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1、第五节第五节 变量间的相关关系、统计案例变量间的相关关系、统计案例 1会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认 识变量间的相关关系 2了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系 数公式建立线性回归方程 3了解下列两种常用的统计方法，并能应用这些方法解决 一些实际问题 (1)独立检验：了解独立性检验(只要求 22 列联表)的基本 思想、方法及其简单应用 (2)回归分析：了解回归分析的基本思想、方法及其简单应 用 知识梳理 1散点图 (1)将变量所对应的点描出来，就组成了变量之间的一个图， 这种图为变量之间的_ (2)从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系， 这些点会有一个集
2、中的大致趋势，这种趋势可用一条光滑的曲 线来近似，这种近似的过程称为曲线拟合 2相关关系 (1)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内， 对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为_；点散 布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系称 为_ (2)线性相关：从散点图上看，如果这些点从整体上看大致 分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系， 这条直线叫做_ (3)若两个变量 x 和 y 的散点图中，所有点看上去都在某条 曲线(不是一条直线)附近波动，则称此相关是_的如 果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相 关的 3回归直线 (1)最小二乘法：如果有
3、 n 个点： (x1，y1)，(x2，y2)， ，(xn，yn)可以用下面的表达式来刻画这些点与回归直线的接 近程度： y1(abx1)2y2(abx2)2yn(abxn) 2，使得上式达到最小值的 x 就是我们要求的直线，这种 y b a 方法称为最小二乘法 (2)在回归直线方程 x 中， y b a b n i1 xixyiy n i1 xix2 ， _，其中 ， n i1 xiyinxy n i1 x2 inx2 a x x1x2xn ny . 叫做回归直线方程的斜率， 是直线在 y 轴上 y1y2yn n b a 的截距 4相关系数 ，用它来衡量两个变量间的 线性相关关系 (1)当 r
4、0 时，表明两个变量_； (2)当 r0 时，表明两个变量_； (3)r 的绝对值越接近 1，表明两个变量的线性相关性 _；r 的绝对值越接近于 0，表明两个变量之间几乎不存 在线性相关关系通常当|r|0.75 时，认为两个变量有很强的 线性相关关系 当|r|0.3,0.75)时，相关性一般当|r|0,0.25时，相关性 较弱 5残差分析 (1)线性回归模型：ybxae 中，a，b 称为模型的未知 参数；e 称为随机误差 (2)残差平方和：对于样本点(xi，yi)(i1,2，n)，Q (yi )称为残差平方和，Q 值越小，说明线性回归模型的拟 n i1y 合效果越好 (3)相关指数：用相关指数
5、 R2来刻画回归的效果，公式是 R21.R2的值越大，说明残差平方和越小，也就 n i1 yiyi2 n i1 yiy2 是说模型拟合效果_ 6独立性检验 (1)若变量的不同“值”表示个体所属的不同类型，则这类 变量称为分类变量 (2)列出两个分类变量的频数表，称为列联表 (3)利用随机变量 K2来确定在多大程度上可以认为“两个分 类变量有关系”的方法称为两个分类变量的_ 22 列联表 y1y2总计 x1abab x2cdcd 总计 ac bd abc d 独立性检验公式 K2_. 1.散点图 2.1正相关 负相关 2回归直线 3非线性 相关 3.2o(y,sup6()bo(x,sup6(),
6、4.1正相关 2负 相关 3越强 5.3越好 6.3独立性检验 f(nadbc2,abacbdcd) ,基础自测 1下列命题： 任何两个变量都具有相关关系； 圆的周长与该圆的半径具有相关关系； 某商品的需求与该商品的价格是一种非确定性关系； 根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的； 两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性 问题转化为确定性问题进行研究 其中正确的命题为( ) A B C D 答案：答案：C 2(2013武昌调研)通过随机询问 110 名性别不同的行人， 对过马路是愿意走斑马线还是愿意走人行天桥进行抽样调查， 得到如下的列表： 男女总计 走天桥402060 走斑马
7、线203050 总计6050110 由 算得 K27.8. 110 40 3020 202 60 50 60 50 附表： P(K2k) 0.05 0 0.01 0 0.001 k 3.84 1 6.63 5 10.82 8 对照附表，得到的正确结论是( ) A有 99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有 关” B有 99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别无 关” C在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“选择过 马路的方式与性别有关” D在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“选择过 马路的方式与性别无关” 解析：因为 K27.86.635，所以有 99% 110 4
