【步步高】2015高考数学（苏教版，理）一轮学案54线性回归方程

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1、线性回归方程线性回归方程导学目标： 1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关 关系.2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程自主梳理 1相关关系：两个变量之间的关系可能是_关系(如：函数关系)，或 _关系当自变量取值一定时，因变量也确定，则为确定性关系；当自变量取值 一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系相关关系是一种非确定 性关系 2散点图：将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组 数据的图形，这样的图形叫做散点图 3回归直线 (1)定义：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我

2、们就称这两个变 量之间具有_，这条直线叫做回归直线(2)最小二乘法：通过求 Q (yibxia)2的最小值而得出回归直线的方法，即求ni1 回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和_，这一方法叫做最小二乘法 (3)线性回归方程方程 bxa 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，y，(xn，yn)的线性回归方程，其中 a，b 是待定参数 Error!. 自我检测 1下列有关线性回归的说法，正确的序号是_ 相关关系的两个变量不一定是因果关系； 散点图能直观地反映数据的相关程度； 回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系； 任一组数据都有线性回归方程 2下列关

3、系： 人的年龄与其拥有的财富之间的关系；曲线上的点与该点的坐标之间的关系； 苹果的产量与气候之间的关系；森林中的同一树木，其截面直径与高度之间的关系； 学生的身高与其学号之间的关系，其中有相关关系的是_(填序号) 3(2010银川模拟)下表是某厂 14 月份用水量(单位：百吨)的一组数据：月份 x1234 用水量 y4.5432.5由散点图可知，用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是 y0.7xa，则 a_. 4如图所示，有 5 组(x，y)数据，去掉_组数据后，剩下的 4 组数据的线性相 关性最大5(2010金陵中学三模)已知三点(3,10)，(7,20)，(11

4、,24)的横坐标 x 与纵坐标 y 具有线 性关系，则其线性回归方程是_探究点一 利用散点图判断两个变量的相关性例 1 有一位同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计， 得到一个卖出热饮杯数与当天气温的对比表：温度 ()504712151923273136热饮 杯数15615013212813011610489937654画出散点图并判断它们是否有相关关系变式迁移 1 某班 5 个学生的数学和物理成绩如表：学生学科ABCDE数学8075706560 物理7066686462 画出散点图，并判断它们是否有相关关系？探究点二 求线性回归方程 例 2 假设关于某设备的使用年限

5、x 和所支出的维修费用 y(万元)有以下统计资料：使用年限 x23456 维修费用 y2.23.85.56.57.0若由资料知 y 对 x 呈线性相关关系试求线性回归方程 bxa.y变式迁移 2 已知变量 x 与变量 y 有下列对应数据：且 y 对 x 呈线性相关关系，求 y 对 x 的线性回归方程 x1234y123223探究点三 利用线性回归方程对总体进行估计 例 3 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相 应的生产能耗 y(吨标准煤)的几组对照数据x3456 y2.5344.5 (1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出

6、y 关于 x 的线性回归方程 bxa；y(3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤试根据(2)求出的线性回 归方程，预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ (参考数值：32.5435464.566.5)变式迁移 3 (2010盐城期末)某单位为了了解用电量 y 度与气温 x之间的关系，随机 统计了某 4 天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温()1813101 用电量(度)24343864由表中数据得线性回归方程 bxa 中 b2，预测当气温为4时，用电量的度y数约为_1相关关系与函数关系不同函数关系中的两个变量间是一种确定性关系而相关关 系

7、是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系函数关系是一 种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系 2线性回归方程：设 x 与 y 是具有相关关系的两个变量，且相应于 n 个观测值的 n 个点大致分布在某一条直线的附近，就可以认为 y 对 x 的线性回归函数的类型为直线型： ybxa.我们称这个方程为 y 对 x 的线性回归方程其中 xi， yi.x1nni1y1nni1 3线性回归方程只适用于我们所研究的样本的总体，而且一般都有时间性样本的取 值范围一般不能超过线性回归方程的适用范围，否则没有实用价值(满分：90 分)一、填空题(每小题 6 分，共 48 分

8、) 1命题：路程与时间、速度的关系是相关关系；同一物体的加速度与作用力是函 数关系；产品的成本与产量之间的关系是函数关系；圆的周长与面积的关系是相关关 系；广告费用与销售量之间的关系是相关关系 其中正确的命题序号是_2(2011陕西改编)设(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)是变量 x 和 y 的 n 个样本点，直 线 l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是 _(填序号) x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率； x 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间； 当 n 为偶数时，分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同； 直线 l 过点( ， )

