《【同步辅导】2015高中数学北师大版必修五导学案：《解三角形的实际应用》》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【同步辅导】2015高中数学北师大版必修五导学案：《解三角形的实际应用》（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 5 课时 解三角形的实际应用1.掌握仰角、俯角、方向角、方位角等的含义. 2.学会用正弦定理、余弦定理解决距离、高度、角度等的问题. 3.学会解三角形应用题的一般步骤.中国的“海洋国土”面积约 300 万平方公里,海洋权益在国家利益中的地位更加凸显.近 几年,我国海军先后参加了为打击海盗进行的亚丁湾护航,并开始走出近海,深入远海进行演 习,实力在不断增强,为护卫我们的“蓝色国土”提供了坚实的保障. 2005 年 7 月 11 日,是中国伟大航海家郑和下西洋 600 周年纪念日.2005 年 4 月 25 日, 经国务院批准,将每年的 7 月 11 日确立为中国“航海日”,作为国家的重要节日
2、固定下来,海洋 强国正成为 13 亿华夏儿女的共同梦想.问题 1:海军在海上航行时,定位船只或者自身位置的手段已经非常先进.在较早时期,人 们在海上航行时,定位船只的方法通常是根据方位角、方向角和距离来进行的.那么何为方 位角、方向角呢? 方位角: ;方向角: .此 外,在测量以及确定方位时,我们能接触到的还有俯角: 和仰角: ,这些是测量中的常用的名词, 在我们的学习中也会经常出现. 问题 2:正弦定理与余弦定理的常见变形有哪些? (1)abc= ; (2)R为ABC外接圆的半径,则 sin A= ,sin B= ,sin C= ; (3)余弦定理的推论可以用式子表示为 cos A= ,co
3、s B= ,cos C= . 问题 3:在解三角形应用问题时,一般在处理问题时要分几个步骤? 分如下四个步骤: (1) :理解题意,分清已知与未知,画出示意图. (2) :根据已知条件与求解目标,将实际问题转化为抽象的数学问题. (3) :利用正弦定理、余弦定理有序地解三角形,求得数学模型的解. (4) :检验上述所求的解是否具有实际意义,从而得出实际问题的解. 问题 4:解斜三角形应用题的步骤是怎么样的? 应用正弦定理、余弦定理解三角形应用问题,一般是根据题意,从实际问题中抽象出 ,通 过解这些三角形,从而使实际问题得到解决.解题时应认真审题,未给图形的,可以先画出示意 图,要理解好应用题中
4、有关的名词、术语,如 、 、 、 等,要注意解的实际意义以及题目中给出的精确度. 1.若P在Q的北偏东 4450,则Q在P的( ). A.东偏北 4510 B.东偏北 4550 C.南偏西 4450D.南偏西 4550 2.一船向正北航行,看见正西方向相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行 半小时后,看见一灯塔在船的南偏西 60,另一灯塔在船的南偏西 75,则这艘船的航行速度是 每小时( ).A.5 海里 B.5海里C.10 海里D.10海里333.在直径为 30 m 的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆形,且其轴截面 顶角为 120,若要光源恰好照到整个广
5、场,则光源的高度为 m. 4.在同一平面内,在A处测得B点的仰角是 50,且到A的距离为 2,C点的俯角为 70,且到 A的距离为 3,求 B、C间的距离.利用正、余弦定理求解距离问题如图所示,隔河看两目标A,B,但不能到达,在岸边选取相距千米的C,D两点,并测得3ACB=75,BCD=45,ADC=30,ADB=45(A,B,C,D在同一平面内),求两目标A,B之间的距离.利用正、余弦定理求解高度问题 如图,山脚下有一小塔AB,在塔底B测得山顶C的仰角为 60,在山顶C测得塔顶A的 俯角为 45,已知塔高AB=20 m,求山高CD.利用正、余弦定理求解角度问题在一次海上联合作战演习中,红方一
6、艘侦察艇发现在北偏东 45方向,相距 12 n mile 的 水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时 10 n mile 的速度沿南偏东 75方向前进,若侦察艇以每 小时 14 n mile 的速度,沿北偏东 45+方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住,求 红方侦察艇所需的时间和角的正弦值.某观测站C在目标A的南偏西 25方向,从A出发有一条南偏东 35走向的公路,在C 处测得与C相距 31 km 的公路上的B处有一人正沿此公路向A走去,走了 20 km 后到达D 处,此时测得CD距离为 21 km,求此人在D处距A的距离.如图所示,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个
7、测点C与 D,现测得BCD=,BDC=,CD=s,并在点C测得塔顶A的仰角为,求塔高AB.如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距 40 海里的B处有一艘渔船遇险,在 原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西 30、相距 20 海里的C处的乙船,现乙 船朝北偏东的方向即沿直线CB前往B处救援,求 cos .1.从A处望B处的仰角为,从B处望A处的俯角为,则、的关系为( ). A. B.=C.+=90D.+=1802.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C 的北偏东 20,灯塔B在观察站C的南偏东 40,则灯塔A与灯塔B的距离为( ).A
