系统从 t到 t + t 时刻的转移概率为,串联可维修系统,在实际工程应用中, 一般只需求出稳态解即可。 令 则，系统稳态可用度为,第,3,章,马尔科夫模型的建立,变压器是一个可修复系统 。系统发生故障后,一般要寻找
7、故障部位, 对其进行修理或更换,直到恢复到正常工作状态 ,该工作过程即为修复过程。变压器的老化过程是一个随机过程, 一般是从正常工作状态转移到故障状态 , 然后经过修复回到正常状态 ,如此往复循环下去 。这种由一种状态转移到另一种状态的“状态转移”完全是随机的 。在马尔科夫过程中 ,考察的系统根据一定的概率分布在各个状态间转移,未来某个时间的状态是不确定的,这与变压器的老化过程很相似 , 故马尔科夫过程适用于变压器可靠性分析中 。,马尔科夫模型的建立,为了尽量使评估模型全面、真实地反映变压器的使用状态 ,将变压器的非运行状态进行分类, 作为独立的状态变量予以考虑。变压器自投入系统运行后,就作为
8、统计对象进入使用状态,使用状态分为可用状态和不可用状态, 其状态分类如图:,马尔科夫模型的建立,设变压器处于正常运行状态的概率为 p0 , 处于各不可用状态的概率为 pk(k =1,2,10),且该状态下的故障率和修复率分别为k 和k (k=1,2,10)。根据变压器全态模型, 运用马尔科夫过程原理 ,可得到状态转移图,马尔科夫模型的建立,求解以下方程组由此计算出变压器可能所处的各个状态概率。,第,4,章,可靠性模型的建立,可靠性模型的建立,变压器在状态 i 的频率 f i 是指变压器在平稳状态下,每单位时间里停留在状态 i( 或进入 、或离开) 的期望次数 。频率的概念是与描述变压器的长期行
9、为相联系的。在平稳状态下, 从其它状态进入状态i 的频率之和等于离开状态 i 到其它状态的频率之和,这就是频率平衡的概念。 根据定义 ,处在状态 i 的频率应等于所有转移频率之和，即平均持续时间 是指变压器停留在状态 i 的平均持续时间。处在状态 i 的持续时间：,可靠性模型的建立,在变压器全态模型中, 变压器是一个整体的系统,其中的每个状态相当于 1 个组成部件,每 1 种故障状态的发生都将导致变压器无法正常运行, 处于不可用的状态( 设 n 为总故障状态数)。因此可以用串连等值的方法对整个变压器系统进行分析 。,现用一个等效元件来替换这一串联系统 , 故障率和维修率分别为 s 和 s ,并
10、设 ri =1/i 。那么系统的可用率 As , 不可用率 U s 和故障频率 s 由串联等值的原理可以得到,可靠性模型的建立,若变压器的平均无故障时间和平均修复时间分别为 和 ,则,第,5,章,模型的对比,模型的对比,根据中国电力企业联合会在电力可靠性指标发布会中的资料 1999 2002年全国 220 kV 变压器停运的相关数据，可以获得。 次/（台。年）,模型的对比,解得变压器各个状态的平稳状态的概率,变压器所发生的非计划停运的故障部位主要集中在绕组故障上, 状态概率为 0 . 02 %。绕组故障是造成非计划停运的主要原因, 其发生的概率非常高 。所以在实际运行策略中,就应该加强对绕组的
11、监测, 经常检查其运行情况,尽量降低其故障概率。,模型的对比,根据相关电力规程，大修周期一般为5 10 a ,小修为 1 a ,预防性试验大致在 1 3 a。此处做近似处理 ,取大修周期为7 a ,小修 1 a, 预防性试验 2 a( 即 3 种状态的故障率比例为 1/7 : 1 : 1/2)，但是大修和小修的状态概率相差不大 。因为虽然小修的故障率( 发生率) 要比大修高很多 ,但是一旦大修 , 其花费的时间将比小修多数倍,所以综合计算下来,变压器处于大修的状态概率和处于小修的状态概率基本相同。这些反映出 , 变压器所处状态的概率是由故障率 和平均故障修复时间 共同决定的。,模型的对比,模型的对比,对比两张表可见, 变压器处在 10 种不可用状态对应的平均持续时间和平均故障修复时间相等 。这正反映了这些可靠性指标的物理意义 : 以绕组故障为例, 变压器发生该故障的期望次数为 0 .0044 次/a 。一旦处于绕组故障状态, 变压器要想恢复到正常运行状态就必须将绕组进行修复或更换 ,其花费的修复时间恰好就是变压器处于绕组故障的时间 。因此,变压器各种不可用状态的平均持续时间与平均故障修复时间是相等的。,
