《精选高中数学数列分类典型试题及答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《精选高中数学数列分类典型试题及答案（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、总复习必须掌握的数列经典解题技巧 第 1 页 共 15 页 精选高中数学数列分类典型试题及答案精选高中数学数列分类典型试题及答案 【典型例题典型例题】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题 1. 已知数列 n a 满足 1 11 1,3(2) n nn aaan . （1）求 32,a a ； （2）证明： 31 2 n n a . 解：解：（1） 2 123 1,3 14,3413aaa Q . （2）证明：由已知 1 1 3 n nn aa ，故 )()()( 12211 aaaaaaa nnnnn L 12 1 31 333 1 2 n nn a L ， 所以证得
2、 31 2 n n a . 例题 2. 数列 n a 的前n项和记为 11 ,1,21(1) nnn S aaSn （）求 n a 的通项公式； （）等差数列 n b 的各项为正，其前n项和为 n T ，且 3 15T ，又 112233 ,ab ab ab 成等比数列，求 n T . 解：解：（）由1 21 nn aS 可得 1 21(2) nn aSn ， 两式相减得： 11 2,3(2) nnnnn aaa aa n ， 又21 213aS 21 3aa 故 n a 是首项为 1，公比为 3 的等比数列 1 3n n a （）设 n b 的公比为d，由3 15T 得，可得123 15bb
3、b ，可得 2 5b 故可设13 5,5bd bd ，又123 1,3,9aaa ， 由题意可得 2 (51)(59)(53)dd ，解得12 2,10dd 等差数列 n b 的各项为正， 0d 2d 2 (1) 322 2 n n n Tnnn 例题 3. 已知数列 n a 的前三项与数列 n b 的前三项对应相同，且 2 123 22.aaa 1 28 n n an 对任意的 * Nn 都成立，数列 nn bb 1 是等差数列. 求数列 n a 与 n b 的通项公式； 是否存在 Nk ，使得 (0,1) kk ba ，请说明理由. 点拨：点拨：（1） 21 123 22.28 n n a
4、aaan 左边相当于是数列 1 2n n a 前 n 项和的形式， 可以联想到已知 n S 求 n a 的方法，当 2n 时，1nnn SSa . （2）把 kk ab 看作一个函数，利用函数的思想方法来研究 kk ab 的取值情况. 总复习必须掌握的数列经典解题技巧 第 2 页 共 15 页 解：解：（1）已知 2 123 22aaa 1 2n n a 8n (n *N ） 2n 时， 2 123 22aaa 2 1 28(1) n n an (n *N ） 得， 1 28 n n a ，求得 4 2 n n a ， 在中令 1n ，可得得 4 1 1 82a ， 所以 4 2 n n a
5、(nN*）. 由题意1 8b ，2 4b ，3 2b ，所以21 4bb ，32 2bb ， 数列 1nn bb 的公差为 2)4(2 ， 1nn bb 2) 1(4n 26n ， 121321 ()()() nnn bbbbbbbb L ( 4)( 2)(28)n L 2 714nn (n *N ）. （2） kk ba 2 714kk 4 2 k ， 当 4k 时， 2 77 ( )() 24 f kk 4 2 k 单调递增，且 (4)1f ， 所以 4k 时， 2 ( )714f kkk 4 21 k ， 又 (1)(2)(3)0fff ， 所以，不存在k *N ，使得 (0,1) kk
6、 ba . 例题 4. 设各项均为正数的数列an和bn满足：an、bn、an+1成等差数列，bn、an+1、bn+1 成等比数列，且 a1 = 1， b1 = 2 ， a2 = 3 ，求通项 an，bn 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 http:/ http:/ 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 解：解： 依题意得： 2bn+1 = an+1 + an+2 a2n+1 = bnbn+1 an、bn为正数， 由得 21211 , nnnnnn bbabba ， 代入并同除以 1n b 得： 21 2 nnn bbb ， n b 为等差数列 头 头 头 头