8、0 3020 202 60 50 60 50 以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关” 答案：A 3(2012新课标全国卷)在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)， ，(xn，yn)(n2，x1，x2，xn不全相等)的散点图中，若所 有样本点(xi，yi)(i1,2，n)都在直线 y x1 上，则这组 1 2 样本数据的样本相关系数为_ 解析：所有点均在直线上，则样本相关系数最大即为 1. 答案：1 4调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位：万元)和年饮 食支出 y(单位：万元)，调查显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有 线性相关关系，并由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方程：
9、 0.254x0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加 1 y 万元，年饮食支出平均增加_万元 解析： 由题意得 210.254(x1)0.321 y y 0.254x0.3210.254，即家庭年收入每增加 1 万元，年饮 食支出平均增加 0.254 万元 答案：0.254 1(2013湖北卷)四名同学根据各自的样本数据研究变量 x，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四 个结论： y 与 x 负相关且 2 347x6 423； y y 与 x 负相关且 3 476x5 648； y y 与 x 正相关且 5.437x8.493； y y 与 x 正相关且 4.326
10、x4.578. y 其中一定不正确的结论的序号是( ) A B C D 解析：回归方程中 x 的系数为正，不是负相关；方程 中的 x 的系数为负，不是正相关，所以一定不正确 答案：D 2某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样 调查中，随机抽取了 100 名电视观众，相关的数据如下表所示： 文艺节目新闻节目总计 20 至 40 岁401858 大于 40 岁152742 总计5545100 (1)由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄 有关？ (2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名 大于 40 岁的观众应该抽取几名？ (3)在上述抽取的 5 名观众中任取
11、2 名，求恰有 1 名观众年 龄为 20 至 40 岁的概率 解析：(1)有关收看新闻节目多为年龄大的 (2)应抽取的人数为：53(人) 27 45 (3)由(2)知，抽取的 5 名观众中，有 2 名观众年龄处于 20 至 40 岁，3 名观众的年龄大于 40 岁 记大于 40 岁的人为 a1，a2，a3,20 至 40 岁的人为 b1，b2， 则从 5 人中抽取 2 人的基本事件有(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)， (b1，b2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)， (a3，b2)，共 10 个，其中恰有 1 人为 20 至 40
12、岁的基本事件有 (a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，共 6 个，因此所求的概率 P . 6 10 3 5 1(2013梅州一模)在 2014 年 1 月 15 日当天，某物价部门 对本市的 5 家商场的某商品的一天销售量价格进行调查，5 家 商场的售价 x 元和销售量 y 件之间的一组数据如下表所示： 价格 x99.5m10.511 销售量 y 11n865 由散点图可知，销售量 y 与价格 x 之间有较强的线性相关 关系，其线性回归直线方程是： 3.2x40，且 mn20， y 则其中的 n_. 解析： (99.5m10.511)
13、(40m)， x 1 5 1 5 (11n865) (30n) y 1 5 1 5 因为其线性回归直线方程是： 3.2x40， y 所以 (30n)3.2 (40m)40， 1 5 1 5 即 30n3.2(40m)200，又 mn20， 解得 mn10. 答案：10 2下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 A 产品过程 中记录的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨)的几组对应数据： x3456 y2.5t44.5 根据上表提供的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程为 0.7x0.35，那么表中 t 的值为( ) y A3 B3.15 C3.5 D4.5 解析：由 0.7x0.35 得0.7 y 2.5t44.5 4 0.353.5t3，故选 A. 3456 4 11t 4 答案：A