9、xy3已知一组观测值具有线性相关关系，若对于 bxa，求得yb0.51， 61.75， 38.14，则线性回归方程为_xy4某地区近几年居民的年收入 x 与支出 y 之间的关系，大致符合 0.8x0.1(单位：y亿元)预计今年该地区居民收入为 15 亿元，则年支出估计是_亿元 5根据两个变量 x，y 之间的观测数据画成散点图如图，则这两个变量_线性 相关关系(填“具有”或“不具有”)6若施化肥量 x 与水稻产量 y 的线性回归方程为 5x250，当施化肥量为 80 kg 时，y预计水稻产量为_kg.7已知线性回归方程 4.4x838.19，则可估计 x 与 y 的增长速度之比约为y_ 8(20

10、10青岛模拟)为了考察两个变量 x 和 y 之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自 独立做了 10 次和 15 次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为 l1、l2，已知两 人所得的试验数据中，变量 x 和 y 的数据的平均值都相等，且分别是 s、t，那么下列说法 中正确的是_(填上正确的序号)直线 l1和 l2一定有公共点(s，t)； 直线 l1和 l2相交，但交点不一定是(s，t)； 必有 l1l2； l1与 l2必定重合二、解答题(共 42 分) 9(14 分)(2010威海模拟)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间， 为此做了四次试验，得到的数据如下：零件的个数

11、x(个)2345 加工的时间 y(小时)2.5344.5 (1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；(2)求出 y 关于 x 的线性回归方程 bxa，并在坐标系中画出回归直线；y(3)试预测加工 10 个零件需要多少时间？(注：b，a b )ni1xiyinx yni1x2 inx2yx10(14 分)(2010潍坊模拟)某种产品的宣传费支出 x 与销售额 y(单位：万元)之间有如 下对应数据：x24568 y3040605070 (1)画出散点图； (2)求线性回归方程； (3)试预测宣传费支出为 10 万元时，销售额多大？11(14 分)某企业上半年产品产量与单位成本资料如下： 月份产量

12、(千件)单位成本(元) 1273 2372 3471 4373 5469 6568 (1)求出线性回归方程； (2)指出产量每增加 1 000 件时，单位成本平均变动多少？ (3)假定产量为 6 000 件时，单位成本为多少元？学案学案 5656 线性回归方程线性回归方程 答案答案自主梳理1确定性 非确定性 3.(1)线性相关关系 (2)最小 (3) ni1 xixyiyni1 xix2bni1xiyinx yni1x2 inx2yx 自我检测 1 解析 根据两个变量相关关系的概念，可知正确，散点图能直观地描述呈相关关系 的两个变量的相关程度，且回归直线最能代表它们之间的相关关系，所以、正确只

13、 有线性相关的数据才有线性回归直线方程，所以不正确 2 35.25 解析 2.5， 3.5，线性回归方程过定点( ， )，xyxy3.50.72.5a.a5.25. 4D 解析 因为 A、B、C、E 四点分布在一条直线附近且贴近某一直线，D 点离得远5. xy74234解析 xiyi434， 7， 18，x 179，3i1xy3i1 2 ib .3i1xiyi3x y3i1x2 i3x274 a b yx18 7，74234线性回归方程为 x.y74234 课堂活动区 例 1 解题导引 判断变量间是否线性相关，一种常用的简便可行的方法就是作散点 图 解 (1)以 x 轴表示温度，以 y 轴表示

14、热饮杯数，可作散点图，如图所示(2)从图中可以看出，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温与热饮销售 杯数之间是负相关关系，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少 从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，所以两变量之间具有相关关 系 变式迁移 1 解 以 x 轴表示数学成绩，y 轴表示物理成绩，可得相应的散点图如下图 所示：由散点图可见，两者之间具有相关关系 例 2 解题导引 求线性回归方程，关键在于正确求出系数 a，b，由于计算量较大， 所以计算时要仔细谨慎，分层进行，避免因计算产生失误，特别注意，只有在散点图大体 呈线性时，求出的线性回归方程才有意义 解 制表如下：i12345合计 xi2345620 yi2.23.85.56.57.025xiyi4.411. 422.032.542.0112. 3 x2 i4916253690 4； 5；xyx2i90；xiyi112.35i15i1于是有 b1.23；112.35 4 5905 4212.310 a b 51.2340.08.yx线性回归方程为 1.23x0.08.y变式迁移 2 解 ，x1234452 ，x 1222324230，y123223474ni1 2 ixiyi1 2 3243，ni11232432b0.8，ni1xiyinx yni1x2 inx24324 5274304 254a b