第2章 质点运动学,,本章要点： 1. 质点运动状态的描述，掌握基本概念如质点、位置矢量、速度、加速度； 2. 质点运动的矢量性与相对性、瞬时性； 3．三种常用坐标下各运动学量的表达式； 4．解决运动学基本问题的方法； 5．相对运动及伽利略速度变换物理学是研究物质最普遍、最基本的运动形式的基本规律的一门学科,这些运动形式包括机械运动、分子热运动、电磁运动、原子和原子核运动以及其它微观粒子运动等机械运动是这些运动中最简单、最常见的运动形式 ,其基本形式有平动和转动在平动过程中,若物体内各点的位置没有相对变化,那么各点所移动的路径完全相同,可用物体上任一点的运动来代表整个物体的运动,从而可研究物体的位置随时间而改变的情况在力学中,这部分内容称为质点运动学2．1 质点运动的描述 The design of the partical,2.1.1 参考系 质点 reference materials system a particle 2.1.2 质点运动的矢量描述 Vector describe of a particle motion,1．参考系 reference materials system,在自然界中所有的物体都在不停地运动,绝对静止不动的物体是没有的。
在观察一个物体的位置及位置的变化时,总要选取其他物体作为标准,选取的标准物不同,对物体运动情况的描述也就不同，这就是运动描述的相对性 为描述物体的运动而选的标准物叫做参考系不同的参考系对同一物体运动情况的描述是不同的因此,在讲述物体的运动情况时,必须指明是对什么参考系而言的参考系的选择是任意的在讨论地面上物体的运动时,通常选地球作为参考系 2.质点 a particle,物体都有大小和形状,运动方式又都各不相同例如,太阳系中,行星除绕自身的轴线自转外, 还绕太阳公转；从枪口射出的子弹,它在空中向前飞行的同时,还绕自身的轴转动；有些双原子分子,除了分子的平动、转动外,分子内各个原子还在振动这些事实都说明,物体的运动情况是十分复杂的物体的大小、形状、质量也都是千差万别的如果我们研究某一物体的运动,可以忽略其大小和形状,或者可以只考虑其平动,那么, 我们就可把物体当作是一个有一定质量的点,这样的点通常叫做质点质点是经过科学抽象而形成的物理模型把物体当作质点是有条件的、相对的,而不是无条件的、绝对的,因而对具体情况要作具体分析例如研究地球绕太阳公转时，由于地球至太阳的平均距离约为地球半径的 104 倍, 故地球上各点相对于太阳的运动可以看作是相同的,所以在研究地球公转时可以把地球当作质点。
但是,在研究地球上物体的运动情况时,就不能再把地球当作质点处理了应当指出, 把物体视为质点这种抽象的研究方法,在实践上和理论上都是有重要意的当我们所研究的运动物体不能视为质点时,可把整个物体看成是由许多质点组成的,弄清这些质点的运动,可以弄清楚整个物体的运动所以,研究质点的运动是研究物体运动的基础2.1.2 质点运动的矢量描述 Vector describe of a particle motion,１．位置矢量 运动方程 位移 （１）．位置矢量在参考系选定以后，为定量地描述质点的位置和位置随时间的变化，须在参考系上选择一个坐标系 在如图２-１所示的直角坐标系中，在时间，质点在坐标系里的位置可用位置矢量来表示位置矢量简称位矢，它是一个有向线段，其始端位于坐标系的原点，末端则与质点在时刻的位置重合从图中可以看出，位矢在ox轴、oy轴和oz轴上的投影(即质点的坐标)分别为、和所以，质点在直角坐标系中的位置，既可以用位矢来表示，也可以用坐标、和来表示那么位矢亦可写成,（2-1）其值为,,位矢,的方向余弦由下式确定,(2)． 运动方程 motion equation,当质点运动时，它相对坐标原点的位矢是随时间而变化的。