8、.a kmB.a km3C.a kmD.2a km23.海上有A,B,C三个小岛,测得A,B两岛相距 10 n mile,BAC=60,ABC=75,则B,C间的 距离是 n mile. 4.如图,为测一树的高度,在地面上选取A、B两点,从A、B两点分别测得树尖的仰角为 30、 45,且A、B两点之间的距离为 60 m,求树的高度h.(2013 年江苏卷)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从 A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为 50 m/min.在甲出发 2 min后,乙从A
9、乘缆车到B,在B处停留 1 min 后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m/min,山路AC长为 1260 m,经测量,cos A=,cos C= .12 133 5(1)求索道AB的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?考题变式(我来改编):第 5 课时 解三角形的实际应用知识体系梳理问题 1:从正北方向顺时针到目标方向线的水平角 从指定方向线到目标方向线的水平角 在同一铅垂面内,视线在水平线下方时与水平线所成的角 在同一铅垂面内,视线在水平线上方时与水平线所成的角问题 2:(1)sin Asin Bsin C (2) (3) 2 2 22+ 2
10、 2 22+ 2 2 22+ 2 2 2问题 3:(1)分析 (2)建模 (3)求解 (4)检验问题 4:一个或几个三角形 坡角 仰角 俯角 方位角基础学习交流1.C 根据P在Q的北偏东 4450,可以判断Q在P的南偏西 4450,故选 C.2.C 如图所示,依题意有BAC=60,BAD=75,所以CAD=CDA=15,从而CD=CA=10(海里),在 RtABC中,得AB=5(海里),于是这艘船的航行速度是=10(海里/小时).5 0.53.5 3轴截面如图,则光源高度h=5(m).15 6034.解:根据题意得:BAC=120,AB=2,AC=3,BC2=AB2+AC2-2ABACcosB
11、AC=4+9-223cos 120=19,BC=.19重点难点探究探究一:【解析】在ACD中,ADC=30,ACD=120,CAD=30,AC=CD=.3在BDC中,CBD=180-45-(45+30)=60,由正弦定理,可得BC=2sin(30+45)=2sin 30cos 45+2cos 30sin 45=375 60.6 +2 2在ACB中,由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosBCA,AB2=()2+()36 +2 22-2cos 75=5+-(3+)(cos 30cos 45-sin 30sin 45)=5,AB=.36 +2 23265故两目标A,B间的距离为千米
12、.5【小结】(1)求解三角形中的基本元素,应由确定三角形的条件个数,组织一系列三角形求解,即“三角形链”方法.(2)本题是测量两个都不能到达的两点间的距离,它是测量学中应用非常广泛的“三角网”测量方法的原理,其中AB可视为基线.(3)计算方法:sin 75=sin(45+30)=sin 45cos 30+cos 45sin 30=.同理 cos 6 +2 475=.熟记后可直接应用.6 2 4探究二:【解析】如图,过点C作CEDB,延长BA交CE于点E,设CD=x m,则AE=(x-20)m,tan 60=, BD=x(m). 60 33 3在AEC中,x-20=x,解得x=10(3+) m.
13、故山高CD为 10(3+) m.3 333【小结】(1)测量高度时,要准确理解仰、俯角的概念;(2)分清已知和待求,分析(画出)示意图,明确在哪个三角形内应用正、余弦定理.探究三:【解析】如图,设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇,则AC=14x,BC=10x,ABC=120.根据余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240xcos 120,解得x=2.故AC=28,BC=20.根据正弦定理得=,解得 sin =. 12020120 285 3 14所以红方侦察艇所需要的时间为 2 小时,角的正弦值为.5 3 14【小结】(1)测量角度,首先应明确方向角的含义.(2)在解应用题
14、时,理清已知与所求,再根据题意正确画出示意图,通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题,在解题过程中也要注意体会正、余弦定理综合使用的特点.思维拓展应用应用一:如图,CAD=25+35=60.在BCD中,由余弦定理,得cos B=2+ 2 2 2=.312+ 202 212 2 31 2023 31故 sin B=.12 3 31在ABC中,由正弦定理,得AC=24. 31 12 3 31 3 2由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2ACABcos A,即 312=AB2+242-2AB24cos 60,AB2-24AB-385=0,解得AB=35 或AB=-11(舍去),AD=AB-BD=15(km).故此人在D处距A还有15 km.应用二:在BCD中,CBD=-,由正弦定理得=, 所以BC=. ( + )在 RtABC中,AB=BCtanACB=. ( + )应用三:如图所示,在ABC中,AB=40,AC=20,BAC=120,由余弦定理,得BC2=AB2+A
