《【步步高】2015高考数学（苏教版，理）一轮学案75不等式的证明》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【步步高】2015高考数学（苏教版，理）一轮学案75不等式的证明（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学案学案 75 不等式选讲不等式选讲 (二二)不等式的证明不等式的证明 导学目标： 1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩 法、数学归纳法.2.会用比较法、综合法、分析法、数学归纳法证明比较简单的不等式 自主梳理 1证明不等式的常用方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其 基本思想是_与 0 比较大小或_与 1 比较大小 (2)综合法：从已知条件出发，利用不等式的有关性质或_，经过推理论证，最 终指导出所要证明的不等式成立 (3)分析法：从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的_条件，到将待证不等式 归结为一个已成立的不等式(
2、已知条件、定理等) (4)反证法 反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、 性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛 盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法 反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾， 或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾 (5)放缩法 定义：证明不等式时，通过把不等式的一边适当地_或_以利于化简， 并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得出原不等式成立这种方法 称为放缩法 思路：分析观察证明式
3、的特点，适当放大或缩小是证题关键 (6)数学归纳法 与自然数有关的不等式可考虑用数学归纳法证明 自我检测 1已知 Ma2b2，Nabab1，则 M，N 的大小关系为_ 2设 xa2b25，y2aba24a，若 xy，则实数 a，b 应满足的条件为 _ 3若 a0，b0，给出下列四个不等式： ab2；(ab)( )4；ab；a2. 1 ab2 1 a 1 b a2b2 ab 1 a4 其中正确的序号为_ 4用数学归纳法证明(1 )(1 )(1 )(1)(k1)，则当 nk1 时， 1 3 1 5 1 7 1 2k1 2k1 2 左端应乘上_这个乘上去的代数式共有因子的个数是_ 5用数学归纳法证明
4、()n(a，b 是非负实数，nN)时，假设 nk 命题成 anbn 2 ab 2 立之后，证明 nk1 命题也成立的关键是_ 探究点一 比较法证明不等式 例 1 已知 a0，b0，求证：. a b b aab 变式迁移 1 (2011福建)设不等式|2x1|b0，求证：0，求证： a 2. a2 1 a22 1 a 探究点四 数学归纳法 例 4 用数学归纳法证明： (n2) 1 2 1 3 1 4 1 2n1 n2 2 变式迁移 4 用数学归纳法证明b，可以证 ac 且 cb.其中 c 的 确定是最困难的，要凭借对题意的分析和一定的解题经验 放缩法的常用措施：(1)舍去或加上一些项，如 2 2
5、；(2)将分子或分母 (a 1 2) 3 4 (a 1 2) 放大(缩小)，如， (kN*且 k1)等 1 k2 1 kk1 1 k2 1 kk1 1 k 2 k k1 1 k 2 k k1 (满分：90 分) 一、填空题(每小题 6 分，共 42 分) 1已知 a、b、mR且 ab，则 与的大小关系为_ a b am bm 2设 aR 且 a0，以下四个式子中恒大于 1 的个数是_ a31；a22a2；a ；a2. 1 a 1 a2 3在下列不等式中，一定成立的是_(填序号) 48aabba； a3a2a1； ()m2”“0，求证：3a32b33a2b2ab2. 10(12 分)已知 x，y
6、，z 均为正数，求证： . x yz y zx z xy 1 x 1 y 1 z 11(12 分)用数学归纳法证明. 1223nn1 nn1 2 学案学案 7575 不等式选讲不等式选讲 (二二)不等式的证明不等式的证明 答案答案 自主梳理 1(1)差 商 (2)定理 (3)充分 (5)放大 缩小 自我检测 1MN 解析 MNa2b2abab1 (2a22b22ab2a2b2) 1 2 (a22abb2)(a22a1)(b22b1) 1 2 (ab)2(a1)2(b1)20，当且仅当 ab1 时“”成立MN. 1 2 2ab1 或 a2 解析 由 xy，得 a2b252aba24a(ab1)2