因此，是时间的函数，即（2-2）式(2-2)叫做质点的运动方程；而、和则是运动方程的分量式，从中消去参数便得到了质点运动的轨迹方程, 所以它们也是轨迹的参数方程 应当指出, 运动学的重要任务之一就是找出各种具体运动所遵循的运动方程3）．位移 Displacement,在如图２-２Oxy平面直角坐标系中，有一质点沿曲线从时刻的点运动到时刻的点，质点相对原点的位矢由变化到显然，在时间间隔内，位矢的长度和方向都发生了变化我们将由起始点指向终点的有向线段称为点到点的位移矢量，简称位移位移反映了质点位矢的变化如把写作，则质点从点到点的位移为（2-3a）亦可写成,上式表明，当质点在平面上运动时，它的位移等于在轴和轴上的位移矢量和 若质点在三维空间运动，则在直角坐标系Oxyz中其位移为应当注意,位移是描述质点位置变化的物理量, 它只表示位置变化的实际效果,并非质点所经历的路程如在图 2-2 中,曲线所示的路径是质点实际运动的轨迹,轨迹的长度为质点所经历的路程, 而位移则是当质点经一闭合路径回到原来的起始位置时,其位移为零,而路程则不为零所以,质点的位移和路程是两个完全不同的概念只有在△t 取得很小的极限情况下,位移的大小||才可视为与路程 AB 没有区别。
2-3b）,2.速度 Speed,在力学中,若仅知道质点在某时刻的位矢,而不能同时知道该质点是静还是动,是动又动到什么程度,就不能确定质点的运动状态所以，还应引入一物理量来描述位置矢量随时间的变化程度，这就是速度1）平均速度 average speed,如图２-３所示，一个质点在平面上沿轨迹CABD曲线运动在时刻t，它处于点A，其位矢为 在时刻， 它处于点， 其位矢为 在时间 内，质点的位移为 .在时间间隔 内的平均速度为平均速度可写成,其中,,是平均速度,在,轴和,轴上的分量2 ）瞬时速度 Instantaneous speed,当时，平均速度的极限值叫做瞬时速度(简称速度)，用表示，有,,（2-4a） 或,（2-4b）,或,（2-4b）其中,,是速度,在Ox轴和Oy轴上的分量，又称为速度分量 显然，如以,分别表示速度,在,轴和,上的分速度(注意:它们是分矢量!)，那么有,上式亦可以写成,(2-4c)速度,的方向与,时的极限方向一致当,时，,趋于和轨道相切，即与点,的切线重合所以当质点作曲线运动时，质点在某一点的速度方向就是沿该点曲线的切线方向。
如图２-４所示是速度,在Ox轴和Oy轴上的分量，又称为速度分量 显然，如以,分别表示速度,在,轴和,上的分速度(注意:它们是分矢量!)，那么有,是速度,在Ox轴和Oy轴上的分量,又称为速度分量显然，如以,分别表示速度,轴,在,上的分速度,和,(注意:它们是分矢,量!)，,那么有,上式亦可以写成,(2-4c),速度,的方向与,时的极限方,向一致当,时，,趋于和轨道相切，,即与点,曲线的切线方向所以当质点作曲线运,的切线重合动时，质点在某一点,的速度方向就是沿该,点,如图２-４所示只有当质点的位矢和速度同时被确定时，,其运动状态才被确知所以位矢,和速度,是描述质点运动状态的两个物理量这两,个物理量可以从运动方程求出，所以知道了运,动方程可以确定质点在任意时刻的运动状态因此，概括说来，运动学问题有两类:一是由,已知运动方程求解运动状态；另一是由已知,运动状态求解运动方程 例 设质点的运动方程为,其中,求,时的速度2)作出质点的运动轨迹图解 这是已知运动方程求运动状态的一类,运动学问题，可以通过求导数的方法求出1)由题意可得速度分量分别为,故,时的速度分量为,于是,时，质点的速度为,速度的值为,速度,与,之间的夹角为,(2)由已知运动方程,消去,可得轨迹方程,并可作如图２-５所示的质点运动轨,迹图。
