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1、第五节曲线与方程第五节曲线与方程1曲线与方程曲线与方程在在平平面面直直角角坐坐标系系中中，如如果果某某曲曲线C上上的的点点与与一一个个二二元元方方程程f(x，y)0的的实数解建立了如下关系：数解建立了如下关系：(1)曲曲线上点的坐上点的坐标都是都是_(2)以以这个个方方程程的的解解为坐坐标的的点点都都是是_那那么么这个方程叫做个方程叫做_，这条曲条曲线叫做叫做_这个方程的解这个方程的解曲线上的点曲线上的点曲线的方程曲线的方程方程的曲线方程的曲线2求曲线方程的一般步骤求曲线方程的一般步骤(1)建建立立适适当当的的坐坐标标系系，用用_表表示示曲曲线线上任意一点的坐标；上任意一点的坐标；(2)写出适
2、合条件写出适合条件P的点的点M的集合的集合PM|P(M)；(3)用坐标表示用坐标表示P(M)，列出方程，列出方程f(x，y)0，并化简，并化简3曲线的交点曲线的交点设曲线设曲线C1的方程为的方程为F1(x，y)0，曲线，曲线C2的方程为的方程为F2(x，y)0，则则C1、C2的的交交点点坐坐标标即即为为_的的实实数解数解若此方程组若此方程组_，则两曲线无交点，则两曲线无交点有序实数对有序实数对(x，y)方程组方程组 无解无解1如果曲如果曲线与方程只与方程只满足第足第(2)个条件，会出个条件，会出现什么情况？什么情况？【提提示示】若若只只满满足足“以以这这个个方方程程的的解解为为坐坐标标的的点点
3、都都是是曲曲线线上上的的点点”，则则这这个个方方程程可可能能只只是是部部分分曲曲线线的的方方程程，而而非非整整个个曲曲线线的方程，如分段函数的解析式的方程，如分段函数的解析式2轨迹与迹与轨迹方程相同迹方程相同吗？【提示提示】不同前者为图形包括轨迹的形状、方程、图形等，不同前者为图形包括轨迹的形状、方程、图形等，而后者仅指方程而后者仅指方程 【答案答案】D2方程方程x2y21(xy0)的曲的曲线形状是形状是()【解析解析】由由xy0知，曲线在第二、四象限，故选知，曲线在第二、四象限，故选C.【答案答案】C3若若M、N为两两个个定定点点，且且|MN|6，动点点P满足足0，则P点点的的轨迹是迹是()
4、A圆 B椭圆C双曲双曲线 D抛物抛物线【答案答案】AA双曲双曲线 B椭圆C圆 D抛物抛物线【解析解析】由已知：由已知：|MF|MB|，根据抛物线的定义知，根据抛物线的定义知，点点M的轨迹是以点的轨迹是以点F为焦点，直线为焦点，直线l为准线的抛物线，故选为准线的抛物线，故选D.【答案答案】D用直接法求轨迹方程用直接法求轨迹方程 1解答本题解答本题(2)时，根据时，根据 利用第利用第(1)问问的的结论消去结论消去m，n得到轨迹方程是解题的关键得到轨迹方程是解题的关键2如如果果动动点点满满足足的的几几何何条条件件就就是是一一些些与与定定点点、定定直直线线有有关关的的几几何何量量的的等等量量关关系系，
5、而而该该等等量量关关系系又又易易于于表表达达成成含含x，y的的等等式式，从从而而可可直直接接得得到到轨轨迹迹方方程程，这这种种求求轨轨迹迹方方程程的的方方法法称为直接法称为直接法3求点的轨迹时，要明确题设的隐含条件，以免增解，求点的轨迹时，要明确题设的隐含条件，以免增解，如本例中动点如本例中动点P的轨迹只是双曲线的右支的轨迹只是双曲线的右支. 已知已知A、B为两定点，两定点，动点点M到到A与到与到B的距离比的距离比为常数常数，求点，求点M的的轨迹方程，并迹方程，并说明明轨迹是什么曲迹是什么曲线(2012佛山模拟佛山模拟)如图如图852，圆，圆O：x2y216，A(2,0)，B(2,0)为两个定
