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1、2002 年全国硕士研究生入学统一考试理工年全国硕士研究生入学统一考试理工 数学二试题详解及评析数学二试题详解及评析 一、一、填空题 （1） 设函数( )tan21,0 arcsin2 ,0xxexxf xaex = 在 x0 处连续，则 a =_. 【答】 2 【详解】 因为 ( )( )tan0002001tanlimlimlim2, arcsin22 limlim,xxxxxxxexf xxxf xaea+= =由题设得 a = 2. （2） 位于曲线()0xyxex=不妨设从而存在X0,当xX时，有 ( ),2lfx 对任意1,1,xXXx+在上由拉个朗日定理得 ( )()( )()1
2、1 ,1,f xfXfxXXx+=+ + 从而有 ( )( )lim,( )lim0, xxf xf xfx += =与有界矛盾，故必有 因而应选（B）. （5）设向量组1231123, 线性无关，向量 可由线性表示，而向量2不能由123, 线性表示，则对于任意常数 k ，必有 123123123123,B,C,D, 12121212（A）,k+线性无关；（ ）,k+线性相关；（ ）,+k线性无关；（ ）,+k线性相关【 】 【答】 应选（A） 【详解 1】 由题设知12323,k k 21,线性无关，且存在k使 112233kk+1k, 于是通过列初等变换有 ()() ()123112312
3、233123,kkkkkk+2122，k，因此秩 ()()1231123,4,rk+=22，r，故 1231,k+2，线性无关. 【详解 2】 取 k = 0,由条件知向量组123，线性无关，1231,，线性相关，所以应排除（B） 、 （C）. 取 k = 1，因1123123,2可由，线性表出不能由，线性表出， 1231+2所以，线性无关，因而可排除（D）. 故应选（A）. 三、三、已知曲线的极坐标方程是1 cos ,r= 求该曲线上对应于 =6处的切线与法线的直角坐标方程. 【详解】 此曲线的参数方程为 () ()21 coscoscoscos sinsincos1 cossinxx yy
4、 = =即 由3 13,.64 24=3得切点的坐标222666coscossin1.sin2cossindy dyd dxdx d =+=+于是所求切线方程为 133335,30.242444yxxy+=+=即 法线方程为 133331,0.242444yxxy+= +=即 四、四、设 ( )()2232,10,2,01, 1xxxxxf xxex e+ =在内可导，且满足 () ( )1 10lim,h xhf xhxef x+=求( )f x 【详解】 设() ( )1,hf xhxyf x+=则 () ( )1ln.f xhxyhf x+= 因为 () ( )()( )( )000ln
5、ln1limlnlimlimln, hhhxf xh xf xf xhxyxf xhf xhx+=故 () ( )( )1ln0lim.hxf xhf xhxef x+=由已知条件得 ( )1 ln,xf xxee= 因此 ( )( )211ln,lnxf xf xxx=即 解得 ( )1 .xf xCe= 由( )lim1,1, xf xC +=得 故 ( )1 .xf xe= 六、六、求微分方程()20( ),( )xdyxy dxyy xyy x+=的一个解使得由曲线，与直线 1,2xxx=以及轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周的旋转体体积最小. 【详解】 原方程可化为： 21.dyy
6、dxx= 所以 22 221.dxdxxxyeeCxCxCxx=+=+=+由曲线21,2yxCxxxx=+=与直线及轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周的旋转体体积为 ()2222131157( ).523V CxCxdxCC=+=+令 621575( )0,.52124V CCC=+= 得 又 62( )0,5VC= 故 75 124C = 为唯一极小值点，也是最小值点， 于是得 275( ).124yy xyx= 七、七、某闸门的性状与大小如图硕士，其中直线l为对称轴，闸门的上部为矩形 ABCD，下部由二次抛物线与线段所围成，当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部
