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1、12.3 空间中的垂直关系,1如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线 ,互相垂直,2如果一条直线(AB)和一个平面()相交于点O，并且和这个平面内过点O的 直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，记作 ，直线叫做平面的 ，平面叫做直线的 ，交点叫做 垂线上任一点到垂足间的线段，叫做这点到这个平面的 垂线段的长度叫做这点到平面的 ,任何,AB,垂线,垂面,垂足,垂线段,距离,3直线和平面垂直的判定 (1)判定定理：如果一条直线和一个平面内的 直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 符号语言： l， 如图：,la，lb，abA，a，b,任何两条相交,(
2、2)推论：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面 符号语言：ab， b， 如图：,a,4直线与平面垂直的性质 (1)性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行 符号语言：a， ab， 如图：,b,(2)一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直 符号语言：a， ab， 如图：,b,5设P是三角形ABC所在平面外一点，O是P在内的射影 (1)若PAPBPC，则O为ABC的 特别地当C90时，O为 (2)若PA、PB、PC两两垂直，则O为ABC的 (3)若P到ABC三边距离相等，则O为ABC的 ,外心,斜边AB的中点,垂心,内心,6(1)过一
3、点 直线与已知平面垂直 (2)过一点 平面与已知直线垂直,有且仅有一条,有且仅有一个,重点：线面垂直的定义、判定和性质 难点：线面垂直的判定和性质定理的推导以及应用 理解直线和平面垂直的定义，要首先了解空间中两条直线的垂直关系有两种：相交垂直和异面垂直 请同学们在下面的正方体中，找出与棱AA1相交垂直的棱有哪些？与其异面垂直的棱有哪些？,探索直线与平面垂直的判定定理的关键，就是用一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直来保证它和这个平面内的任何一条直线垂直学习中要注意体会“相交”这个条件是不可少的证明思路是利用空间的镜面对称方法，也可以利用空间轴对称的方法证明，借此体会空间对称变换的数学思想方法
4、 “一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任何一条直线垂直”及“如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行”都是线面垂直的性质，对它们的证明及例题的证明，都可体会和巩固“反证法”的思路,例1 如图，直角ABC所在平面外一点S，且SASBSC，点D为斜边AC的中点(1)求证：SD平面ABC； (2)若ABBC，求证：BD平面SAC.,分析 由于D是AC中点，SASC，SD是SAC的高，连接BD，可证SDBSDA.由ABBC，则RtABC是等腰直角三角形，则BDAC，利用线面垂直的判定定理即可得证,解析 (1)SASC，D为AC的中点， SDAC. 在RtABC中，连结BD， 则ADDCBD
5、，又SBSA，SDSD， ADSBDS. SDBD.又ACBDD， SD面ABC.,(2)BABC，D为AC中点，BDAC. 又由(1)知SD面ABC，SDBD. 于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线， BD平面SAC.,点评 线面垂直的判定定理是判定线面垂直的最常用思路在论证中利用题设的已知条件，来寻找判定定理的条件是证明过程中的基本思路,在平面内有直角BCD，AB平面， 求证：CD平面ABC.,例2 如图在ABC中，B90，SA平面ABC，点A在SB和SC上的射影分别是N、M，求证：MNSC.,解析 SA平面ABC， SASC，又ABC90， BCAB，BC平面SAB， ANBC， 又
6、ANSB，AN平面SBC， ANSC，又AMSC， SC平面AMN， MNSC.,如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为A1D、AC上的点，且EFA1D，EFAC.求证：EFBD1.,解析 如图所示，连结A1C1、C1D、BD、B1D1.由于ACA1C1，EFAC，EFA1C1. 又EFA1D，A1DA1C1A1， EF平面A1C1D. BB1平面A1B1C1D1，A1C1平面A1B1C1D1， BB1A1C1. 又四边形A1B1C1D1为正方形，A1C1B1D1.,BB1B1D1B1，A1C1平面BB1D1D. 而BD1平面BB1D1D，BD1A1C1. 同理，DC1BD1，
7、DC1A1C1C1， BD1平面A1C1D. 由可知EFBD1.,例3 有一根旗杆高12m，在它的顶端处系两条长13m的绳子，拉紧绳子，并把它们的下端固定在地面上与旗杆底端下不共线的两点处，测得这两点和旗杆底端相距5m，问能否由此断定旗杆与地面垂直，为什么？,如图(1)所示，在公路旁有一条河，河对岸有高为15m的塔AB，当公路与塔底点B都在水平面上时，如果只有测角器和皮尺做测量工具，能否求出塔顶与公路的距离,在正方体中ABCDA1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为底面ABCD的中心求证：B1O平面PAC.,一、选择题 1如果直线l与平面不垂直，那么在平面内( ) A不存在与l垂直的直线 B
8、存在一条与l垂直的直线 C存在无数条与l垂直的直线 D任意一条都与l垂直,答案 C 解析 若l，显然在内存在无数条直线与l垂直；若l，过l作平面l，则ll， 在内存在无数条直线与l垂直，从而在内存在无数条直线与l垂直； 若l与斜交，设交点为A，在l上任取一点P， 过P作PQ，垂足为Q，在内存在无数条直线与AQ垂直，从而存在无数条直线与直线PA(即l)垂直,2如图已知四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为 ( ) A1 B2 C3 D4,答案 D 解析 PA面ABCD，PAAB，PAAD， 又ABCD为矩形，BCAB，CDAD， 又PABC，PACD
9、，PAABA，PAADA， BC面PAB，CD面PAD，BCPB，CDPD， 直角三角形为：RtPAB，RtPAD，RtPBC， RtPDC共4个,3直线a与平面内的两条直线都垂直，则a与的位置关系是 ( ) A垂直 B平行 Ca在平面内 D不确定 答案 D,二、填空题 4若AB、AC、AD两两垂直，AB5，AC4，AD3，则三棱锥ABDC的体积为_ 答案 10,5如图所示，已知PAO所在的平面，AB为O的直径，C是O上异于A、B的一点，则PAB、PAC、PBC、ABC中，直角三角形的个数是_,答案 4 解析 AB为O的直径，C为O上异于A、B的一点，ACBC， 又PAO所在的平面，PAAC，PAAB， PABC，又PAACA， BC面PAC，BCPC， PAB、PAC、PBC、ABC均为直角三角形,三、解答题 6如何检验钻床的钻头是否垂直于工作台面？,解析 可把角尺的一边放在工作台面上，再看角尺的另一边与钻头是否密合，然后再把角尺换一个方向(不是原来的反方向)，照样再检查一次如果两次检查中，钻头与角尺的边都能密合，那么就可以断定钻头与工作台面是垂直的，这就是直线和平面垂直的判定定理的应用,
