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1、有理数有理数一、学习目标：一、学习目标：理解正负数的意义，掌握有理数的概念和分类；理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的运算；通过熟练运用法则进行计算的同时，能根据各种运算定律进行简便运算；通过本章的学习，还要学会借助数轴来理解绝对值，有理数比较大小等相关知识。 二、重点难点：二、重点难点：有理数的相关概念，如：绝对值、相反数、有效数字、科学记数法等,有理数的运算；有理数运算法则尤其是加法法则的理解；有理数运算的准确性和如何选择简便方法进行简便运算。 三、学习策略：三、学习策略：先通过知识要点的小结与典型例题练习，然后进行检测，找出漏洞，再进行针对性练习，从而达到内容系
2、统化和应用的灵活性。 四、知识框架：四、知识框架：5、知识梳理知识梳理1、知识点一：有理数的概念、知识点一：有理数的概念（一）有理数：（一）有理数：（1）整数与分数统称_按定义分类：按定义分类： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 有理数 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _按符号分类：按符号分类： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _有理数零_ _ _ _ _ _ _注：正数和零统称为_；负数和零统称为_正整数和零统称为_；负整数和零统称为_.（2）认识正数与负数：正数：像 1，1.1，2008 等大于_的数，叫做_.17 5负
3、数：像-1，-1.1，-，-2008 等在正数前面加上“”（读作负）号的数，叫_注意注意：17 5_都大于零，_都小于零.“0”即不是_，也不是_.（3）用正数、负数表示相反意义的量：如果用正数表示某种意义的量，那么负数表示其_意义的量，如果负数表示某种意义的量，则正数表示其_意义的量.如：若-5 米表示向东走 5 米，则+3 米表示向_走 3 米； 若+6 米表示上升 6 米，则-2 米表示_；+表示零上，-则表示_ .7 C7 C7 C（4）有理数“0”的作用：作用举例表示数的性质0 是自然数、是有理数、是整数表示没有3 个苹果用+3 表示，没有苹果用 0 表示表示某种状态表示冰点00 C
4、表示正数与负数的界点0 非正非负，是一个中性数（二）数轴（二）数轴（1）概念：规定了_ 、_和_的直线注：注：_、_、_称为数轴的三要素，三者缺一不可. 单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的 ，后者指所取度量单位的 ，即 是一条人为规定的代表“1的线段，这条线段 ，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变.（2）数轴的画法及常见错误分析画一条水平的_；在这条直线上适当位置取一实心点作为_：确定向右的方向为_，用_表示；选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的 要一致.数轴画法的常见错误举例：错例原因不统一没有 （3）有
5、理数与数轴的关系一切有理数都可以用数轴上的 表示出来.在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数 ，正数都大于 ，负数都小于 ，正数大于一切负数.注意注意：数轴上的点不都是有理数，如.（三）相反数（三）相反数（1）相反数：只有 的两个数互称为相反数特别地，0 的相反数是；若，则，反之亦然 .a与b互为相反数_ _ _ab （2）相反数的性质：代数意义：只有 的两个数叫做互为相反数，特别地，O 的相反数是 0相反数必须出现，不能单独存在例如+5 和 互为相反数，或者说+5 是 的相反数，5 是 的相反数，而单独的一个数不能说是 另外，定义中的“只有”指除 以外，两个数 ，注意应与“只要符
6、号不同”区分开例如+3 与3 互为相反数，而+3 与2 虽然 不同，但它们不是相反数几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于 两侧，并且到原点的_相等这两点是关于_ 对称的求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“ ”号即可一般地，数 a 的相反数是 ；这里以 a 表示任意一个数，可以为 、 、负数，也可以是任意一个代数式注意a 不一定是 注意：注意：当 a0 时，a 0(正数的相反数是 数)；当 a=0 时，a O(0 的相反数是 )；当 a0 时，a O (负数的相反数是 )互为相反数的两个数的和为 ，即若 a 与 b 互为 ，则 a+b=0，反之，若a+b=O，则 a 与 b 互为 多
