《2011走向高考,贾凤山,高中总复习,第5篇2-3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2011走向高考,贾凤山,高中总复习,第5篇2-3（62页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三讲 线面、面面垂直的判定及性质,重点难点 重点：线面、面面垂直的定义、判定定理、性质定理 难点：线面、面面垂直的判定、性质定理的灵活应用,知识归纳 1直线与平面垂直 (1)定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直 (2)判定方法 用定义,(3)性质,2两个平面垂直 (1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直 (2)判定定理,(3)性质 性质定理 重要结论,3线面角和二面角 (1)线面角：平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角 直线与平面所成角的范围是0，90 0时，直线在平面内或与平面平行
2、 90时，直线与平面垂直,(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，在二面角的棱上任取一点O，在两个半平面内以O为垂足作棱的垂线OA与OB，则AOB叫做二面角的平面角二面角的取值范围是0，180)，0时两个半平面共面；090时为锐二面角；90时为直二面角；90180时为钝二面角,误区警示,2不要将“经过一点有且仅有一条直线与平面垂直”；“经过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直”；“经过平面外一点有无数条直线与已知平面平行，这无数条直线在同一个平面内，即经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行”；“经过直线外一点有且仅有一条直线l与已知直线平行，有无数个平面与已知直线平
3、行，这无数个平面的交线为l”弄混错用,3“垂直于同一直线的两条直线互相平行”、“垂直于同一平面的两个平面互相平行”都是错误命题 4ab，ac，b，ca是错误的，b与c相交的条件不能少 5两平面垂直时，从一个平面内一点向另一个平面作垂线，则垂足必落在交线上,一、同一法 例1 已知：，l.求证：l.,分析：给出的条件为面面垂直，故证明本题应充分利用二面垂直的性质：如果两个平面互相垂直 (一)在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面； (二)在一个面内取一点，过该点向另一个平面作垂线，则垂线必在前一个平面内； (三)一个平面内不在交线上的点在另一个平面内的射影必落在交线上,证明：证法1：设、三个
4、平面相交于点A，过A作l,证法2：在l上任取一点P，过P作PA，垂足为A， l，P，垂足A落在与的交线上， 同理垂足A落在与的交线上， 垂足A是与的公共点，即Al，PA与l重合,二、特殊点在平面上的射影 1ABC所在平面外一点P在平面ABC内射影为O， (1)若PAPBPC，则O为ABC外心 (2)若P到ABC三边距离相等，则O为ABC内心或旁心 (3)若PA、PB、PC两两垂直，则O为ABC的垂心 2ACB所在平面外一点P在平面ACB内射影为O (1)若PCAPCB，则O在BCA的平分线上 (2)若P到BCA两边距离相等，则O在BCA的平分线上,例1 对于直线m、l和平面、，的一个充分条件是
5、 ( ) Aml，m，l Bml，m，l Cml，m，l Dml，l，m,解析：本题考查空间线面位置关系的判定A：与两相互垂直直线平行的平面的位置关系不能确定；B：平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系也不能确定；C：这两个平面也有可能重合；D是成立的，故选D.,(09浙江)设，是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是 ( ) A若l，则l B若l，则l C若l，则l D若l，则l 解析：若两平面平行，一直线垂直于其中一个平面，则它垂直于另一个平面，故选C. 答案：C,例2 如图所示，在ABC中，ABC90，SA平面ABC，点A在SB、SC的射影分别为P、Q. 求
6、证：PQSC.,分析：欲证SCPQ，SCAQ，故只须证SC平面APQ.即证SCAP； 欲证APSC，APSB， 故只须证AP平面SBC，故须证APBC； 欲证BCAP，BCAB，故只须证BC平面SAB，须证BCSA，由已知SABC易得,证明：ABC90，ABBC， 又SA平面ABC，SABC，而SAABA， BC平面SAB，又AP平面SAB， BCAP，而APSB， AP平面SBC，PQ为AQ在平面SBC内的射影， 又AQSC，PQSC.,(文)如图，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，F是PB的中点求证： (1)DFAP. (2)在线段AD上是否存在点G，
7、使GF平面PBC？若存在，说明G点的位置，并证明你的结论；若不存在，说明理由,解析：(1)取AB的中点E，则PAEF.设PDDCa，易求得由于DE2EF2DF2，故DFEF， 又EFPA，DFPA.,(2)在线段AD上存在点G，使GF平面PBC，且G点是AD的中点 取AD的中点G，连结PG、BG，则PGBG.又F为AB的中点，故GFPB. F为PB中点， F点在底面ABCD上的射影为正方形ABCD的中心O， GO为GF在平面ABCD上的射影， GOBC，GFBC， BC、PB是平面PBC内的两条相交直线， GF平面PBC.,(理)已知长方体AC1中，棱ABBC1，棱BB12，连结B1C，过B点
