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1、2.1 数列极限,第二章 极限与连续,本章是微积分的基础,主要讨论函数的极限与函数的连续性。,称为数列,,记为,其中 称为数列的通项或一般项;,正整数n称为 的下标。,例如:,Def:无穷多个按自然数编号1,2, 排列的一列数:,数列是自变量取正整数n的函数,(下标函数),(圆的面积),正六边形的面积,正十二边形的面积,正 边形的面积, , ,当 n 无限增大时,无限逼近 S.,(1)、割圆术: (刘徽割圆术),数列极限概念的引入,(2)、截丈问题:,“一尺之棰,日截其半,万世不竭”, ,这是极限思想在几何学中的运用。这样的极限方法为微积分学中的一种基本方法。, ,例,数列极限的定义:,解,一
2、个记号,不可称极限存在,数列极限四则运算法则: (可推广到有限个情形),注意极限运算的条件,若不满足则将数列变形。,例,求下列数列极限:,解,(3) 由于,因为,根式有理化,(4) 由于,因此,(5) 由于,因此,例.求极限,(数列求和法),分析:由于项数随n的增大而不断增加,故不是有限项, 不能直接应用四则运算法则。,解,性质2.1,举例,定理2.1(夹逼定理),性质2.2,性质2.3,数列极限存在定理:,解,(1) 由于,因此,注意到,由夹逼定理可得,(2) 注意到,定义2.1,定义2.2,举例,举例,从数轴上直观看:,定理2.2,单调有界数列必收敛.,例,证明,其次我们来证明数列,是单调递增数列,,数列,是单调递减数列.,事实上,由定理2.2 知道它们都收敛,且,