7、重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部 ；一个正数前面有个“”号，也可以把“”号全部去掉；一个正数前面有 个“”号，则化简后只保留一个“”号，即“ 负 正” （其中“奇偶”是指正数前面的“ ”号的个数的 ， “负正”是指化简的最后结果的 .（四）绝对值（四）绝对值（1）绝对值的代数意义及几何意义 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是 ；一个负数的绝对值是它的 ；0的绝对值是 . 绝对值的几何意义：一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的 与_的距离.数 a 的绝对值记作 .注意注意：取绝对值也是一种 ，这个 符号是“ ” ，求一个数的绝对值，就是根据性质 绝对值符号.绝对
8、值具有 性，取绝对值的结果总是 .任何一个有理数都是由 部分组成： 和它的 ，如：5，符号是 ，绝对值是 .（2）字母 a 的绝对值的分类或或_ _ _,() _ _ _,(0) _ _ _,(0)ao aa a _ _ _,(0)_ _ _,(0)aaa_ _ _ ,(0) _ _ _,(0)aaa（3）利用绝对值比较两个负有理数的大小规则：两个负数，绝对值大的反而 .步骤：计算两个负数的 .比较这两个 的大小.写出正确的判断结果.如果若干个非负数的和为 0，那么这若干个非负数都必为 .例如：若0,_,_,_abcabc则2、知识点二：有理数运算、知识点二：有理数运算（一）有理数比较大小（一
9、）有理数比较大小（1）数轴上的数，右边的数总 左边的数（2）正数大于 0，负数小于 0，正数大于负数；（3）两个负数，绝对值大的反而 ；（4）两数比较大小，可按符号情况分类：0 同正：_大的数大两数同号同负：_大的反而小比较大小两数异号（一正一负）：_大于_正数与0：_大于0其中有时负数与0：_小于0（二）（二）有理数的加减法有理数的加减法（1）有理数加法法则同号两数相加，取相同的 ，并把绝对值 .绝对值不相等的异号两数相加，取 的加数的符号，并用较大的 减去较小的 .一个数同 0 相加，仍得 .（2）有理数加法的运算步骤法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤：确定
10、和的 ；求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的 .（3）有理数加法的运算律两个加数相加，交换加数的位置， 不变.即 a+b=b+a(加法 律)三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加， 不变.即 (a+b)+c=a+(b+c)（加法 律）（4）有理数加法的运算技巧分数与小数均有时，应先化为 形式.带分数可分为 与 两部分参与运算.多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合 得 若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合 .若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起. 相同的数可以先结合在一起.（5）有理数减法法则减去一个数，等于 ，即 a-b=a+( )（6）有理数减法的
11、运算步骤把减号变为加号（改变运算符号）把减数变为它的相反数（改变性质符号）把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算.（7）有理数加减混合运算的步骤把算式中的减法转化为加法；省略加号与括号；利用运算律及技巧简便计算，求出结果.注意：注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上 ，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有 的运算，即变为求几个正数，负数和 0 的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式，例如：（+3）+（-0.15）+(-9)+(+5)+(-11)=3-0.15-9+5-11，它的含义是正 3，负 0.15，负 9，正 5，
12、负 11 的和。（三）有理数的乘除法（三）有理数的乘除法（1）有理数乘法法则两数相乘，同号得 ，异号得 ，并把 相乘.任何数同 相乘，都得 0.（2）有理数乘法的运算律两个数相乘，交换因数的位置，积相等.即 ab= （乘法结合律）三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.即 abc= （乘法结合律）一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. 即 a(b+c)=（乘法分配律）（3）有理数乘法法则的推广几个不等于 0 的数相乘，积的符号由 的个数决定，当 的个数是偶数时，积为 ；的个数是奇数时，积为 .几个数相乘，如果有一个因数为 0，则积为 .在进行乘