8、作B1C的垂线交CC1于E，交B1C于F.(1)求证A1C平面EBD； (2)求点A到平面A1B1C的距离,解析：(1)连结AC，则ACBD， AC是A1C在平面ABCD内的射影，A1CBD； 又A1B1面B1C1CB，且A1C在平面B1C1CB内的射影B1CBE， A1CBE. 又BDBEB，A1C面EBD.,(2)易证：AB平面A1B1C，所以点B到平面A1B1C的距离等于点A到平面A1B1C的距离，又BF平面A1B1C.所求距离即为BF,例3 已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，ABDC，DAB90，PA底面ABCD，且PAADDC AB1，M是PB的中点 (1)证明平面PAD平面PC
9、D； (2)求直线AC与PB所成的角； (3)求平面AMC与平面BMC所成二面角的大小,解析：(1)证明：PA平面ABCD，CDAD， 由三垂线定理得CDPD. 因而，CD与平面PAD内两条相交直线AD、PD都垂直， CD平面PAD. 又CD平面PCD.平面PAD平面PCD.,(2)解：过点B作BECA，且BECA， 则PBE是AC与PB所成的角 连结AE，可知ACCBBEAE . 又AB2，所以四边形ACBE为正方形 由PA面ABCD得PEB90，,(3)解：作ANCM，垂足为N，连结BN. 在RtPAB中，AMMB. 又ACCB，AMCBMC.BNCM. 故ANB为所求二面角的平面角 CB
10、AC，由三垂线定理，得CBPC. 在RtPCB中，CMMB，所以CMAM. 在等腰三角形AMC中，,如图1，等腰梯形ABCD中，ADBC，ABAD，ABC60，E是BC的中点将ABE沿AE折起后如图2，使二面角BAEC成直二面角，设F是CD的中点，P是棱BC的中点,(1)求证：AEBD； (2)求证：平面PEF平面AECD； (3)判断DE能否垂直于平面ABC，并说明理由,解析：(1)证明：设AE中点为M， 在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABAD，ABC60，E是BC的中点， ABE与ADE都是等边三角形BMAE，DMAE. BMDMM，BM、DM平面BDM， AE平面BDM. BD平面BD
11、M，AEBD.,(2)证明：连结CM交EF于点N，ME綊FC， 四边形MECF是平行四边形 N是线段CM的中点 P是BC的中点，PNBM. BM平面AECD，PN平面AECD. 又PN平面PEF，平面PEF平面AECD.,(3)解：DE与平面ABC不垂直 证明：假设DE平面ABC，则DEAB， BM平面AECD.BMDE. ABBMB，AB、BM平面ABE， DE平面ABE. DEAE，这与AED60矛盾 DE与平面ABC不垂直.,例4 如图所示，已知ADB和ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且ADBDCD，BAC60. (1)求证：BD平面ADC； (2)若H是ABC的垂心，求证：H是D
12、在平面ABC内的射影 .,证明：(1)ADBADC，DADBDC， ABAC， 又BAC60，ABC为正三角形， ABBCAC， ABDBDC， ADBBDC90， BDDC，BDAD， BD面ADC.,(2)H为ABC的垂心， AHBC，设垂足为M，连结DM， ADDB，ADDC， AD平面BDC， ADBC，BC平面ADM， BCDH，同理DHAB. DH平面ABC. H为D在平面ABC内的射影,在正四面体PABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是 ( ) ABC平面PDF BDF平面PAE C平面PDF平面ABC D平面PAE平面ABC,解析：D、F分别
13、为AB、CA中点，DFBC. BC面PDF，故A正确 又PABC为正四面体， P在底面ABC内的射影O在AE上 PO面ABC.PODF. 又E为BC中点，AEBC，AEDF. 又POAEO，DF面PAE，故B正确 又PO面PAE，PO面ABC， 面PAE面ABC，故D正确 四个结论中不成立的是C. 答案：C,例5 在三棱柱ABCA1B1C1中，AB1A1BE，F为B1C1的中点，其直观图和三视图如图：,(1)求证：EF平面A1BC； (2)求A1C与面A1B1BA所成角的余弦值 解析：(1)证明：由三视图知：侧棱CC1平面ABC，ACCC1BCa，ACBC， BC平面ACC1A1，BCAC1.
14、 又EFAC1，EFBC. ACC1A1为正方形，A1CAC1. 又EFAC1，EFA1C. 又A1CBCC，EF平面A1BC.,(2)取AB的中点M，连结CM，A1M， 由题意知CACB，CMAB. 由三视图知：侧棱AA1平面ABC， 平面ABC平面AA1BB1. CM平面AA1BB1. CA1M就是A1C与面A1B1BA所成二面角的平面角 ACBCa，ACBC，CM 又正方形AA1C1C中，A1C,在RtA1MC中，sinCA1M CA1M30.cosCA1M 综上知A1C与面A1B1BA所成角的余弦值为,(09天津)如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ADCD，DB平分ADC，E为PC的中点，ADCD1，DB2,(1)证明PA平面BDE； (2)证明AC平面PBD； (3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值,解析：(1)证明：设ACBDH，连结EH.在ADC中，因为ADCD，且DB平分ADC，所以H为AC的中点又由题设，E为PC的中点，故EHPA.又EH平面BDE且PA平面BDE，所以PA平面BDE.,
