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1、第十篇 圆锥曲线与方程 第 1 讲 椭 圆 知 识 梳 理 1椭圆的定义 (1)第一定义：平面内与两个定点 F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的 轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距 (2)第二定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离的比是常数 e(0b0) 1 y2 a2 x2 b2 (ab0) 图 形 范围 axa byb bxb aya 对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点 性 质 顶点 A1(a,0)，A2(a,0) B1(0，b)，B2(0，b) A1(0，a)，A2(0，a) B1(b,0)，B2(b,0) 轴长轴 A1A2的
2、长为 2a；短轴 B1B2的长为 2b 焦距|F1F2|2c 离心率 e (0,1) c a a，b，c 的关系 c2a2b2 辨 析 感 悟 1对椭圆定义的认识 (1)平面内与两个定点 F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆() (2)动点 P 到两定点 A(0，2)，B(0,2)的距离之和为 4，则点 P 的轨迹是椭 圆() 2对椭圆的几何性质的理解 (3)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆() (4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形() (5)(教材习题改编)椭圆1 的离心率为.() x2 16 y2 8 2 2 3椭圆的方程 (6)若椭圆1 的焦点坐标是 F1(，0)，F2(
3、，0)，则 k2.() x2 4 y2 k22 (7)(2013广东卷改编)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于 ，则 C 的方程是1.() 1 2 x2 3 y2 4 感悟提升 1一点提醒 椭圆定义中的常数必须大于|F1F2|，如(1)、(2) 2两个防范 一是注意椭圆的离心率反映了椭圆的扁平程度，离心率越大，椭 圆就越扁；离心率越小，椭圆就越圆，如(3)； 二是注意椭圆方程的焦点位置是在 x 轴上还是 y 轴上，当 ab0 时，方程 1 的焦点在 x 轴上；当 ba0 时，方程1 的焦点在 y 轴上， x2 a2 y2 b2 x2 a2 y2 b2 如(7). 考
4、点一 椭圆定义及标准方程 【例 1】 (1)设 F1，F2分别是椭圆1 的左、右焦点，P 为椭圆上一点， x2 25 y2 16 M 是 F1P 的中点，|OM|3，则 P 点到椭圆左焦点的距离为_ (2)求过点(，)，且与椭圆1 有相同焦点的椭圆的标准方程 35 y2 25 x2 9 (1)解析 由题意知，在PF1F2中， |OM| |PF2|3， 1 2 |PF2|6，|PF1|2a|PF2|1064. 答案 4 (2)解 法一 椭圆1 的焦点为(0，4)，(0,4)，即 c4.由椭圆的定义 y2 25 x2 9 知， 2a， 302 542 302 542 解得 a2.由 c2a2b2可
5、得 b24. 5 所以所求椭圆的标准方程为1. y2 20 x2 4 法二 因为所求椭圆与椭圆1 的焦点相同，所以其焦点在 y 轴上，且 y2 25 x2 9 c225916. 设它的标准方程为1(ab0) y2 a2 x2 b2 因为 c216，且 c2a2b2，故 a2b216. 又点(，)在所求椭圆上， 35 所以1，即1. 52 a2 32 b2 5 a2 3 b2 由得 b24，a220， 所以所求椭圆的标准方程为1. y2 20 x2 4 规律方法 (1)一般地，解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来 解决 (2)求椭圆的标准方程有两种方法 定义法：根据椭圆的定义，确定
6、a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方 程 待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求 出 a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在 x 轴上和 y 轴上两种情况讨论， 也可设椭圆的方程为 Ax2By21(A0，B0，AB) 【训练 1】 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1，F2在 x 轴上，离心率为.过 F1的直线 l 交 C 于 A，B 两点，且ABF2的周长为 16， 2 2 那么椭圆 C 的方程为_ 解析 设椭圆方程为1(ab0)，由 e知 ，故 . x2 a2 y2 b2 2 2 c a 2 2 b2 a2 1 2 由于ABF2
7、的周长为|AB|BF2|AF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|) 4a16，故 a4.b28. 椭圆 C 的方程为1. x2 16 y2 8 答案 1 x2 16 y2 8 考点二 椭圆的几何性质 【例 2】 已知 F1、F2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，F1PF260. (1)求椭圆离心率的范围； (2)求证：F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关 (1)解 法一 设椭圆方程为1(ab0)， x2 a2 y2 b2 |PF1|m，|PF2|n，则 mn2a. 在PF1F2中，由余弦定理可知， 4c2m2n22mncos 60(mn)23mn 4a23mn4a23 24a23a