7、头 头 头头 头 头头 头 头 头头 http:/ http:/ 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 b1 = 2 ， a2 = 3 ， 2 9 , 221 2 2 bbba则 ， 2 ) 1( ),1( 2 2 )2 2 9 )(1(2 2 n bnnb nn ， 当 n2 时，2 ) 1( 1 nn bba nnn ， 又 a1 = 1，当 n = 1 时成立， 2 ) 1( nn an 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 http:/ http:/ 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 2. 研究前 n 项和的性质 例题 5. 已知等
8、比数列 n a 的前n项和为 2n n Sab ，且1 3a . （1）求a、b的值及数列 n a 的通项公式； 总复习必须掌握的数列经典解题技巧 第 3 页 共 15 页 （2）设 n n n b a ，求数列 n b 的前n项和 n T . 解：解：（1） 2n 时， aSSa n nnn 1 1 2 .而 n a 为等比数列，得 aaa 11 1 2 ， 又 3 1 a ，得 3a ，从而 1 23 n n a .又1 23,3aabb Q . （2） 1 3 2 n n n nn b a ， 21 123 (1) 3222 n n n T L 231 11 1231 ( 23 2222
9、2 n nn nn T L ） ，得 21 11111 (1) 232222 n nn n T L ， 1 1 1 (1) 241 2 (1) 1 32322 1 2 n n nnn nn T . 例题 6. 数列 n a 是首项为 1000，公比为 1 10的等比数列，数列b n满足 12 1 (lglglg) kk baaa k L * ()Nk ， （1）求数列b n 的前n项和的最大值；（2）求数列|b | n 的前n项和 n S . 解：解：（1）由题意： 4 10 n n a ，lg 4 n an ，数列lg n a 是首项为 3，公差为 1的等差数列， 12 (1) lglglg
10、3 2 k k k aaak L ， 1(1)7 3 22 n n nn bn n 由 1 0 0 n n b b ，得6 7n ，数列b n 的前n项和的最大值为 67 21 2 SS . （2）由（1）当 7n 时， 0 n b ，当 7n 时， 0 n b ， 当 7n 时， 2 12 7 3 113 2 () 244 nn n Sbbbnnn L 当 7n 时， 12789nn Sbbbbbb LL 2 712 113 2()21 44 n SbbbnnL 2 2 113 (7) 44 113 21(7) 44 n nnn S nnn . 例题 7. 已知递增的等比数列 n a 满足
11、234 28aaa ，且 3 2a 是 2 a ， 4 a 的等差中项. （1）求 n a 的通项公式 n a ；（2）若 1 2 log nnn baa ， 12nn SbbbL 求使 1 230 n n Sn 成立的n的最小值. 总复习必须掌握的数列经典解题技巧 第 4 页 共 15 页 解：解：（1）设等比数列的公比为 q（q1） ，由 a1q+a1q2+a1q3=28，a1q+a1q3=2（a1q2+2） ，得：a1=2，q=2 或 a1=32，q= 1 2（舍） an=22（n1）=2n （2） 1 2 log2n nnn baan ，Sn=（12+222+323+n2n） 2Sn=
12、（122+223+n2n+1） ，Sn=2+22+23+2nn2n+1=（n1）2n+12， 若 Sn+n 2n+130 成立，则 2n+132，故 n4，n 的最小值为 5. 例题 8. 已知数列 n a 的前 n 项和为 Sn，且1 1, nn Sa 成等差数列， * 1 ,1Nna . 函数 3 ( )logf xx . （I）求数列 n a 的通项公式； （II）设数列 n b 满足 1 (3) ()2 n n b nf a ，记数列 n b 的前 n 项和为 Tn，试比较 525 12312 n n T 与 的大小. 解：解：（I）1 1, nn Sa Q 成等差数列，1 21 nn Sa 当 2n 时，1 21 nn Sa . 得：11 2() nnnn SSaa ， 1 3 nn aa ， 1 3. n n a a 当 n=1 时，由得112 221Saa ， 又1 1,a 2 2 1 3,3, a a a n a 是以 1 为首项 3 为公比的等比数列， 1 3. n n a （II） xlogxf 3 ， 1 33 ()loglog 31 n nn f aan ， 11111 () (3) ()2(1)(3)213 n n b nf annnn ， 1 111111111111 () 2 24354657213 n T nnnn L 1 1111 ()