3.加速度 acceleration,上面已经指出，作为描述质点状态的一个,物理量，速度是一个矢量，所以，无论是速度,的数值发生改变，还是其方向发生改变，都表,示速度发生了变化为衡量速度的变化，我们,将从曲线运动出发引出加速度的概念1）．平均加速度 average acceleration,如图２-６所示，设在时刻,，质点位于点,，其速度为,，在时刻,，质点位于点,其速度为,则在时间间隔,速度增量为,,内，质点的速,度增量为,它在单,位时间内的速度增量,即平均,加速度为,（２）．瞬时加速度 Instantaneous acceleation,当,时，平均加速度的极限值叫做,瞬时加速度，,用,表示，有,的方向是,时,的极限方向，而,的数值是,的极限值应当注意，加速度,既反映了速度方向的,变化，也反映了速度数值的变化所以质点作,曲线运动时，任一时刻质点的加速度方向并不,与速度方向相同，即加速度方向不沿着曲线的,切线方向在曲线运动中，加速度的方向指向,曲线的凹侧式(２-5)可以写成,即,其中,例 有一个球体在某液体中垂直下落，,球体的初速度为,，它在液体,中的加速度为,问:,(1)任一时刻,的球体的速度。
2)时刻,球体经历的路程有多长？,解：由题意知，球体作变速直线运动，加速度,的方向与球体的速度,的方向相反，由加速,度,的定义，有,得,有,上式表明，球体的速率,随时间,的增长而减小又由速度的定义，有,得,2.1.3 几种常用的坐标 several useful Coordinate,１．直角坐标 Right angle Coordinate,二维直角坐标的正交归一基矢是,(i,j),(i,j),分别是沿直角坐标轴x、y方向的单位矢量 在直角坐标下 ,,,,,,例 一质点具有恒定加速度,在,时，其速度为零，位置矢量,求：,（1）在任意时刻的速度和位置矢量；,(2）质点在,平面上的轨迹方程，,并画出轨迹的示意图解：由加速度定义式，根据初始条件,t0 = 0,时v0 = 0，积分可得,又由,及初始条件,t = 0时，,r0 = (10 m)i,积分可得,由上述结果可得质点运动方程的分量式，即,消去参数t，可得运动的轨迹方程,这是一个直线方程，直线斜率,2．平面极坐标 Level Radial coordinates,设有一质点在如图2-8所示,平面内运动，某时刻它,平面内运动，,位于点,。
到点,的有向线段,由坐标原点,称为径矢，,与,轴之间的夹,角为,于是，质点在点,的位置可由(,)来确定这种以(,)为坐标的参考系称为平面极坐标系而在平面直角坐标系内，点,的坐标则为(,)这两个坐标系的坐标之间的变换关系为:,称为角坐标，它是时间,t 的函数，即,＝,（t）,ω＝dθ/dt,称为角速度，在圆周运动下，,V = rω.,3．自然坐标 Natural coordinate,（１）．自然坐标,一般来说，质点平面运动需用两个独立的变量（是标量）,描述，如在平面直角坐标系中就是用,x、y来描述，但质,点又有其运动轨迹,y=y(x)，则x、y间只有一个是独立的这就是说，,在已知质点轨迹的前提下，质点的平面运动仅,需一个标量函数就能确切描述质点的运动状,况，,这里，,我,们既不选择x,也不选择y充当这一描述运动的标量,函数，而是选用另一种所谓“自然坐标”在已知运动轨迹上任选一点,0为原点，,沿质点的轨迹为,“坐标轴”（当然是弯曲的），,原点至质点位置的弧,长s作,为,质点的位置坐标，弧长s称为,平面自然坐标，,它确定质点,的位置，并在质点所在处Ａ取一单位矢量沿,曲线切线且指向自然坐标增加方向的矢量,，称为,切向单位矢量，另取一单位矢量，沿曲线的法向且,指向曲线的凹侧的矢量,，称为法向单位矢量。
下面以圆周运动为例,（2）.,切向速度,如图2-9所示，质点在圆周上点,的速度为,，,于是点,的速度,可以写成,,,（2-7）,式中,为速度,的值，,则代表速度,。