8、2a2(当且仅当 mn 时取等号) ( mn 2 ) c2 a2 ，即 e . 1 4 1 2 又 0e1，e 的取值范围是. 1 2，1) 法二 如图所示，设 O 是椭圆的中心，A 是椭圆短轴上的一个顶点，由于 F1PF260，则只需满足 60F1AF2即可， 又F1AF2是等腰三角形，且|AF1|AF2|，所以 0F1F2A60，所以 cosF1F2A1， 1 2 又 ecosF1F2A，所以 e 的取值范围是. 1 2，1) (2)证明 由(1)知 mn b2， 4 3 SPF1F2 mnsin 60b2， 1 2 3 3 即PF1F2的面积只与短轴长有关 规律方法 (1)椭圆上一点与两
9、焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与 焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|PF2|2a， 得到 a，c 的关系 (2)椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范 围)，常见有两种方法： 求出 a，c，代入公式 e ； c a 只需要根据一个条件得到关于 a，b，c 的齐次式，结合 b2a2c2转化为 a，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a2转化为关于 e 的方程(不 等式)，解方程(不等式)即可得 e(e 的取值范围) 【训练 2】 (1)(2013四川卷改编)从椭圆1(ab0)上一点 P 向 x 轴作垂 x2 a
10、2 y2 b2 线，垂足恰为左焦点 F1，A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与 y 轴正半 轴的交点，且 ABOP(O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是_ (2)(2012安徽卷) 如图，F1，F2分别是椭圆 C：1(ab0)的左、右焦点，A 是椭圆 C 的 x2 a2 y2 b2 顶点，B 是直线 AF2与椭圆 C 的另一个交点，F1AF260. 且AF1B 的面积为 40，则 a_，b_. 3 解析 (1)左焦点为 F1(c,0)，PF1x 轴， 当 xc 时，1y b2yP(负值不合题意，已舍去)， c2 a2 y2 P b22 P (1 c2 a2) b4 a2 b2 a 点
11、 P， (c， b2 a) 由斜率公式得 kAB ，kOP. b a b2 ac ABOP，kABkOP bc. b a b2 ac a2b2c22c2， e . c2 a2 1 2 c a 2 2 (2)法一 a24c2，b23c2，直线 AB 的方程为 y(xc)， 3 将其代入椭圆方程 3x24y212c2，得 B， ( 8 5c， 3 3 5 c) 所以|AB|c. 13| 8 5c0| 16 5 由 SAF1B |AF1|AB|sinF1AB aca240，解得 1 2 1 2 16 5 3 2 2 3 53 a10，b5. 3 法二 设|AB|t(t0) 因为|AF2|a，所以|B
12、F2|ta. 由椭圆定义|BF1|BF2|2a 可知，|BF1|3at， 再由余弦定理(3at)2a2t22atcos 60可得，t a. 8 5 由 SAF1B a aa240知， 1 2 8 5 3 2 2 3 53 a10，b5. 3 答案 (1) (2)10 5 2 23 考点三 直线与椭圆的位置关系 【例 3】 (2013陕西卷)已知动点 M(x，y)到直线 l：x4 的距离是它到点 N(1,0) 的距离的 2 倍 (1)求动点 M 的轨迹 C 的方程； (2)过点 P(0,3)的直线 m 与轨迹 C 交于 A，B 两点若 A 是 PB 的中点，求直线 m 的斜率 审题路线 (1)根
13、据题意列出等式坐标化整理可得动点 M 的轨迹方程 (2)设直线 m 的方程，交点 A，B 的坐标 由 A 是 PB 的中点得出 A，B 两点坐标间的关系又点 A，B 在点 M 的轨迹上 联立方程组解得 A 或 B 点坐标根据斜率公式求 k. 解 (1)设 M 到直线 l 的距离为 d，根据题意，d2|MN|. 由此得|4x|2， x12y2 化简得1， x2 4 y2 3 所以，动点 M 的轨迹方程为 1. x2 4 y2 3 (2)由题意，设直线 m 的方程为 ykx3，A(x1，y1)， B(x2，y2) A 是 PB 的中点， x1， x2 2 y1. 3y2 2 又1， x2 1 4
14、y2 1 3 1， x2 2 4 y2 2 3 联立，解得Error!Error!或Error!Error! 即点 B 的坐标为(2,0)或(2,0)， 所以，直线 m 的斜率为 或 . 3 2 3 2 规律方法 (1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 x(或 y)建立一元二次方程，然后借助求根公式，并结合题设条件建立有关参变 量的等量关系 (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为 0 或不存在 等特殊情形 【训练 3】 (2014山东省实验中学诊断)设 F1，F2分别是椭圆： 1(ab0)的左、右焦点，过 F1倾斜角为 45的直线 l 与该椭圆相交
15、于 x2 a2 y2 b2 P，Q 两点，且|PQ| a. 4 3 (1)求该椭圆的离心率； (2)设点 M(0，1)满足|MP|MQ|，求该椭圆的方程 解 (1)直线 PQ 斜率为 1，设直线 l 的方程为 yxc，其中 c， a2b2 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 P，Q 两点坐标满足方程组 Error!Error!化简得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0， x1，x2. a2c 2ab2 a2b2 a2c 2ab2 a2b2 所以|PQ|x2x1| a， 2 4 3 化简，得 a，故 a22b2， 4 3 4ab2 a2b2 所以椭圆的离心率 e . c a a2b2 a 2 2 (2)设 PQ