7、(a2)20，所以有 ab1 或 a2. 3 解析 a0，b0， ab22 1 abab 1 ab 2 ab 1 ab 2； 2 (ab)( )44； 1 a 1 bab 1 ab ， a2b2 2 ab 2 a2b2(ab) ab2 2 ab 2 (ab).ab； ab a2b2 ab a0，a0，恒成立 1 a4 4(1)(1)(1) 2k1 1 2k1 1 2k3 1 2k11 解析 因为分母的公差为 2，所以乘上去的第一个因式是(1)，最后一个是(1 1 2k1 )，共有 2k2k12k1项 1 2k11 5两边同乘以 ab 2 解析 要想办法出现 ak1bk1，两边同乘以，右边也出现
8、了要求证的()k1. ab 2 ab 2 课堂活动区 例 1 解题导引 不等式左、右两边是多项式形式，可用作差或作商比较法，也可用 分析法、综合法 证明 () a b b aab ， a3 b3 a b ab ab a b a b2 ab 又0，0，()20， ababab ()0.故. a b b aab a b b aab 变式迁移 1 解 由|2x1|0， 故 ab1ab. 例 2 解题导引 本例不等式中的 a、b、c 具有同等的地位，证明此类型不等式往往 需要通过系数的变化，利用基本不等式进行放缩，得到要证明的结论 证明 a、b、c 均为正数， ， 1 2( 1 2a 1 2b) 1
9、2 ab 1 ab 当且仅当 ab 时等号成立； 同理：， 1 2( 1 2b 1 2c) 1 2 bc 1 bc 当且仅当 bc 时等号成立； ， 1 2( 1 2c 1 2a) 1 2 ca 1 ca 当且仅当 ac 时等号成立 三个不等式相加即得， 1 2a 1 2b 1 2c 1 bc 1 ca 1 ab 当且仅当 abc 时等号成立 变式迁移 2 证明 x 是正实数，由基本不等式知， x12，1x22x，x312， xx3 故(x1)(x21)(x31)22x28x3 xx3 (当且仅当 x1 时等号成立) 例 3 解题导引 当要证的不等式较复杂，已知条件信息量太少，已知与待证间的联
10、 系不明显时，一般可采用分析法分析法是步步寻求不等式成立的充分条件，而实际操作 时往往是先从要证的不等式出发，寻找使不等式成立的必要条件，再考虑这个必要条件是 否充分，这种“逆求”过程能培养学生的发散思维能力，也是分析问题、解决问题时常用 的思考方法 证明 欲证b0， ab2 8a a b2 2 ab2 8b 只需证0，只需证 22， ( a2 1 a22) (a 1 a 2) 从而只要证 2 ， a2 1 a22(a 1 a) 只要证 42， (a2 1 a2) (a22 1 a2) 即 a22，而上述不等式显然成立，故原不等式成立 1 a2 例 4 解题导引 用数学归纳法证明不等式，推导
11、nk1 也成立时，证明不等式的 常用方法，如比较法、分析法、综合法均要灵活运用在证明过程中，常常利用不等式的 传递性对式子放缩，建立关系 证明 (1)当 n2 时， 0，不等式成立 1 2 (2)假设 nk(k2)时，原不等式成立 即 ， 1 2 1 3 1 4 1 5 1 2k1 k2 2 则当 nk1 时，左边 1 2 1 3 1 4 1 2k1 1 2k11 1 2k12 1 2k12k1 k2 2 1 2k11 1 2k12 1 2k12k1 k2 2 1 2k 1 2k 1 2k . k2 2 2k1 2k k1 2 k12 2 当 nk1 时，原不等式成立 由(1)(2)知，原不等
12、式对 n2 的所有的自然数都成立， 即 (n2) 1 2 1 3 1 4 1 2n1 n2 2 变式迁移 4 证明 (1)当 n1 时，显然命题成立 (2)假设 nk(kN*)时，原不等式成立 即 a b am bm 解析 0， a b am bm abamabbm bbm mab bbm . a b am bm 21 解析 只有 a221. 1 a2 3 解析 取 ab1，显然有 444161， 48a 84b ( 4 8) 4884，不成立； abab， aabb abba ( a b) ( b a) ( a b) 当 a 5P，所以(1)(3)错误 ab 2ab 由放缩法易知必介于 a，
13、b 之间，所以说法(2)正确 ab 又0，所以 ab0,3a22b20，(10 分) 从而(3a22b2)(ab)0， 即 3a32b33a2b2ab2.(12 分) 10证明 因为 x，y，z 均为正数， 所以 ，(3 分) x yz y zx 1 z( x y y x) 2 z 同理可得 ， ，(6 分) y zx z xy 2 x z xy x yz 2 y 当且仅当 xyz 时，以上三式等号都成立，将上述三个不等式两边分别相加，并除 以 2， 得 .(12 分) x yz y zx z xy 1 x 1 y 1 z 11证明 (1)当 n1 时，1，命题成立(2 分) 2 (2)假设 nk 时命题成立，即.则当 nk1 时， 1223kk1 kk1 2 (k1) 1223kk1k1k2 kk1 2k1k2 kk1 2 ， k1k2 2 即当 nk1 时不等式也成立(10 分) 综合(1)(2)，得对一切正整数 n，不等式都成立(12 分)