6、点直线为两个定点直线l是圆是圆O的一条动切的一条动切线，若经过线，若经过A、B两点的抛物线以直线两点的抛物线以直线l为准线，求抛物线焦点的轨迹方程为准线，求抛物线焦点的轨迹方程 用定义法求轨迹方程用定义法求轨迹方程 【思路点拨思路点拨】设抛物线的焦点为设抛物线的焦点为F，利用抛物线的定义可得：，利用抛物线的定义可得：|AF|BF|8，从从而而点点F的的轨轨迹迹是是椭椭圆圆，又又当当点点F与与点点A、B在在一一条直线上时，不合题意，故应除去两点条直线上时，不合题意，故应除去两点 1解答本题时，易忽视点解答本题时，易忽视点(4,0)和和(4,0)不合要求，致不合要求，致使答案错误使答案错误2求求轨
7、轨迹迹方方程程时时，若若动动点点与与定定点点、定定线线间间的的等等量量关关系系满满足足圆圆、椭椭圆圆、双双曲曲线线、抛抛物物线线的的定定义义，则则可可以以直直接接根根据据定定义义先先定定轨轨迹迹类类型型，再再写写出出其其方方程程，这这种种求求轨轨迹迹方方程程的的方方法法叫叫做做定义法，其关键是准确应用解析几何中有关曲线的定义定义法，其关键是准确应用解析几何中有关曲线的定义如如图853所示，一所示，一动圆与与圆x2y26x50外切，同外切，同时与与圆x2y26x910内切，求内切，求动圆圆心心M的的轨迹方迹方程，并程，并说明它是什么明它是什么样的曲的曲线？【解解】设动圆圆心为设动圆圆心为M(x，
8、y)，半径为，半径为R，设已知圆，设已知圆的圆心分别为的圆心分别为O1、O2，将圆的方程分别配方得：，将圆的方程分别配方得：(x3)2y24，(x3)2y2100.当动圆与圆当动圆与圆O1相外切时，有相外切时，有|O1M|R2， 当动圆与圆当动圆与圆O2相内切时，有相内切时，有|O2M|10R， 用代入法用代入法(相关点法相关点法)求轨迹方程求轨迹方程 【思路点拨思路点拨】设设M(x、y)，P(x1，y1)，用，用x、y表示出表示出x1，y1代代入双曲线方程求解入双曲线方程求解从近两年高考看，曲从近两年高考看，曲线与方程是高考的与方程是高考的热点，特点，特别是是轨迹方程的求法几乎每年均有涉及，
9、且常考常新，迹方程的求法几乎每年均有涉及，且常考常新，题型以解答型以解答题为主，既重主，既重视基本概念，基本技能，又重基本概念，基本技能，又重视思想方法，如数形思想方法，如数形结合，分合，分类讨论等等，在解答此等等，在解答此类题目目时，应正确理解坐正确理解坐标法法思想，防止失思想，防止失误(2012云浮模拟云浮模拟)在在ABC中，中，BC4，A点为动点，满点为动点，满足足sin Csin B2sin A，求，求A点的轨迹方程点的轨迹方程易错辨析之十七坐标法应用不当致误易错辨析之十七坐标法应用不当致误错因分析：错因分析：(1)没有建立适当的直角坐标系没有建立适当的直角坐标系(2)没有剔除不合要求的点没有剔除不合要求的点防防范范措措施施：(1)当当题题目目本本身身没没有有建建立立平平面面直直角角坐坐标标系系时时，应根据所求曲线的特点建立适当的平面直角坐标系应根据所求曲线的特点建立适当的平面直角坐标系(2)点点A、B、C能能组组成成三三角角形形，故故三三点点不不能能共共线线，故故排排除除三点共线的情况三点共线的情况【答案答案】A2(2012威海模拟威海模拟)过点点Q(4,1)作抛物作抛物线y28x的弦的弦AB，若弦，若弦AB恰被恰被Q点平分，求弦点平分，求弦AB所在直所在直线的方程的方程课时知能训练课时知能训练