7、承受的水压力之比为 5：4，闸门矩形部分的高 h 应为多少 m (米)？ 【详解】 方法一： 如图一建立坐标系，则抛物线的方程为 2y=x 闸门矩形部分承受的水压力 ()()111121221212hhPg hy dyyghygh+=+ =+=其中为水的密度，g 为重力加速度. 闸门下部承受的水压力 ()()120135 22021222135124.315Pg hyydyghyygh=+ =+=+由题意知 2 1255,12444315Ph Ph=+即 解得 12,()3hh= 舍去 故 2h =. 即闸门矩形部分的高应为 2m. 方法二： 如图二建立坐标系，则抛物线方程为 2x=h+1-y
8、 闸门矩阵部分承受的水压力为 2 102hPgxdxgh=1221hhPgx hxdx+=+ 设1hx+ t ，得 ()()122122 20 0414135124.315ttPghtt dtghgh=+ =+=+以下同方法一. 八、八、设()()1103,31,2,nnnnxxxxnx+，则 ()()113033.22kkkkkxxxxx+1 ,均有30,2nx 1 时， ()()()1333203nnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxx+=+因而有 ()11 ,nnnxxnx+即数列单调增加. 由单调有界数列必有极限，知 limnnx 存在. 设 ()1lim,3nnnnnxaxx
9、x+=在两边取极限， 得 ()3,aaa= 解得 ()3,0.2aa=舍去 故 3lim.2nnx = 九、九、设0,ab 因为 ( )1110,222axaxxaxx xx ax=+= =时，单调减少，又 ( )( )0,xaxa时，有 lnln,babaab 由拉个朗日中值定理知，至少存在一点(), a b，使 lnln1(ln ),xbaxba=由于 0ab+从而 22lnln2.baa baab+方法二： 右边的不等式证明同方法一，下面证左边的不等. 设 ( )()()()22lnln2 ()0 ,f xxaxaa xaxa=+ 因为 ( )()()()()22212lnln22lnl
10、n0fxxxaxaaxxaxxax=+=+故当( )( )0,xaf xf a=时，单调增加，又 xa所以当时， ( )( )0,f xf a= 即 ()()22lnln2 ()0.xaxaa xa+ 从而当0ba时，有 ()()22lnln2 ()0,abbaa ba+ 即 222lnln.aba abba+十、十、函数 f (x) 在 x = 0 的某邻域内具有二阶连续导数， 且 ( )( )( )00, 00, 00.fff证明：存在唯一的一组实数123, 0h 使得当时， ( )()()( )123230f hfhfhf+是比2h高阶的无穷小. 【详解】 方法一： 只需证存在唯一的一组
11、实数123, ，使得 ( )()()( )123 20230lim0. hf hfhfhf h+= 由题设和洛必达法则，从 ( )()()( )( )()()( )()()()( )123 20123012301232300lim2 23 3lim2 4 29 3lim2 149 02hhhf hfhfhfh fhfhfhh fhfhfhf+=+=+=+知123, 应满足方程组 1231231231,230,490.+= += +=因为系数行列式 11112320, 149= 所 以 上 述 方 程 组 的 解 存 在 且 唯 一 ， 即 存 在 唯 一 的 一 组 实 数123, ，0h 使
12、得当时，( )()()( )123230f hfhfhf+是比2h高阶的无穷小. 方法二： 由麦克劳林公式得 ( )( )( )( )()210 002f hffhfhh=+其中 介于 与 之间 ， 由题设条件，0h 使得当时，有 ( )( )( )( )( )( )( )( )( )()2222110 0 0 022 10 0 0.2f hffhfhffhffhfho h=+=+同理可得 ()( )( )( )()()( )( )( )()2222202 02 0,9303 0 0,2fhffhfho hfhffhfho h=+=+故有 ( )()()( ) ()( ) ()( )()( )
13、()12312312322 1232301023 0149 0.2f hfhfhfffhfho h+=+所以123, 应满足方程组 1231231231,230,490.+= += +=以下同方法一. 十一、十一、已知 A，B 为 3 阶矩阵，且满足124 ,3.A BBEE=其中 是 阶单位矩阵 （1） 证明：矩阵 A2E 可逆； （2） 若120120 , 002B = 求矩阵 A. 【详解】 （1）由124A BBE=，知240,ABBA= 从而 ()()248 ,AEBEE= 或 ()()124.8AEBEE= 故2AE可逆，且 ()()1124.8AEBE= （2） 由（1）知()1284,AEBE=+ 而 ()11110443201341200,880021002BE= 故 020110.002A = 十二、十二、已知 4 阶方阵()12341234,4A
